Gradiva nauk.si zahtevajo za pravilen prikaz sodoben brskalnik. Preverjeno delujejo z brskalniki Mozilla Firefox 3.5+, Google Chrome 4.0+, Safari 4.0+, Internet Explorer 8.0+ ali Opera 10.50+.
V primeru, da uporabljate Internet Explorer 8, preverite, če imate vklopljen združljivostni način (Compatibility view), ki ga lahko izklopite s klikom na ikono, ki jo vidite na spodnji sliki.
Povezave na najnovejše različice brskalnikov:
Kazalo
Definicija eksponentne funkcije
Eksponentna funkcija z osnovo $a$ (kjer je $a > 0$ in $a\neq 1$) je preslikava $f\colon x \rightarrow a^x$ in je definirana za vsak $x\in \mathbb{R}$: $D_f=\mathbb{R}$.
Zaloga vrednosti eksponentne funkcije so vsa pozitivna realna števila: $Z_f=\mathbb{R}^+$.
Pri $x=0$ ima eksponentna funkcija vrednost 1, ker $a^0=1$. Na grafu dobimo premico $y=1$.
Za $0 < a < 1$ je funkcija padajoča, za $a > 1$ je funkcija strogo naraščajoča.
Lastnosti eksponentne funkcije
Funkcija $f(x)=a^x$ ima naslednje lastnosti:
Inverzna funkcija k eksponentni funkciji je logaritemska funkcija.
Graf eksponentne funkcije
Graf eksponentne funkcije je krivulja z enačbo $y=a^x$. Z upoštevanjem lastnosti eksponentne funkcije rešimo naslednja dva zgleda.
Zgled: Narišite graf funkcije $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x$.
Rešitev:
Funkcijo preoblikujemo $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x=2^{-x}$.
Vemo, da je funkcija povsod pozitivna in da je $f(0)=1$. Ker je $a=\frac{1}{2}$, torej $0 < a < 1$ je funkcija padajoča.
Zapišemo še nekaj funkcijskih vrednosti in narišemo funkcijo.
| $f(-2)=4$ $f(-1)=2$ $f(1)=\frac{1}{2}$ $f(2)=\frac{1}{4}$ |
|
Graf eksponentne funkcije
Zgled: Dana je funkcija $f(x)=2^{x-1}-2$.
a.) Poiščite presečišči funkcije s koordinatnima osema.
b.) Določite asimptoto grafa funkcije.
c.) Narišite graf dane funkcije.
Rešitev:
a.) Presečišča funkcije s koordinatnima osema:
| $y=0$: | $2^{x-1}-2=0$ | $x=0$: | $y=2^{0-1}-2$ | |
| $2^{x-1}=2$ | $y=2^{-1}-2$ | |||
| $x-1=1$ | $y=\frac{1}{2}-2$ | |||
| $x=2$ | $y=-\frac{3}{2}$ |
Dobimo presečišči $T_1(2,0)$ in $T_2(0,-\frac{3}{2})$.
b.) Asimptota grafa funkcije je $y=-2$.
c.) Graf dane eksponentne funkcije lahko že narišemo iz izračunanih podatkov. Lahko pa tudi izračunamo še nekaj funkcijskih vrednosti.
Vodoravna asimptota funkcije $f(x) = a^x$ je $y=0$. V nalogi je podana funkcija $f(x)=2^{x-1}-2$. Število $-2$ pomeni, da smo celotno funkcijo na grafu premaknili za 2 navzdol. To pomeni, da se je premaknila tudi asimptota, zato je asimptota danega grafa $y=-2$.
Razteg grafa eksponentne funkcije
Za primer vzemimo funkcijo $f(x)=2^x$ ter funkcijo $g(x)=2^{nx}$, kjer je $n\in \mathbb{R}$.
Grafa funkcije $f(x)=a^x$ in $g(x)=a^{-x}$ sta zrcalna glede na ordinatno os.
Premik grafa eksponentne funkcije
Primerjajmo še funkciji $f(x)=2^x$ in $g(x)=2^{x+n}$, kjer je $n\in \mathbb{R}$.
Eksponentna funkcija z osnovo $e$
Eksponentna funkcija z osnovo $e$ je poseben primer eksponentne funkcije: $f(x)=e^x$, kjer je
$e=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...=2,7182818...$.
|
|
Eksponentne enačbe
V eksponentni enačbi nastopa neznanka v eksponentu. Pri reševanju eksponentnih enačb si pomagamo tako, da vse člene enačbe prevedemo na isto osnovo: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$. Enakost velja, če je $f(x)=g(x)$.
Ponovimo lastnosti računanja s potencami, kjer sta $a,b>0$ in $m,n\in \mathbb{R}$:
1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
2. $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
3. $(a \cdot b)^m = a^m b^m$
4. $(a : b)^m = a^m : b^m$
5. $a^m : a^n =\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$
6. $a^0=1$, $a^1=a$, $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$
Zgledi eksponentnih enačb
Zgled: Rešite enačbo $4^{x-\frac{5}{2}}\cdot \left(2^{x-1}\right)^x:\left(\frac{1}{2}\right)^{1-x}=1$.
Rešitev:
$4^{x-\frac{5}{2}}\cdot \left(2^{x-1}\right)^x:\left(\frac{1}{2}
\right)^{1-x}=1$
$4^{x-\frac{5}{2}}\cdot \left(2^{x-1}\right)^x=\left(\frac{1}{2}\right)^{1-x}$
Prevedemo vse člene enačbe na isto osnovo:
$\left(2^2\right)^{x-\frac{5}{2}}\cdot \left(2^{x-1}\right)^x=\left(2^{-1}\right)^{1-x}$
$2^{2x-5}\cdot 2^{x^2-x}=2^{-1+x}$
Izenačimo eksponente:
$2x-5+x^2-x=-1+x$
$x^2-4=0$
$(x-2)(x+2)=0$
Enačba ima dve rešitvi:
$x_1=2$ in $x_2=-2$
Zgledi eksponentnih enačb
Zgled: Rešite enačbo $2^{x+2}-2\cdot 2^{x+1}+3\cdot 2^x-5\cdot 2^{x-1}=3^{x-1}$.
Rešitev:
$2^{x+2}-2\cdot 2^{x+1}+3\cdot 2^x-5\cdot 2^{x-1}=3^{x-1}$
Izpostavimo skupni faktor:
$2^{x-1}\cdot\left(2^3-2\cdot 2^2+3\cdot 2-5\right)=3^{x-1}$
$2^{x-1}=3^{x-1}$
Enačaj bo veljal v primeru, ko bosta eksponenta enaka nič ($a^0=1$), torej:
$x-1=0$
$x=1$
Radioaktivni razpad
Pri radioaktivnosti uporabljamo eksponentno enačbo za opis odvisnosti števila radioaktivnih jeder v vzorcu od časa:
kjer je $\lambda$ razpadna konstanta, $t$ razpadni čas in $N$ število jeder ob času $0$ in $t$.
Vidimo, da število radioaktivnih jeder v vzorcu s časom eksponentno pada. Poskusimo rešiti konkretno nalogo.
Naloga: Razpadna konstanta za $^{222} Rn$ je $2,6\cdot 10^{-6} s^{-1}$. V kakšnem času razpade polovica $^{222} Rn$?

