Lastnosti funkcij

Za lažji opis posameznih funkcij moramo najprej spoznati lastnosti, ki jih bomo pri funkcijah opazovali. Zato bomo pregledno opisali lastnosti, kot so: naraščanje in padanje, omejenost ter sodost in lihost funkcij.
Naraščanje, padanje
Podan imaš graf funkcije f(x) = 0,5 (x + 2)2 – 5. S premikanjem točke A na grafu funkcije in z opazovanjem vrednosti njenih koordinat bomo proučevali njene lastnosti.
Poskusi sam

Kaj se dogaja z ordinato točke A, če se abscisa veča od –5 do –3?

Za katere točke na grafu velja podobna lastnost? Zapiši ustrezen interval za abscise točk.


Kaj se dogaja z ordinato točke A, če se abscisa veča od 0 do 3? Zapiši množico vseh točk, ki imajo to lastnost.

Ali lahko funkcija zavzame vrednost –4? Kaj pa –6?

Kaj je množica slik dane funkcije f?


Funkcija je na intervalu (a, b) naraščajoča, če za poljubna x1 in x2 s tega intervala velja:

če je x1 < x2, je f(x1) ≤ f(x2).

Funkcija je strogo naraščajoča, če za poljubna x1 in x2 s tega intervala velja:

če je x1 < x2, je f(x1) < f(x2).

Funkcija je na intervalu (a,b) padajoča, če za poljubna x1 in x2 s tega intervala velja:

če je x1 < x2, je f(x1) ≥ f(x2).

Funkcija je strogo padajoča, če za poljubna x1 in x2 s tega intervala velja:

če je x1 < x2, je f(x1) > f(x2).

Iz grafa funkcije f(x) je razvidno, da funkcija najprej strogo pada na intervalu (–∞, –2), pri x = –2 doseže najmanjšo vrednost, od te točke naprej pa monotono narašča za vsak x > –2.

Omejenost funkcij

Spodaj imaš podane grafe funkcij.

Na posameznem grafu lahko premikaš točke A, B, C, D ali E.

Skušaj odgovoriti na zastavljena vprašanja.

1. primer

Katera je najmanjša oziroma največja vrednost, ki jo funkcija doseže?

Ali lahko ti dve vrednosti natančno določimo?


Zapiši zalogo vrednosti podane funkcije.

2. primer
Ali funkcija lahko zavzame poljubne vrednosti? Kaj je njena zaloga vrednosti?
Funkcija zavzame samo vrednosti iz intervala [–4.7, 1.2], kar je tudi njena zaloga vrednosti.
3. primer
Katera je največja vrednost, ki jo funkcija doseže? Kaj pa najmanjša? Kaj je zaloga vrednosti funkcije?

Če še enkrat pogledamo zaloge vrednosti za podane primere funkcij, t.j. [–5, 5], [–4.7, 1.2] in (1, 7], opazimo, da so v vseh primerih to intervali. Intervali so zaprti, če funkcija doseže najmanjšo oziroma največjo vrednost, in odprti, če se določeni vrednosti samo (asimptotično) približujejo.

Funkcije, kjer je zaloga vrednosti interval (a, b), (a, b], [a, b) ali [a, b], , imenujemo omejene funkcije.

Funkcija je omejena, če obstajata taki realni števili m in M, da za vsak x iz definicijskega območja velja:

m ≤ f(x) ≤ M.

Številu m pravimo spodnja meja, številu M pa zgornja meja.


[Graf omejene funkcije]

Funkcija doseže spodnjo mejo m = –4. Zgornje meje M = 1 ne doseže nikoli, saj se ji asimptotično približuje.

Vsa števila, ki so manjša od števila m, so spodnje meje, vendar je število m največja med njimi, zato jo imenujemo natančna spodnja meja.

Vsa števila, ki so večja od števila M, so zgornje meje, vendar je število M najmanjša med njimi, zato jo imenujemo natančna zgornja meja.

4. primer
Dana funkcija je definirana za vsa realna števila. Kaj je njena zaloga vrednosti? Ali je omejena?
Zaloga vrednosti je (–∞, 3]. Funkcija ni omejena, saj ne doseže najmanjše vrednosti.

Funkcija je navzgor omejena, če obstaja tako realno število M, da za vsak x iz definicijskega območja velja:

f(x) ≤ M.

5. primer
Definicijsko območje podane funkcije so vsa realna števila. Ali funkcija doseže najmanjšo vrednost? Kaj pa največjo? Ali je omejena? Kako?
Funkcija najmanjše vrednosti ne doseže, se pa (asimptotično) približuje abscisni osi, torej vrednosti 0. Največje vrednosti ne doseže, saj vrednosti rastejo preko vseh mej. Omejena ni, saj obstaja samo m = 0, ne pa tudi M. Govorimo o navzdol omejeni funkciji.

Funkcija je navzdol omejena, če obstaja tako realno število m, da za vsak x iz definicijskega območja velja:

f(x) ≥ m.


[Graf neomejene funkcije]

Funkcije, ki niso ne navzdol in ne navzgor omejene, so neomejene funkcije.

Sodost, lihost
Spodaj imaš podan graf funkcije g(x). S premikanjem točke A opazuj lego točke B.
Poskusi sam

Postavi točko A tako, da bo ležala na simetrali sodih kvadrantov. Kje leži točka B?

Točko A poljubno premikaj in opazuj pri tem lego in koordinato točke B. Za katero preslikavo velja opisana lastnost?


Funkcija je soda, če za vsak x iz definicijskega območja velja:

.

Soda funkcija negativnim x priredi enako vrednost kot pozitivnim, kar pomeni, da je graf sode funkcije zrcalen glede na ordinatno os.


[Graf sode funkcije]
Raziskuj naprej
Premikaj točko C ter opazuj pri tem lego točke D.
Kako se spreminjata koordinati točke D s spreminjanjem lege točke C? Katera preslikava ima to lastnost?
Ko premikaš točko C, sta koordinati točke D nasprotnega predznaka kot koordinati točke C. To lastnost ima zrcaljenje preko koordinatnega izhodišča.

Funkcija je liha, če za vsak x iz definicijskega območja velja:

.

[Graf lihe funkcije]

Liha funkcija negativnim x priredi nasprotne vrednosti kot pozitivnim, torej se koordinate točk razlikujejo po predznaku, kar pomeni, da je graf lihe funkcije zrcalen glede na koordinatno izhodišče.

Poglejmo, kako preverimo lastnost sodost – lihost, kadar je funkcija podana s predpisom.

Naj bo f(x) = x2 + 3. Izračunajmo

f(–x) = (–x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x).

Funkcija je soda, saj smo dokazali, da za vsak x velja lastnost sodih funkcij.

 

Naj bo sedaj r(x) = x(x4 + 5). Torej je

r(–x) = x((–x)4 + 5) = x(x4 + 5) = r(x).

Funkcija je torej liha.

Vaja dela mojstra
Za funkciji g(x) = x2 in h(x) = x1 preveri po definiciji lastnost sodost oziroma lihost.

g(x) = x2

g(–x) = (–x)–2 = x–2 = g(x), funkcija je soda.

h(x) = x1

h(–x) = (–x)–1 = –x1 = –h(x), funkcija je liha.

Obstajajo pa seveda tudi funkcije, ki niso niti sode niti lihe.

Naj bo f(x) = x2 – 5x. Potem je

f(–x) = (–x)2 – 5(–x) = x2 + 5x,

kar ni niti f(x) niti –f(x).

Poskusi sam
Razmisli o opisanih lastnostih v primeru linearne funkcije in zapiši, pri katerih pogojih ima linearna funkcija določene lastnosti.

Linearna funkcija s predpisom

je posebna funkcija, kjer govori o naraščanju in padanju njen smerni koeficient

.

Če je k < 0, je linenarna funkcija padajoča, če je k > 0 pa je naraščajoča. V primeru k = 0 je funkcija konstantna, graf pa je vzporeden abscisni osi.

Linearna funkcija je v splošnem neomejena.

Linearna funkcija je liha v tistih primerih, ko je začetna vrednost enaka 0.

Vaja
Za spodaj podane funkcije razmisli, katere izmed opisanih lastnosti imajo.
Interaktivno besedilo I
Interaktivno besedilo I

[c)]
Interaktivno besedilo I