Baza v prostoru

Če za zapis vektorja v koordinatnem sistemu ravnine zadoščata dve števili, za zapis v koordinatnem sistemu prostora potrebujemo tri. Tokrat se bomo naučili, kako to dosežemo in kako računamo z vektorji v takem zapisu.
Ko rečemo prostor, tokrat mislimo na običajen, tridimenzionalen prostor, v katerem živimo, se pravi tistega, ki ga opišemo s tremi razsežnostmi: dolžino, širino in višino. Zato bomo za vzpostavitev pravokotnega koordinatnega sistema tokrat potrebovali tri med seboj pravokotne koordinatne osi.
Dopolni naslednje besedilo.
Za koordinatni sistem v ravnini potrebujemo dve med seboj številski osi. Vodoravno os imenujemo os x ali os, navpično pa os y ali os. Tema dvema sedaj dodamo tretjo, ki bo pravokotna na obe. Imenujemo jo os z ali aplikatna os. Ob projiciranju poljubne točke T na vsako od osi naletimo na števila, ki pomenijo koordinate točke T: na osi odčitamo absciso, na osi y , na osi z pa aplikato točke T. Tako lahko vsako točko T v prostoru predstavimo z urejeno trojico števil, kar zapišemo kot T(xT, yT, zT). Velja tudi obratno: poljubna urejena trojica realnih števil predstavlja natanko eno prostora. Način določanja koordinat s projiciranjem na vse tri osi prikazuje zgornja animacija.
  

Od točke h krajevnemu vektorju

Tako kot že v ravnini, velja tudi v prostoru naslednje: do vsake točke prostora vodi natanko en krajevni vektor, zato je točka s svojim krajevnim vektorjem natanko določena

Tudi v prostoru želimo krajevni vektor točke T izraziti v ortonormirani bazi prostora. 

Tvorijo jo trije krajevni in enotski vektorji na koordinatnih oseh: na osi x leži vektor , na osi y vektor , na osi z pa vektor .
Oglej si spodnjo sliko in odgovori na vprašanja, ki sledijo.
Dana je točka T(xT, yT, zT). Kako opišemo pot od začetne do končne točke vektorja , če se premikamo samo v smeri baznih vektorjev , in ? Koliko posameznih vektorjev , in potrebujemo za ustrezne premike vzdolž koordinatnih osi?
Potrebni premiki so določeni s koordinatami točke T. Najprej se premaknemo po osi x do točke s koordinato xT, kar pomeni, da prehodimo vektor . Nato nadaljujemo pot v smeri osi y do točke T' s koordinato yT, kar ustreza premiku po vektorju , nazadnje pa potrebujemo še samo primerno višino, torej premik za vektor .
Potrebne premike vzdolž baznih vektorjev ponazarja spodnja slika.
Pot od začetne do končne točke krajevnega vektorja točke T opisujejo nanizane zelene usmerjene daljice. Tako je:
.

Krajevni vektor točke T(xT, yT, zT) v ortonormirani bazi prostora zapišemo kot

,
kar lahko zapišemo tudi v obliki
 
.
 
V tem primeru števila xT, yT in zT imenujemo komponente vektorja .
Tudi v prostoru se zapis krajevnega vektorja točke T v obliki urejene trojice komponent popolnoma ujema z zapisom koordinat točke T. Razlika je le v tem, da pri vektorju uporabljamo enačaj, pri zapisu točke pa ne.
In tu je že prva vaja

Dane vektorje zapiši še v drugi možni obliki.

, , , , in .

Vektorje, ki so zapisani v obliki linearnih kombinacij baznih vektorjev, bomo zapisali v obliki urejenih trojic, urejene trojice pa bomo spremenili v kombinacijo baznih vektorjev. Iskani zapisi so:

, , , , in .

Do katerih točk vodijo dani krajevni vektorji?

, , , in .

Če bomo tudi zapise zadnjih treh vektorjev spremenili v urejene trojice komponent, bodo le-te ustrezale koordinatam točk, do katerih vodijo dani krajevni vektorji. Te točke so:

A(2, 5, –7), B(–5, 2, 0), C(3, 0, 7), D(0, –5, 0) in E(2, –3, –6).

Računanje s prostorskimi vektorji, podanimi s komponentami
Zelo razveseljivo je to, da se oblika prav vseh pravil, ki smo se jih naučili v koordinatnem sistemu ravnine, ohrani, smiselno je treba vključiti le tretjo koordinato točk oziroma tretjo komponento vektorjev.
Seštevanje in odštevanje vektorjev ter množenje vektorja s skalarjem

Izpeljimo pravilo za seštevanje vektorjev in ! Ravnamopodobno, kot smo to že počeli v koordinatnem sistemu ravnine. Tako je:

.

Vidimo, da vektorja, podana s komponentami, seštejemo tako, da seštejemo istoležne komponente obeh vektorjev, torej prvi dve, drugi dve in tretji dve.

Tudi pravili za odštevanje vektorjev in množenje vektorja s skalarjem sta podobni praviloma, ki ju poznamo iz ravnine. Poskusi ju izpeljati sam!
Interaktivno besedilo I

Dana sta vektorja in . Potem je:

.

Vidimo, da vektorja v komponentnem zapisu odštevamo tako, da odštevamo istoležne komponente.

Interaktivno besedilo I

Dan je vektor in skalar k. Izračunajmo .

Vektor z danimi komponentami pomnožimo s skalarjem tako, da s tem skalarjem pomnožimo vsako komponento posebej.

Skalarni produkt, dolžine in koti
Tako kot vsa dosedanja pravila se bodo tudi pravila za skalarno množenje, računanje dolžin in kotov spremenila le po številu v pravila vključenih koordinat oziroma komponent; namesto dveh bodo sedaj pač tri.
Sam izpelji pomembno pravilo za skalarni produkt vektorjev in . Pri tem se spomni, koliko znašajo skalarni produkti in .

Izračunajmo , če je in .

Dva vektorja, podana s komponentami, skalarno množimo tako, da pomnožimo istoležne komponente (prvo komponento prvega vektorja s prvo komponento drugega vektorja itd.) in dobljene produkte seštejemo.

Zapišimo še obrazec za računanje dolžine vektorja in za računanje kota med vektorjema v prostoru.

 

Strnimo vsa računska pravila na enem mestu.

Če sta dana vektorja in ter skalar k, za računanje z vektorji veljajo naslednja pravila:

;

;

;

;

;

.

Zdaj pa k reševanju nalog

Najprej ponovimo nekaj formul, brez katerih tudi v prostoru ne bo šlo. To so: formula za določanje vektorja med znanima točkama A in B, formula za krajevni vektor razpolovišča S daljice AB in formula za krajevni vektor težišča T trikotnika ABC.

Nekaj osnov za dober začetek ...

Rešimo nalogo, s katero bomo povzeli večino do sedaj pridobljenega znanja o vektorjih.

Naj bo in . Izračunaj:

  • ,
  • ,
  • dolžini obeh vektorjev,
  • enotski vektor v smeri vektorja ,
  • kot med vektorjema in na stotinko stopinje natančno,
  • projekcijo vektorja na vektor .

Rešitve so po vrsti naslednje:

  • ,

 

Pri računanju enotskega vektorja smo upoštevali, da moramo doseči, da bo dolg eno enoto, zato smo morali vektor deliti z ustreznim faktorjem, in sicer z njegovo lastno dolžino. S tem vedno dobimo vektor, ki meri 1 enoto.

Projekcijo vektorja na vektor smo izračunali tako, da smo preoblikovali drugo možno obliko zapisa skalarnega množenja, to je zapis , iz katerega smo izrazili iskano projekcijo.

Vektorja v različnih medsebojnih legah ...

Dana sta vektorja in . Določi neznano komponento x tako, da bosta vektorja in

a) pravokotna,

b) vzporedna,
c) takšna, da bo dvakrat daljši od vektorja .

 

Rešitve a) Če želimo, da bosta vektorja in pravokotna, mora veljati: . Tako je:

.

Zapis vektorja , ki je pravokoten na vektor , je .

 

b) Določimo x tako, da bosta vektorja in vzporedna, da bo med njima torej veljala zveza , kjer je k realno število, ki ga želimo poiskati.

Ker zadnji dve enačbi nimata iste rešitve (drugo reši k = 2, tretjo pa ), tudi celoten sistem treh enačb nima rešitve in tako dana vektorja v nobenem primeru ne moreta biti vzporedna.

 

c) V tretjem primeru želimo, da bo med dolžinama vektorjev veljala zveza: . Izračunajmo dolžini obeh vektorjev.

,

Enačba, ki jo moramo rešiti, je . Če obe strani enačbe kvadriramo, dobimo:

oziroma .

Tako smo ugotovili, da obstajata dva možna vektorja z dvojno dolžino vektorja . To sta: in .

Kaj pa, če je kot določen, vektorja pa ne povsem?

V tej nalogi nastopata vektorja in . Določi x tako, da bo kot med vektorjema in meril 45°.

Ker v obrazcu za kosinus kota med vektorjema potrebujemo skalarni produkt in obe dolžini vektorjev, najprej izračunajmo to troje:

Veljati mora: . Če upoštevamo točno vrednost za cos45°, dobimo enačbo:

.

Če jo delimo s in pomnožimo z obema imenovalcema, dobimo: .

Po kvadriranju obeh strani je .

Tako obstajata dva vektorja , ki z vektorjem oklepata želeni kot 45°. To sta in .

Tudi tokrat ne gre brez trikotnika

Dana so oglišča trikotnika ABC: A(–2, 3, 4), B(0, –1, –3) in C(–1, 4, 2).

  1. Določi razpolovišče S stranice c = AB.
  2. Določi komponente obeh vektorjev, ki potekata od enega do drugega krajišča težiščnice na stranico c=AB!
  3. Določi težišče T trikotnika ABC.
  4. Določi koordinate točke D tako, da bo ABCD paralelogram.
  5. Določi koordinate točke E, ki leži na stranici AB in velja, da je |AE|:|EB| = 2:3.
Skico trikotnika ABC z vsem, o čemer naloga govori, prikazuje spodnja slika.
Interaktivno besedilo I
Razpolovišče S stranice c določimo s formulo: . Ker se zapis točke ujema z zapisom njenega krajevnega vektorja, je .
Interaktivno besedilo I
Iščemo komponente vektorja , pogojem naloge pa ustreza tudi prvemu vektorju nasprotni vektor, to je .
Interaktivno besedilo I
Ker je , je težišče trikotnika v točki T(–1, 2, 1).
Kako bi določili lego točke D, da bi bil ABCD zagotovo paralelogram? Pomisli na vzporednost in skladnost stranic. Kakšna sta vektorja, ki sta vzporedna in enako dolga, če ob tem poskrbimo še za enako usmerjenost?

Da bo ABCD paralelogram, morata biti dve (ne "po dve"!) nasprotni stranici vzporedni in enako dolgi. Če je to res, sta zaradi tega drugi dve prav tako vzporedni in enako dolgi in zato nastane paralelogram.

Vektorja, ki ležita na vzporednih in skladnih stranicah, sta enaka (če ju primerno usmerimo).

Tako je na primer ali , ...

Vzemimo prvo možnost in jo pretvorimo v zapis s krajevnimi vektorji:

.

Ker točke D in s tem tudi njenega krajevnega vektorja ne poznamo, ju zapišemo s trojico neznank (xD, yD, zD) in ta zapis uporabimo v enačbi:

. Torej je

, iz česar je

xD = –3, yD = 8 in zD = 9. Tako je D(–3, 8, 9).

Zdaj pa še k točki E. Se spomniš poglavja, v katerem smo uvedli krajevne vektorje? Rekli smo, da nam zelo koristijo pri določanju koordinat točk. Pomisli na to, da se zapisa iskane točke in njenega krajevnega vektorja v pravokotnem koordinatnem sistemu povsem ujemata.

Znaš izraziti krajevni vektor točke E s podatki iz naloge?

Krajevni vektor točke E izrazimo na primer takole:

.

Zadnji zapis določa koordinate iskane točke, se pravi točke .

Linearna (ne)odvisnost, baza, ... hm, kaj je že to?
Računsko ugotovi, ali so vektorji , in komplanarni!
Vektorji so komplanarni, če ležijo v isti ravnini. Dva vektorja v isti ravnini sta linearno odvisna, če sta vzporedna, in neodvisna, če nista vzporedna. Če nista vzporedna, tvorita bazo ravnine. Trije vektorji v isti ravnini so vedno linearno odvisni, ker lahko vselej enega od njih izrazimo z drugima dvema. Če nam to ne uspe, pomeni, da taki trije vektorji ne ležijo v isti ravnini in so linearno neodvisni tvorijo bazo prostora.

Če so dani trije vektorji komplanarni, če torej ležijo v isti ravnini, so linearno odvisni in se da vsakega od njih izraziti z ostalima dvema. Poskusimo izraziti vektor z vektorjema in .

Iščemo skalarja k in l, da bo . Ko vstavimo komponentne zapise vektorjev, dobimo:

(2, –1, 1) = k(4, –2, –1)+l(–2, 1, 8)

(2, –1, 1) = (4k, –2k, –k)+(–2l, l, 8l)

(2, –1, 1) = (4k–2l, –2k+l, –k+8l)

Dva vektorja sta enaka, če se ujemata v vseh istoležnih komponentah, torej mora veljati:

4k–2l = 2 in –2k+l = –1 in –k+8l = 1.

Ko rešimo sistem druge in tretje enačbe, dobimo vrednosti in , ki ustrezata tudi prvi enačbi, kar je nujno preveriti, saj gre za sistem treh enačb z dvema neznankama. Čisto lahko bi se namreč zgodilo, da dobljeni vrednosti k in l ne bi ustrezali prvi enačbi, kar bi pomenilo, da sistem ne bi imel rešitve.

Ugotovili smo, da se vektor da izraziti s preostalima dvema vektorjema kot , kar pomeni, da so linearno odvisni, kar je možno le, če ležijo v isti ravnini. Dani vektorji so komplanarni in s tem ne tvorijo baze prostora.

Ob kliku na spodnjo povezavo boš našel naloge za utrjevanje znanja. Kar pogumno se jih loti!