Če želimo opisati, kam in kako daleč gremo, nam običajna števila niso dovolj, zato potrebujemo nove količine. To so vektorji. V tem poglavju bomo spoznali, kaj so vektorji in kakšne lastnosti imajo.
Če vas kdo vpraša, koliko ste stari, koliko tehtate ali koliko je ura, potrebujete za odgovor le primerno veliko število, ki mu dodate ustrezno enoto (leto, kilogram, ura, minuta, sekunda, ...). Učeno rečemo, da so starost, masa, čas in še marsikaj drugega, skalarne količine oziroma skalarji.
Če pa koga zanima, kako naj pride do vašega doma, lahko s številom opišete kvečjemu oddaljenost do cilja, ne pa tudi, v kateri smeri se mora gibati, da pride do tja. Samo število ne bi zadoščalo za celovit odgovor.
Količina, s katero lahko opišemo smer in velikost (razdaljo, dolžino) hkrati, se imenuje vektor.
Vektor je količina, ki je določena s
smerjo,
z usmerjenostjo in
velikostjo (dolžino).
Vektorje ponazarjamo (rišemo) z usmerjenimi daljicami. Usmerjena daljica je daljica, ki se zaključi s puščico.
Zapisujemo jih z malo črko, nad katero je puščica , ali pa z dvema velikima črkama, od katerih je prva začetna, druga pa končna točka vektorja . Tudi v tem primeru je nad zapisom puščica. Oba možna načina zapisovanja prikazuje zgornja slika.
Smer vektorja določimo, če povemo, na kateri premici (ali njeni vzporednici) vektor leži.
Vsi vektorji na spodnji sliki imajo enako smer.
Po izbrani smeri lahko izbiramo med dvema možnima usmerjenostma. Usmerjenost določimo s puščico v eno ali drugo stran.
Leva in desna skupina vektorjev sta nasprotno usmerjeni, imata pa enako smer.
Velikost (dolžina) vektorja je ponazorjena z večjo ali manjšo dolžino usmerjene daljice. Dolžino vektorja označimo z ||. Na spodnji sliki so enako veliki vektorji, ki pa se seveda razlikujejo tako po smeri kot tudi po usmerjenosti.
Kdaj sta dva vektorja enaka?
Vektorja sta enaka, če se ujemata v smeri, usmerjenosti in velikosti.
Vsi vektorji na spodnji sliki so med seboj enaki.
Iz enakosti vektorjev sledi zelo pomembna lastnost.
Vektor lahko vzporedno premikamo po prostoru, a se njegove lastnosti ne spremenijo. Vektor ostane enak. Pravimo, da ima vsak vektor nešteto svojih predstavnikov.
Interaktivno besedilo I
Tudi zato, ker so vsi fizikalni zakoni, ki vključujejo vektorske količine, enaki v vsakem koordinatnem sistemu, pa naj bo to kjer koli na Zemlji, na Luni ali kje drugje.
V zvezi z dolžino vektorja moramo posebej omeniti enotski in ničelni vektor.
Enotski vektor je vsak vektor, ki meri v dolžino 1 enoto. Smer in usmerjenost vektorja pri tem nista pomembni. Enotski vektorji niso nujno enaki, imajo le enako dolžino.
Na sliki sta dva enotska vektorja: je enotski vektor v smeri vektorja , pa je enotski vektor v smeri vektorja . Enotski vektor je običajno krajši, lahko je pa tudi daljši od prvotnega vektorja, kot je vidno v primeru vektorja .
Interaktivno besedilo I
Če vektor primerno skrajšamo ali podaljšamo tako, da "po posegu" meri 1 enoto, pravimo, da smo vektor normirali. Normirane vektorje bomo srečali v t. i. "ortonormirani bazi". Vse, kar je v matematiki normirano, meri 1 enoto. Celo funkcije so lahko normirane. Kaj pomeni "norma funkcije", boš zvedel, če boš študiral matematiko, zato kar pogumno naprej.
Ničelni vektor je vektor z dolžino 0. Pri njem začetna in končna točka sovpadata, zato ima poljubno smer. Vsi ničelni vektorji so med seboj enaki.
Vektorja, ki se ujemata v smeri in velikosti, razlikujeta pa v usmerjenosti, sta si nasprotna. Nasprotni vektor vektorja označimo z –.
Vektorji so nadvse pripravni za opisovanje poti. Z njimi naenkrat povemo (ponazorimo), kako daleč in v kateri smeri je treba potovati. Če pot od končne točke še nadaljujemo, jo opišemo z novim vektorjem, ki ga pripnemo na konec prejšnjega vektorja.
Poglejmo primer.
Opis potovanja
Kako smo potovali, če smo prehodili poti, ki jih ponazarjajo vektorji od točke A do točke E, in če enota 1 pomeni pot dolžine 1 km?
Najprej 2 km proti severu, potem 5 km proti vzhodu, nato 4 km proti jugu in naposled še 3 km proti vzhodu.
Interaktivno besedilo I
Prehodili smo pot, dolgo 14 km.
Interaktivno besedilo I
Če sliko primerno dopolnimo in si pomagamo s Pitagorovim izrekom, lahko dolžino najkrajše poti od A do E izračunamo tako:
km.
Interaktivno besedilo I
Kot izračunamo z uporabo kotnih funkcij, npr. kotne funkcije tangens. Iz skice je razvidno, da je , zato je °.
Ko smo narisali najkrajšo možno pot od točke A do točke E, smo narisali vsoto vseh štirih vektorjev. Pomembno je, da so vektorji nanizani drug za drugim, da naslednji izhaja iz konca prejšnjega. Le v tem primeru lahko vektorje seštejemo. Več o seštevanju in odštevanju vektorjev bomo govorili v naslednjem poglavju.
Znanje o osnovnih lastnostih vektorjev lahko utrdiš z dodatnimi nalogami.