Tudi tokrat ne gre brez trikotnika

Dana so oglišča trikotnika ABC: A(–2, 3, 4), B(0, –1, –3) in C(–1, 4, 2).

  1. Določi razpolovišče S stranice c = AB.
  2. Določi komponente obeh vektorjev, ki potekata od enega do drugega krajišča težiščnice na stranico c=AB!
  3. Določi težišče T trikotnika ABC.
  4. Določi koordinate točke D tako, da bo ABCD paralelogram.
  5. Določi koordinate točke E, ki leži na stranici AB in velja, da je |AE|:|EB| = 2:3.
Skico trikotnika ABC z vsem, o čemer naloga govori, prikazuje spodnja slika.
Interaktivno besedilo I
Razpolovišče S stranice c določimo s formulo: . Ker se zapis točke ujema z zapisom njenega krajevnega vektorja, je .
Interaktivno besedilo I
Iščemo komponente vektorja , pogojem naloge pa ustreza tudi prvemu vektorju nasprotni vektor, to je .
Interaktivno besedilo I
Ker je , je težišče trikotnika v točki T(–1, 2, 1).
Kako bi določili lego točke D, da bi bil ABCD zagotovo paralelogram? Pomisli na vzporednost in skladnost stranic. Kakšna sta vektorja, ki sta vzporedna in enako dolga, če ob tem poskrbimo še za enako usmerjenost?

Da bo ABCD paralelogram, morata biti dve (ne "po dve"!) nasprotni stranici vzporedni in enako dolgi. Če je to res, sta zaradi tega drugi dve prav tako vzporedni in enako dolgi in zato nastane paralelogram.

Vektorja, ki ležita na vzporednih in skladnih stranicah, sta enaka (če ju primerno usmerimo).

Tako je na primer ali , ...

Vzemimo prvo možnost in jo pretvorimo v zapis s krajevnimi vektorji:

.

Ker točke D in s tem tudi njenega krajevnega vektorja ne poznamo, ju zapišemo s trojico neznank (xD, yD, zD) in ta zapis uporabimo v enačbi:

. Torej je

, iz česar je

xD = –3, yD = 8 in zD = 9. Tako je D(–3, 8, 9).

Zdaj pa še k točki E. Se spomniš poglavja, v katerem smo uvedli krajevne vektorje? Rekli smo, da nam zelo koristijo pri določanju koordinat točk. Pomisli na to, da se zapisa iskane točke in njenega krajevnega vektorja v pravokotnem koordinatnem sistemu povsem ujemata.

Znaš izraziti krajevni vektor točke E s podatki iz naloge?

Krajevni vektor točke E izrazimo na primer takole:

.

Zadnji zapis določa koordinate iskane točke, se pravi točke .