Linearna (ne)odvisnost, baza, ... hm, kaj je že to?
Računsko ugotovi, ali so vektorji , in komplanarni!
Vektorji so komplanarni, če ležijo v isti ravnini. Dva vektorja v isti ravnini sta linearno odvisna, če sta vzporedna, in neodvisna, če nista vzporedna. Če nista vzporedna, tvorita bazo ravnine. Trije vektorji v isti ravnini so vedno linearno odvisni, ker lahko vselej enega od njih izrazimo z drugima dvema. Če nam to ne uspe, pomeni, da taki trije vektorji ne ležijo v isti ravnini in so linearno neodvisni tvorijo bazo prostora.

Če so dani trije vektorji komplanarni, če torej ležijo v isti ravnini, so linearno odvisni in se da vsakega od njih izraziti z ostalima dvema. Poskusimo izraziti vektor z vektorjema in .

Iščemo skalarja k in l, da bo . Ko vstavimo komponentne zapise vektorjev, dobimo:

(2, –1, 1) = k(4, –2, –1)+l(–2, 1, 8)

(2, –1, 1) = (4k, –2k, –k)+(–2l, l, 8l)

(2, –1, 1) = (4k–2l, –2k+l, –k+8l)

Dva vektorja sta enaka, če se ujemata v vseh istoležnih komponentah, torej mora veljati:

4k–2l = 2 in –2k+l = –1 in –k+8l = 1.

Ko rešimo sistem druge in tretje enačbe, dobimo vrednosti in , ki ustrezata tudi prvi enačbi, kar je nujno preveriti, saj gre za sistem treh enačb z dvema neznankama. Čisto lahko bi se namreč zgodilo, da dobljeni vrednosti k in l ne bi ustrezali prvi enačbi, kar bi pomenilo, da sistem ne bi imel rešitve.

Ugotovili smo, da se vektor da izraziti s preostalima dvema vektorjema kot , kar pomeni, da so linearno odvisni, kar je možno le, če ležijo v isti ravnini. Dani vektorji so komplanarni in s tem ne tvorijo baze prostora.