Spoznali bomo, kako poiskati funkcijo, ki bo slike dane funkcije preslikala nazaj v njihove originale.
Surjektivnost, injektivnost in bijektivnost
Najprej se bomo skupaj spomnili še treh pomembnih lastnosti funkcij.
Dane imaš diagrame funkcij. Spomni se, kaj je lastnost surjektivnih funkcij, če ti zaupam, da sta diagrama funkcij g in t primera takih funkcij.
Če dobro opazuješ, ugotoviš, da se ta dva primera razlikujeta od drugih dveh po tem, da ima vsak element iz zaloge vrednosti svoj original, ki pa ni nujno en sam. Pri ostalih dveh diagramih namreč elementa 3 oziroma 1 nista sliki nobenih elementov.
Funkcija f: A → B je surjektivna, če je vsak element iz množice B slika vsaj enega elementa iz množice A.
To pomeni, da je zaloga vrednosti enaka množici B.
Podobno se skušaj spomniti, kaj je lastnost injektivnih funkcij, če sta taki funkciji g in h.
Pri funkcijah g in h opazimo, da se vsak element preslika v različno sliko oziroma se nikoli ne zgodi, da bi dva različna elementa preslikali enako.
Funkcija f: A → B je injektivna, če poljubna različna elementa iz množice A preslika v različni sliki v množici B.
Torej: če je x1≠x2, potem je f(x1)≠f(x2).
Povedano drugače: funkcija f je injektivna, če je vsak element iz množice B slika kvečjemu (največ) enega elementa iz množice A.
Sedaj še razmisli o pojmu bijektivnost, če je taka funkcija g. Kaj pa velja za funkcijo f?
Funkcija g ima obe prej opisani lastnosti, torej so bijektivne funkcije hkrati injektivne in surjektivne.
Funkcija f pa nima nobene od opisanih lastnosti, saj v zalogi vrednosti ostane en element, ki ni slika nobenega (odpove surjektivnost) in element 4 je slika dveh elementov (odpove injektivnost).
Funkcija f: A → B je bijektivna, če je injektivna in surjektivna hkrati.
Ker je bijektivna funkcija surjektivna, je vsak element iz množice B slika vsaj enega elementa iz množice A; zaradi injektivnosti pa je vsak element iz množice B slika največ enega elementa iz množice A. Posledica obojega je, da je pri bijektivni funkciji vsak element iz množice B slika natanko enega elementa iz množice A. Zato imata množici A in B enako število elementov (rečemo tudi, da je moč množice A enaka moči množice B).
Kadar imamo podan graf funkcije, lahko opisane lastnosti razberemo z opazovanjem presečišč med grafom funkcije in poljubne vzporednice z osjo x.
Za funkcijo f: A → B velja, da poljubna vzporednica osi x:
- seka graf injektivne funkcije največ enkrat;
- seka graf surjektivne funkcije vsaj enkrat, vendar moramo pri tem biti pozorni in opazovati le tiste vzporednice, ki potekajo preko množice B;
- seka graf bijektivne funkcije natanko enkrat.
Razmisli in reši
Opazuj podane grafe funkcij in ugotovi, kateri predstavljajo surjektivne, injektivne ali bijektivne funkcije. Odgovore najdeš pod gumbki pri vsaki sliki.
Razmisli, kolikokrat seka poljubna vzporednica osi x graf funkcije v posameznem primeru.
a) Funkcija je surjektivna, saj so slike v intervalu [-1, 1]; ni injektivna, ker se dva različna originala preslikata v isto vrednost. Ta funkcija ima še eno posebno lastnost– je periodična. Poljubna vzporednica z osjo x bi graf sekala neskončnokrat.
b) Ker gre za funkcijo, kjer sta tako definicijsko območje kot zaloga vrednosti množici realnih števil, funkcija ni surjektivna, saj na intervalu (0, 3) na osi y nimajo vzporednice z osjo x nobene presečne točke. Funkcija je injektivna, saj se vsi različni originali preslikajo v različne vrednosti; torej poljubna vzporednica z osjo x seka graf funkcije največ enkrat.
c) Funkcija ni injektivna in ni surjektivna. Poljubna vzporednica z osjo x seka graf funkcije enkrat, dvakrat ali nobenkrat.
d) Funkcija je injektivna in surjektivna, torej bijektivna. Poljubna vzporednica z osjo x seka graf funkcije natanko enkrat.
V primeru b) opazovana funkcija ni surjektivna. Ali lahko določimo tako množico , da bo funkcija surjektivna?
Če množici B "odvzamemo" interval (1, 3) (pravimo, da jo zožamo) in jo definiramo kot
,
potem bo funkcija surjektivna.
Razmisli
Kaj lahko poveš o opisanih lastnostih za linearno funkcijo?
Linearna funkcija s predpisom je vedno bijektivna, razen za k=0. V primeru k=0 gre za konstantno funkcijo (y=n), ki nikakor ni bijektivna.
Inverzna funkcija
Zanima nas, kako priti do predpisa, ki bi slike dane funkcije preslikal nazaj v njihove originale.
1. primer
Naj bo f(x)=x+1. Torej je f(0)=1, f(2)=3. Skušaj poiskati tako funkcijo, ki bo 1 preslikala v 0 in 3 v 2.
Dana funkcija vsakemu elementu prišteje 1, torej bomo morali sedaj odšteti 1. Če definiramo g(x)=x–1, dobimo g(1)=0 in g(3)= 2.
Funkcija g(x)=x–1 ima torej zahtevane lastnosti za ta dva elementa. Ali to velja za poljuben x iz njenega definicijskega območja?
Poljuben element x nam funkcija f(x) preslika v f(x)=y=x+1. Kaj naredi funkcija g(x) s poljubno sliko funkcije f(x)?
g(y)=g(x+1)=(x+1)–1=x
Res nam vsako sliko preslika nazaj v njen original.
Pravimo, da je funkcija ginverzna funkcija funkcije f.
2. primer
Sedaj si poglejmo funkcijo h(x)=x2. Razmisli, katera funkcija bi njene slike preslikala nazaj v originale. Pomagaj si z izbranimi funkcijskimi vrednostmi, npr. h(1), h(–1) in h(2). Kaj opaziš?
h(1)=h(–1)=1
h(2)=h(–2)=4
Iskana funkcija bi nam morala preslikati 1 v dve vrednosti, 1 in –1; prav tako bi nam morala 2 preslikati v dve različni vrednosti, 2 in –2. To pa je v nasprotju s samo definicijo funkcije, kjer moramo vsak element preslikati v natančno določen element.
Kakšna torej mora biti funkcija f: A → B, da ji bomo lahko poiskali njeno inverzno funkcijo? Razmisli, kdaj lahko poljubnemu elementu enolično določimo njegov original.
Inverzno funkcijo lahko poiščemo samo tedaj, ko za vsak b iz množice B obstaja natanko en element iz množice A, ki se je preslikal vanj.
Za vsak b mora torej obstajati element, ki se je preslikal v b (funkcija mora biti surjektivna); ne sme pa takih elementov biti več (funkcija mora biti injektivna). Torej mora biti funkcija bijektivna.
Inverzna funkcija f –1 k bijektivni funkciji f: A → B je funkcija f –1: B → A, ki vsaki sliki priredi njen original.
Da potrdimo zgornjo trditev glede funkcije g(x), si oglejmo novo računsko operacijo med funkcijami: sestavljanje ali kompozitum funkcij. Več o tem se boš naučil v četrtem letniku.
Funkcija (f ° g)(x) je kompozitum funkcij f(x) in g(x) in jo podamo s predpisom (f º g)(x) = f(g(x)) . Veljati mora, da leži zaloga vrednosti funkcije g(x) v definicijskem območju funkcije f(x).
Če velja (f º g)(x) = (g º f)(x) = x, sta funkciji med seboj inverzni.
Poglejmo to za naš primer:
f(g(x)) = f(x–1) = (x–1)+1 = x in g(f(x)) = g(x+1) = (x+1)–1 = x.
Opozorilo
Oznaka inverzne funkcije f –1 ne pomeni obratne vrednosti funkcije:.
Lastnosti in graf inverzne funkcije
Poglejmo si lastnosti inverzne funkcije in njen graf.
Ali je tudi inverzna funkcija bijektivna?
Inverzna funkcija je bijektivna, saj mora vsaka slika imeti natanko en original.
Za funkcijo f(x)=x+1 smo prej našli njeno inverzno funkcijo f –1(x)=x–1.
Skušaj poiskati inverzno funkcijo še funkciji h(x)=2x+3. Katero funkcijo dobiš?
Funkcija h(x) nam torej vsak x preslika v y=2x+3. Iščemo funkcijo h–1(y)=h–1(2x+3)=x.
Torej se vlogi odvisne in neodvisne spremenljivke zamenjata. Ko to upoštevamo pri predpisu funkcije h(x)=2x+3, dobimo:
x=2y+3,
2y=x–3,
y=(x–3)/2.
Torej je , ki je spet linearna funkcija.
Nariši grafa funkcije f(x) in njej inverzne funkcije v isti koordinatni sistem. Enako naredi za funkcijo h(x).
Odpri si obe sliki grafov funkcij in njihovih inverznih funkcij zgoraj.
Opazuj lego grafov. Kaj opaziš?
V prvem primeru dobimo dve vzporednici, v drugem primeru pa premici, ki se sekata.
Črtkana premica na obeh slikah je simetrala lihih kvadrantov s predpisom y=x. Kakšna je lega grafov glede na to simetralo?
Graf funkcije in graf njene inverzne funkcije sta zrcalna glede na simetralo lihih kvadrantov.
Kje se sekata grafa funkcije h(x) in h–1(x)? Potrdi z računom.
Grafa se sekata na simetrali lihih kvadrantov.
h(x)=h–1(x)
2x+3=(x–3)/2
3x=–9
x=–3, y=2(–3)+3=–3, S(–3, –3)
Graf inverzne funkcije
Kot smo že ugotovili, sta grafa funkcije f in njene inverzne funkcije zrcalna glede na simetralo lihih kvadrantov. Na sliki spodaj je to še enkrat nazorno prikazano. Podan imaš graf funkcije f(x)=3x+6 in graf inverzne funkcije f–1(x)=x/3–2.
Ker je f(x)=y, točka T(x, y) leži na grafu funkcije f.
Ker je potem f–1(y)=x, leži točka T'(y, x) na grafu funkcije f–1.
Točko T' dobimo z zrcaljenjem točke T preko simetrale lihih kvadrantov; to lahko opazuješ, če premikaš točko T na sliki.
Za inverzno funkcijo velja, da:
- njen predpis dobimo tako, da zamenjamo vlogi x in y=f(x) v predpisu funkcije f in izrazimo nov y;
- njen graf dobimo z zrcaljenjem grafa dane funkcije f preko simetrale lihih kvadrantov (y=x).
Preveri svoje znanje
Pazljivo preberi trditve spodaj in ugotovi, ali so pravilne ali nepravilne.
1.
Funkcija ima inverzno funkcijo s predpisom
.
Pravilno
Napačno
To pa ne bo držalo! Pozor! Zapis f–1(x) ne pomeni obratne vrednosti kot pri številih, pač pa inverzno funkcijo, ki ima v tem primeru predpis . Preveri sam.
Odlično! Pozor! Zapis f–1(x) ne pomeni obratne vrednosti kot pri številih, pač pa inverzno funkcijo, ki ima v tem primeru predpis . Preveri sam.
2. Grafa funkcije f in f–1 se sekata na simetrali sodih kvadrantov.
Pravilno
Napačno
To pa ne bo držalo! Ker sta grafa zrcalna glede na simetralo lihih kvadrantov, leži njuno presečišče (če obstaja) točno na tej simetrali.
Odlično! Ker sta grafa zrcalna glede na simetralo lihih kvadrantov, leži njuno presečišče (če obstaja) točno na tej simetrali.
3. Inverzna funkcija je surjektivna.
Pravilno
Napačno
Odlično! Trditev je pravilna; še več – je tudi bijektivna in njena inverzna funkcija je dana funkcija (funkcija in njena inverzna funkcija sta druga drugi inverzni).
To pa ne bo držalo! Trditev je pravilna; še več – je tudi bijektivna in njena inverzna funkcija je dana funkcija (funkcija in njena inverzna funkcija sta druga drugi inverzni).
4. Inverzna funkcija linearni funkciji je linearna funkcija.
Pravilno
Napačno
Odlično!
Trditev lahko preverimo s preprostim računom. Če je y=kx+n, potem zamenjamo vlogi spremenljivk in dobimo:
x=ky+n,
, kar je spet linearna funkcija.
To pa ne bo držalo!
Trditev lahko preverimo s preprostim računom. Če je y=kx+n, potem zamenjamo vlogi spremenljivk in dobimo:
x=ky+n,
, kar je spet linearna funkcija.
5. Če premico 3x–4y–8=0 prezrcalimo preko simetrale lihih kvadrantov, dobimo premico 4x–3y+8=0.
Pravilno
Napačno
Namig
Zamenjaj vlogi spremenljivk in dobiš drugo premico.
Odlično! Premici sta grafa inverznih funkcij.
To pa ne bo držalo! Premici sta grafa inverznih funkcij.