Grafi potenčnih funkcij
"Potenčne" ali "korenske" funkcije?

Do zdaj smo s potencami oblike x(m/n) večinoma računali kot s koreni. Pa so te potence vedno koreni? Seveda ne, če je število n enako 1, dobimo čisto običajne potence. Takrat govorimo o že znanih funkcijah: x, x2, x3... , ki jim rečemo potenčne funkcije.

Primi točko M z miško in jo zelo počasi pelji navzgor po zeleni daljici od 1 do 6 (prepričaj se, če je n=1). Medtem opazuj obliko funkcij, ki nastajajo, in odgovori na spodnji vprašanji.

  • Ali imajo funkcije kakšno skupno točko? Če si odgovoril pritrdilno, katero?
  
Da.
Ne.
  • Kaj se dogaja z grafom funkcije f, ko število m povečujemo?
       
Večji, kot je m, bolj je funkcija f položna.
Večji, kot je m, bolj je funkcija f strma.

Zdaj pa točko M postavimo tako, da bo m=1, in spreminjajmo število n (po zeleni premici navzgor bomo premikali točko N). Še enkrat se spomnimo, da je

.

Oblika tako nastalih funkcij je povsem drugačna od prejšnjih.

Še vedno imajo vse nastale funkcije dve skupni točki: (1,1) in (0,0), so pa naše "korenske" funkcije veliko položnejše (čeprav še vedno naraščajoče).

Poišči pravilen odgovor na spodnje vprašanje:

  • Kaj se dogaja z grafom "korenske" funkcije f, ko število n povečujemo?
  
Večji, ko je n, bolj je funkcija f položna.
Večji, ko je n, bolj je funkcija f strma.
Kot zanimivost omenimo, da so "potenčne" funkcije konveksne (graf funkcije leži pod tetivo), "korenske" funkcije pa konkavne (graf funkcije leži nad tetivo). Morda ti bosta omenjena pojma bolj znana iz fizike, kjer ste omenjali konkavne in konveksne leče ali zrcala. Pri matematiki jih bomo sicer podrobneje spoznali šele v četrtem letniku.
Zdaj pa lahko točki M in N prosto premikaš. Poišči odgovor na spodnje vprašanje.
  • Kdaj se funkcija f prelevi iz "potenčne" v "korensko"?
  • ko je m/n≥1, predstavlja funkcija f "potenčno" funkcijo;
  • ko je m/n<1, predstavlja funkcija f "korensko" funkcijo.