Poznamo potenčne funkcije s celim eksponentom in inverzno funkcijo. To dvoje bomo potrebovali za seznanitev s korensko funkcijo. Spoznali bomo pogoje za njen obstoj, njene lastnosti in graf.
Ponovitev o korenih
Pri definiciji korenov poljubnih stopenj smo ločili dva primera; kadar je eksponent liho oziroma sodo naravno število. Ob reševanju nalog bomo ponovili lastnosti korenov.
1. Izračunaj in svojo rešitev utemelji.
a)
b)
c)
d)
a) 5, ker je 52=25.
b) Ni realne rešitve, ker je a4≥0 za vsak .
c) 4, ker je 43=64.
d) –2x, ker je (–2x)5=–32x5.
2. Poišči realne rešitve enačb:
a) x2– 49=0
b) x3–27=0
c) 16x4+1=0
d) x7=–1
a) x1=7, x2=–7
b) x=3
c) Ni realne rešitve.
d) x=–1
3. Pri katerih korenih moramo biti pazljivi in na kaj? Kaj je z rešitvami enačb xn=a?
Pri korenih sodih stopenj moramo paziti na to, da je korenjenec nenegativno število.
Ko je pri enačbah oblike xn=an sodo število in a≥0, obstajata dve (nasprotni si) rešitvi; ko je n liho število, je rešitev ena sama.
Če povzamemo:
- kadar je n sodo naravno število in x nenegativno realno število, potem je (≥0) natanko tedaj, ko je ;
- kadar je n liho naravno število in xpoljubno realno število, potem je natanko tedaj, ko je .
Ker so lihi koreni definirani za vsa realna števila, se bomo najprej seznanili s korenskimi funkcijami z lihim eksponentom.
Korenske funkcije z lihim korenskim eksponentom
Dano imaš potenčno funkcijo s predpisom f(x)=x3.
1. Med spodaj naštetimi lastnostmi označi tiste, ki jih ta funkcija ima.
naraščajoča
omejena
soda
liha
bijektivna
Pravilno, saj se z večanjem vrednosti spremenljivke x veča tudi funkcijska vrednost.
Funkcija je neomejena, saj je njena množica slik množica vseh realnih števil.
Narobe
Za lihe funkcije velja f(–x)=–f(x), kar za funkcijo f(x)=x3 velja.
Res, saj najdemo za vsak y=x3 natančno en ustrezen x, za katerega velja, da je f(x)=y.
Na grafu funkcije so lepo vidne njene lastnosti: je naraščajoča, neomejena, liha (graf je zrcalen glede na koordinatno izhodišče) in bijektivna, saj poljubna vzporednica z abscisno osjo seka graf natanko enkrat.
2. Ali obstaja njena inverzna funkcija? Zakaj?
Ker je funkcija bijektivna, ima inverzno funkcijo.
3. Zapiši predpis njene inverzne funkcije.
Predpis inverzne funkcije poiščemo tako, da zamenjamo vlogi spremenljivk. Po zamenjavi dobimo:
x=y3.
Po definiciji korena lihe stopnje je x=y3 natanko tedaj, ko je . Povedano drugače: da se znebimo tretje potence, obe strani enačbe korenimo s tretjim korenom.
Torej je predpis inverzne funkcije .
4. Poskušaj narisati graf inverzne funkcije.
Graf inverzne funkcije dobimo z zrcaljenjem grafa funkcije preko simetrale lihih kvadrantov. Na grafu vidimo, da je inverzna funkcija naraščajoča, liha, neomejena in bijektivna.
Korenska funkcija zlihimkorenskim eksponentom n , je inverzna funkcija potenčne funkcije g(x)=xn z lihim eksponentom.
Grafi korenskih funkcij z lihim korenskim eksponentom
Slika nam prikazuje grafe korenskih funkcij z različnimi lihimi korenskimi eksponenti. Opazimo, da imajo podobno obliko, ki se razlikuje po strmini, in potekajo skozi tri skupne točke.
Glavne lastnosti korenskih funkcij z lihim korenskim eksponentom:
- naraščajo na celotnem definicijskem območju,
- so lihe,
- imajo tri skupne točke A(1, 1), B(–1, –1) in O(0, 0),
- so neomejene.
Vaja
1. Zapiši inverzno funkcijo funkcije h(x)=x5–2.
y=x5–2
x=y5–2
y5=x+2
2. Nariši graf funkcije h(x) in h–1(x) v isti koordinatni sistem.
3. Nariši graf funkcije .
Graf lahko narišeš na dva načina:
- z vzporednim premikom korenske funkcije z eksponentom 3 za vektor ,
- z izračunom inverzne funkcije, ki je v tem primeru potenčna funkcija h(x)=(x–1)3–3, katere graf prezrcališ prek simetrale lihih kvadrantov.
Graf funkcije
Korenske funkcije s sodim korenskim eksponentom
Dano imaš funkcijo , f(x)=x2. Nariši njen graf in se spomni njenih lastnosti.
Funkcija je soda (graf je zrcalen glede na ordinatno os), navzdol omejena, padajoča na (–∞, 0) in naračajoča na (0, ∞), ni injektivna, saj vzporednica abscisni osi seka graf dvakrat.
1. Ali obstaja njena inverzna funkcija? Zakaj?
Ker funkcija ni injektivna, torej ni bijektivna, nima inverzne funkcije.
2. Kaj bi morali spremeniti, da bi funkcija postala bijektivna?
Ker funkcija kot realna funkcija ni niti injektivna niti surjektivna, bi morali odpraviti ti dve oviri. To najpreprosteje naredimo tako, da spremenimo (zožimo, skrčimo) definicijsko območje in zalogo vrednosti. Imamo dve možnosti:
f:(-∞, 0]→[0, ∞) ali f:[0, ∞)→[0, ∞). V obeh primerih je funkcija bijektivna, saj poljubna vzporednica seka sedaj graf v posameznem primeru natanko enkrat.
3. Poskusi zapisati predpis njene inverzne funkcije. V pomoč naj ti bo definicija korena sode stopnje. Kaj opaziš?
Če spet zamenjamo vlogi spremenljivk, dobimo:
x=y2.
Sedaj je treba upoštevati definicijo kvadratnega korena , x, y≥0 in dobimo:
.
Tako smo dobili predpis , ki ustreza drugi izbiri zožitve Df in Zf, in sicer f:[0, ∞)→[0, ∞) (glej prejšnjo pomoč).
4. Nariši graf funkcije f:[0, ∞)→[0, ∞), f(x)=x2 in nariši še graf inverzne funkcije.
Korenska funkcijas sodim korenskim eksponentom n f:[0, ∞)→[0, ∞), , je inverzna potenčni funkciji s sodim eksponentom g(x)=xn, ki smo ji zožali definicijsko območje na nenegativna realna števila.
Grafi korenskih funkcij s sodim korenskim eksponentom
Na sliki so podani grafi korenskih funkcij z različnimi sodimi korenskimi eksponenti. Vidimo, da imajo podobno obliko in dve skupni točki. Strmina je odvisna od velikosti eksponenta; večji je eksponent, hitreje funkcija narašča na intervalu [0, 1), na intervalu (1, ∞) pa postanejo grafi funkcij z večjim korenskim eksponentom vse bolj položni.
Glavne lastnosti korenskih funkcij s sodim korenskim eksponentom:
- naraščajo na celotnem definicijskem območju,
- imajo dve skupni točki A(1, 1) in O(0, 0),
- omejene so navzdol in so pozitivne.
Vaja
Pazljivo preberi spodnje trditve in označi njihovo pravilnost oziroma nepravilnost.
1. Funkcija je definirana za x≥3.
Pravilno
Napačno
Odlično! Izraz pod korenom mora biti nenegativen, torej x–3≥0 oziroma x≥3.
To pa ne bo držalo! Izraz pod korenom mora biti nenegativen, torej x–3≥0 oziroma x≥3.
2. Graf funkcije dobimo z vzporednim premikom funkcije za vektor .
Pravilno
Napačno
To pa ne bo držalo! Gre za vzporedni premik za vektor . Glej sliko 1 spodaj.
Odlično! Gre za vzporedni premik za vektor . Glej sliko 1 spodaj.
3. Korenska funkcija je inverzna funkciji .
Pravilno
Napačno
Odlično! Saj je po zamenjavi spremenljivk in po ureditvi ter končno . Glej sliko 2 spodaj.
To pa ne bo držalo! Saj je po zamenjavi spremenljivk in po ureditvi ter končno . Glej sliko 2 spodaj.
Graf funkcije f:[3, ∞)→[2, ∞), in graf funkcije g:[2, ∞)→[3, ∞),