Korenska funkcija

Poznamo potenčne funkcije s celim eksponentom in inverzno funkcijo. To dvoje bomo potrebovali za seznanitev s korensko funkcijo. Spoznali bomo pogoje za njen obstoj, njene lastnosti in graf.
Ponovitev o korenih
Pri definiciji korenov poljubnih stopenj smo ločili dva primera; kadar je eksponent liho oziroma sodo naravno število. Ob reševanju nalog bomo ponovili lastnosti korenov.

1. Izračunaj in svojo rešitev utemelji.

a)

b)

c)

d)


2. Poišči realne rešitve enačb:

a) x2– 49=0

b) x3–27=0

c) 16x4+1=0

d) x7=–1


3. Pri katerih korenih moramo biti pazljivi in na kaj? Kaj je z rešitvami enačb xn=a?

 

Če povzamemo:

- kadar je n sodo naravno število in x nenegativno realno število, potem je (≥0) natanko tedaj, ko je ;

- kadar je n liho naravno število in x poljubno realno število, potem je natanko tedaj, ko je .
Ker so lihi koreni definirani za vsa realna števila, se bomo najprej seznanili s korenskimi funkcijami z lihim eksponentom.
 
Korenske funkcije z lihim korenskim eksponentom

Dano imaš potenčno funkcijo s predpisom f(x)=x3.

1. Med spodaj naštetimi lastnostmi označi tiste, ki jih ta funkcija ima.

  
naraščajoča
omejena
soda
liha
bijektivna

2. Ali obstaja njena inverzna funkcija? Zakaj?


3. Zapiši predpis njene inverzne funkcije.

4. Poskušaj narisati graf inverzne funkcije.
 

Korenska funkcija z lihim korenskim eksponentom n , je inverzna funkcija potenčne funkcije g(x)=xn z lihim eksponentom.

img21_5
Grafi korenskih funkcij z lihim korenskim eksponentom
Slika nam prikazuje grafe korenskih funkcij z različnimi lihimi korenskimi eksponenti. Opazimo, da imajo podobno obliko, ki se razlikuje po strmini, in potekajo skozi tri skupne točke.
 

Glavne lastnosti korenskih funkcij z lihim korenskim eksponentom:

- naraščajo na celotnem definicijskem območju,

- so lihe,

- imajo tri skupne točke A(1, 1), B(–1, –1) in O(0, 0),

- so neomejene.

Vaja
1. Zapiši inverzno funkcijo funkcije h(x)=x5–2.
 
2. Nariši graf funkcije h(x) in h–1(x) v isti koordinatni sistem.
3. Nariši graf funkcije .

Graf lahko narišeš na dva načina:

- z vzporednim premikom korenske funkcije z eksponentom 3 za vektor ,

- z izračunom inverzne funkcije, ki je v tem primeru potenčna funkcija h(x)=(x–1)3–3, katere graf prezrcališ prek simetrale lihih kvadrantov.

 
Korenske funkcije s sodim korenskim eksponentom
Dano imaš funkcijo , f(x)=x2. Nariši njen graf in se spomni njenih lastnosti.

1. Ali obstaja njena inverzna funkcija? Zakaj?

2. Kaj bi morali spremeniti, da bi funkcija postala bijektivna?

3. Poskusi zapisati predpis njene inverzne funkcije. V pomoč naj ti bo definicija korena sode stopnje. Kaj opaziš?

4. Nariši graf funkcije f:[0, ∞)→[0, ∞), f(x)=x2 in nariši še graf inverzne funkcije.
 

Korenska funkcija s sodim korenskim eksponentom n f:[0, ∞)→[0, ∞), , je inverzna potenčni funkciji s sodim eksponentom g(x)=xn, ki smo ji zožali definicijsko območje na nenegativna realna števila.

img22_5
Grafi korenskih funkcij s sodim korenskim eksponentom
Na sliki so podani grafi korenskih funkcij z različnimi sodimi korenskimi eksponenti. Vidimo, da imajo podobno obliko in dve skupni točki. Strmina je odvisna od velikosti eksponenta; večji je eksponent, hitreje funkcija narašča na intervalu [0, 1), na intervalu (1, ∞) pa postanejo grafi funkcij z večjim korenskim eksponentom vse bolj položni.
 

Glavne lastnosti korenskih funkcij s sodim korenskim eksponentom:

- naraščajo na celotnem definicijskem območju,

- imajo dve skupni točki A(1, 1) in O(0, 0),

- omejene so navzdol in so pozitivne.

 
Vaja
Pazljivo preberi spodnje trditve in označi njihovo pravilnost oziroma nepravilnost.
1. Funkcija je definirana za x≥3.
Pravilno Napačno

2. Graf funkcije dobimo z vzporednim premikom funkcije za vektor .
Pravilno Napačno

3. Korenska funkcija je inverzna funkciji .
Pravilno Napačno

 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008