Izreki o podobnosti
Podobnost je zelo uporabna in jo srečamo tako v matematičnih, kot tudi fizikalnih problemih. nekaj zanimivih je tukaj predstavljenih.
Središčni razteg
Transformacija v ravnini, ki vsako razdaljo pomnoži z realnim številom, se imenuje središčni razteg. Točka, ki pri tej preslikavi ostaja na svojem mestu, se imenuje središče raztega. Tak razteg preslika trikotnik v podobni trikotnik, kot lahko vidimo na naslednji animirani sliki.
Izrek o podobnosti
Če imata dva trikotnika skladen en kot, stranici, ki ta kot oklepata, pa sta povečani v enakem razmerju, torej d(C,A') = k·d(C,A) in d(C,B') = k·d(C,B), sta trikotnika ΔABC in ΔA'B'C', podobna.
Računalniku prepustimo merjenje dolžin stranic in računanje razmerij. Na sliki enostavno spremljamo rezultate pri spreminjanju dolžin podaljšanih stranic, ko pomikamo rdečo točko na drsniku zgoraj.
Za dokaz tega izreka je dovolj, da skozi A' načrtamo vzporednico daljici AB in nato po Talesovem izreku ugotovimo, da točka B' leži na presečišču te vzporednice s poltrakom p(C,B).
Podoben izrek poznamo tudi pri skladnih trikotnikih, omogoči pa nam hitreje priti do podobnih trikotnikov. Primer uporabe pa lahko vidimo na naslednji sliki.
Vemo že, da so stranice v enakem razmerju, če sta trikotnika podobna. Pa velja tudi obratno? Velja, zato lahko povemo še en izrek:
Trikotnika sta podobna natanko takrat, ko obstaja število k tako, da velja a' = k·a, b' = k·b in c' = k·c.
Uporaba podobnosti
Srednjica trikotnika je primer pomembnega dejstva, ki ga lahko tudi dokažemo s pomočjo podobnosti. Trdimo namreč, da je zveznica razpolovišč dveh stranic v trikotniku enaka polovici dolžine treje stranice in ji je vzporedna.
Srednjica trikotnika je zveznica razpolovišč dveh stranic v trikotniku. Imenujmo ti razpolovišči A' in B'. Povezuje pa naj razpolovišči stranic a in b. Tedaj dobimo dva trikotnika ΔABC in ΔPA'B'. V teh trikotnikih imamo skladen en kot, kot pri C, ali kot γ, stranici a in b trikotnika ΔABC pa sta s faktorjem 2 povečani stranici CA' in CB' trikotnika ΔA'B'C. Po prvem izreku o podobnosti trikotnikov sta torej trikotnika ΔABC in ΔA'B'C podobna. Zato je srednjica A'B' enaka polovici stranice c in ji je vzporedna.
Talesu iz Mileta pripisujejo merjenje višine piramide, zato najbrž tudi izreke poimenujemo po njem, čeorav je podobnih zgodb še več. Ne glede na to kdo in kako je to naredil, metoda je prav uporabna za merjenje višine predmeta, hriba, zgradbe, ki je previsoka, da bi jo izmerili kako drugače. Poglejmo najprej na sliko:
Od opazovališča O je do točke A 1,65 m, v točki A pa je 2 m visoka palica, ki se s smerjo pokriva z vrhom piramide, ta pa je od O oddaljena 120 m. Tedaj je višina piramide:
.
V lepem sončnem dnevu bi podoben računa lahko naredili, da bi izmerili dolžino sence piramide in dolžino sence palice, potem pa po enakem računu kot zgoraj izračunali višino piramide.
Oboje pa temelji na podobnosti trikotnikov.
Deljenje daljiceRazdeli daljico |AB| = 10 cm v danem razmerju, najprej na dela, ki sta enako dolga.
Daljici AB z dolžino 10 cm narišemo na krajiščih na vzporednicah daljici enake dolžine v nasprotnih polravninah njene nosilke. Tako dobimo točki P in Q. Če ti točki zvežemo, ta zveznica seka daljico AB točno na sredini. Predstavimo si to na sliki, saj slika pove več, kot tisoč besed. Iz rezultatov in podatkov na sliki razberi, v kakšnem razmerju tokrat deli premica p daljico AB.
O podobnosti v naravi smo že veliko govorili. Pokažimo na primeru pridnega pajka, ki sicer svojo mrežo plete v zlobne namene, da vanjo zaplete svoj plen in vendar je njegova mreža ena najčudovitejših stvari, ki jih najdemo v naravi, ne glede na to, da je ponekod tudi zelo nadležna.
Poišči zvezo med podobnostjo in potenco točke glede na krog.
Trikotnik Sierpinskega
Izrek o podobnosti s srednjico nas pripelje do pojma samopodobnosti in tako dobimo trikotnik Sierpinskega, ki predstavlja zanimiv uvod v fraktalno geometrijo. Ta trikotnik dobimo z zaporednimi ponavljanji včrtovanja trikotnika v enakostranični trikotnik, kjer v naslednji ponovitvi na enak način kot prej včrtamo trikotnik v vse tri trikotnike, razen sredinskega, kot vidimo na spodnji animaciji.
Še en primer podobnosti, kjer pa lahko še s preslikavo podobnost dodatno potrdimo. Seveda moramo razumeti, zakaj sta trikotnika podobna. V tem primeru gre za skladnost dveh kotov, kar pogojuje podobnost trikotnikov ΔABS in ΔSCD.
Naloge
Hincejeva sekvoja v Orešju pri Ptuju je zelo visoka. Da bi zmeril njeno višino, moraš uporabiti podoben trik, kot ga je uporabil Tales. Opiši postopek za primer sekvoje.
.
Več primerov ti bodo ponudile še
dodatne naloge
dodatne naloge