Kosinusni izrek
Radi bi poznali razdaljo med drevesoma A in B, ki je neposredno ne moremo izmeriti zaradi neprehodnega terena med njima, kot prikazuje zgornja skica.
Vseeno pa nam je uspelo izmeriti razdalji drevesa A in drevesa B do iste – izhodiščne točke O, prav tako pa smo izmerili tudi kot γ med tema dvema smerema. Izmerjene količine naj bodo a=15 metrov, b=21 metrov in γ=80°.
Kako bi lahko izračunali razdaljo dreves A in B? V kakšno matematično nalogo bi lahko prevedli zgornji problem?
Naučiti se moramo, kako splošno izračunati tretjo stranico v trikotniku, v katerem poznamo drugi dve stranici in kot, ki ga oklepata.
Recimo, da računamo stranico a iz danih stranic b in c ter vmesnega kota α.
Nalogi smo kos tudi z našim obstoječim znanjem, za dosego cilja (stranice a) pa bo potrebnih kar precej korakov. Najprej trikotnik z višino na stranico c (vc) razdelimo na dva pravokotna trikotnika, nato pa:
- izračunamo c1,
- izračunamo c2,
- izračunamo višino na c (vc),
- izračunamo a.
Opisan računski postopek je precej dolg, ima pa še eno pomembno pomanjkljivost: uporaben je le v primerih, ko je kot α oster. Da smo izračunali stranico a, smo potrebovali 4 računske korake, kar pomeni 4 zaokroževanja vmesnih rezultatov in zato nenatančen končni rezultat.
Veliko bolje je, da vse štiri zapise strnemo v enega. To dosežemo tako, da v zadnji izraz za a vstavljamo vse prej izpeljane zveze, dokler ni a izražen le s podatki b, c in α.
Če dobljen izraz za stranico a kvadriramo, dobimo izrek, ki smo ga iskali:
.Izpeljani zvezi rečemo kosinusni izrek. Zakaj, verjetno ni treba razlagati. :)
Dodajmo še eno pot, ki vodi do t. i. kosinusnega izreka. Prehodili jo bomo skupaj, brez bližnjic zato, ker v njej uporabimo veliko znanja, ki smo si ga do zdaj nabrali o vektorjih.
Pa začnimo.
Vrnimo se k uvodni sliki, le da tokrat na stranice trikotnika postavimo vektorje
,
in
tako, da vektorja
in
oklepata kot α, za vektor
pa izberemo eno od možnih usmerjenosti, na primer tako, da je
.
Ideja dokaza je v tem, da izračunamo
na dva različna načina: prvič z uporabo distributivnosti skalarnega produkta, drugič pa po definiciji skalarnega produkta. Ko nastala izraza izenačimo in enakost preoblikujemo, dobimo iskani izrek.
1. način

2. način

Tako je
.
Če v zadnjem zapisu dolžine vektorjev zamenjamo z običajnimi dolžinami stranic, ponovno dobimo kosinusni izrek:
.Izračunaj stranico b v trikotniku, če je a=10, c=15, kot β=40°.
Rešitev
Od prej zapisanih možnosti uporabimo drugi zapis kosinusnega izreka. Ko vstavimo podatke, dobimo:
, iz česar sledi, da je stranica b, zapisana na dve decimalni mesti, enaka
Rešimo nalogo, ki smo jo že srečali v poglavju o skalarnem produktu.
Izračunaj dolžino vektorja
, če vektor
meri 2 enoti, vektor
1 enoto, kot med vektorjema
in
pa meri 45°.
Rešitev
Ker vektorji
,
in
tvorijo trikotnik, v katerem sta
in
znani stranici, kot, ki meri 45°, pa je ravno kot med njima, lahko tretjo stranico izračunamo z uporabo kosinusnega izreka in sicer takole:

Če boš pogledal v ustrezno poglavje, boš videl, da se pravkar dobljena rešitev seveda ujema s tisto od zadnjič, kar pomeni, da več matematičnega znanja daje več svobode v načinu reševanja.
Do zdaj smo pokazali, kako kosinusni izrek uporabljamo za računanje stranic trikotnika. Koristi nam pa lahko še drugače: če poznamo vse tri trikotnikove stranice, lahko izračunamo katerega koli od trikotnikovih notranjih kotov.
Zapiši kosinusni izrek za računanje stranice a in poskusi izraziti faktor, ki vsebuje kot α, se pravi, izrazi cos α.
Če poznamo vse tri trikotnikove stranice, lahko s kosinusnim izrekom izračunamo katerega koli od notranjih kotov trikotnika, npr.:
.Izpeljane obrazce lahko uporabimo v kateri koli vrsti trikotnikov. Ker lahko večkotnike vedno razdelimo v trikotnike, lahko s kosinusnim izrekom računamo tudi diagonale, višine, tetive, notranje kote in kote med diagonalami v večkotnikih ... Pomembno je samo, da podatki v trikotniku znotraj večjih likov ali teles ustrezajo zahtevam za uporabo kosinusnega izreka, kar pomeni:
- dani sta dve trikotnikovi stranici in njun vmesni kot ali
- dane so vse trikotnikove stranice.
Naloga: izračunaj še drugo diagonalo e in notranja kota α in β paralelograma, v katerem je a=10cm, b=6cm in diagonala f=BD=7cm.
Rešitev
Narišimo skico in razmislimo o poteku računanja.
Ker v trikotniku ABD poznamo vse tri stranice (a, b in f), lahko najprej izračunamo kot α:
.
Pri tem smo rezultat zaokrožili navzdol. Ker je β suplementarni kot kota α, je β=180°–α=136,5° (zaokroženo navzgor).
Diagonalo e izračunamo s kosinusnim izrekom v trikotniku ABC, saj v njem sedaj poznamo dve stranici (a in b) in njun vmesni kot β. Tako je:
cm.
S spodnjo sliko preverimo, ali smo izračunali pravilno.
Poglejmo, kaj se zgodi, če v kosinusnem izreku za stranico c upoštevamo, da je kot γ=90°, da je torej trikotnik, s katerim imamo opravka, pravokoten. Potem je:
,
,
.
Nastal je ... seveda! Pitagorov izrek!
Z uporabo kosinusnega izreka dokaži naslednje: če v trikotniku med stranicami velja zveza a2+b2=c2, je trikotnik pravokoten.
Izračunaj vse notranje kote, obe diagonali in višino trapeza, če poznaš vse njegove stranice: a=10, b=6, c=3 in d=4.
Rešitev
Najprej je treba narisati skico in najti tiste trikotnike, v katerih je dovolj podatkov za uporabo kosinusnega izreka, kotnih funkcij in drugega znanja iz geometrije.
Morda se sprašujete, zakaj je na skici še dodatna daljica, označena z b, ki poteka od D do E. Če se spomnite konstrukcij iz 1. letnika, ste trapez s štirimi danimi stranicami lahko konstruirali le tako, da ste si pomagali z vzporednim premikom stranice b v oglišče D (ali stranice d v točko C). Tako ste lahko narisali trikotnik AED in ga dopolnili do iskanega trapeza. Enak trik pomaga tudi pri računanju kotov trapeza.
Pa začnimo v trikotniku AED, v katerem poznamo vse tri stranice b, d in a–c; v njem bomo s kosinusnim izrekom izračunali kota α in β, z uporabo suplementarnosti kotov ob istem kraku pa določili tudi velikosti kotov γ in δ.

Za izračun diagonale e bomo potrebovali trikotnik ABC, v katerem po izračunu kota β poznamo dve stranici a in b ter njun vmesni kot β. Uporabimo kosinusni izrek:

Podobno postopamo pri računanju diagonale f v trikotniku ABD, kjer poznamo a, d in vmesni kot α:

Zdaj pa še k višini trapeza. Za njen izračun ne bomo potrebovali kosinusnega izreka, pač pa bo dovolj znanje kotnih funkcij. Višino bomo izračunali iz trikotnika AFD z uporabo kotne funkcije sinus:
.
Pri izračunu smo raje kot približek kota α upoštevali točno vrednost sin α.
Tako kot pri prejšnji nalogi tudi tokrat poglejmo na skico in preverimo, ali smo pravilno računali.
, če pa iščemo kateto, izrek preoblikujemo v zvezo
oziroma
.



in kot γ=180°–(α+β).





m.
, prenesemo na levo stran enakosti, nakar opravimo samo še potrebno deljenje, pa je. V praksi to zgleda takole:
,
,
. 


