Spoznali bomo, kako se potence z racionalnimi eksponenti zapišejo kot koreni in preverili, ali so pravila za računanje s potencami v skladu s pravili za računanje s koreni. Poenostavili oziroma preračunali bomo nekaj izrazov s takšnimi potencami.
1. Pomen potenc z racionalnimi eksponenti

Za nekaj časa bomo misli od korenov preselili nazaj k potencam: k zapisom oblike an, kjer število a imenujemo potenčna osnova, številu n pa rečemo potenčni eksponent. Spomni se pravil za računanje s potencami in v zvezek dopolni spodnje zapise. Namesto treh pikic v vsakem izrazu zapiši pravilne potenčne eksponente ali celotno potenco.

,

,

,

,

,

,

n+m, ax:ay, ab, bx·cx, (m/n)a, 1, 1/xn

Premislimo zdaj, kakšne bi bile potence z racionalnimi eksponenti. V potenčnem eksponentu bo nastopal ulomek.
Kaj predstavlja zapis ? Če uporabimo pravilo (am)n=amn, ki velja tudi za potence z racionalnimi eksponenti, mora biti

.

Število je torej število, ki daje pomnožemo s samim seboj 3. Ja, potem pa je

 

Poskusi podobno razmisliti o pomenu zapisa .

Zgled 1

Zato je   število, ki potencirano na četrto potenco daje 16. Ker je 24=16, je

Za pozitivno realno število a lahko torej zapišemo:

Izračunaj vrednosti spodnjih potenc in poišči pravilne odgovore:




ne moremo izračunati
–2


9/8
8/9
4/3

Odgovorimo zdaj na vprašanje, kaj pomeni zapis , kjer je a pozitivno realno število, število m celo, število n pa naravno:

.

Zgled 2

Izračunajmo nekaj potenc:

Izračunaj vrednost izraza

.

2. Računanje s potencami z racionalnimi eksponenti

Potence z racionalnimi eksponenti so torej koreni. Kako naj potem računamo z izrazi: računamo s potencami ali s koreni? Vseeno, ker so pravila za računanje s potencami in pravila za računanje s koreni usklajena:

  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Podoben račun bi zapisali tudi za količnik potenc z isto osnovo in potenciranje potenc.

Pri računanju potenc z racionalnimi eksponenti ostajajo v veljavi vsa že znana pravila za računanje s potencami.

Za pozitivni števili a in b in racionalni števili r in s torej velja:

.

Zgled 3

Poenostavimo spodnji izraz na dva načina:

  • s potencami:
  • s koreni:

 

Kateri od prikazanih načinov je elegantejši, presodite sami. Pri vsaki nalogi se bo vsak sam odločil, katera pot mu je bolj všeč.
Spodnje izraze poskusi poenostaviti sam. Kot izhod v sili je pri vsakem izrazu ponujen odgovor, kjer je izraz poenostavljen po korakih. Seveda prikazana računska pot ni edina možna in tudi ni nujno najkrajša. Če sam poiščeš drugo, matematično korektno pot, je to pohvale vredno. Vseeno pa se prepričaj o pravilnosti rezultata.
1. Poenostavi spodnji izraz:

  • s potencami:

  • s koreni:
2. Poenostavi izraz:

 

.

3. Izračunaj vrednost spodnjega izraza brez kalkulatorja:

.

4. Potence zapiši s koreni in izračunaj vrednost izraza

 

5. Poenostavi izraz in rezultat zapiši kot potenco števila x in s korenom

.

6. Okrajšaj ulomek

.

3. Graf potenčne funkcije z racionalnim eksponentom

Za konec gradiva si bomo tisti najradovednejši ogledali grafe potenčnih funkcij z racionalnim eksponentom in opazovali lastnosti takšnih funkcij.

Ker grafe korenskih funkcij srečujemo prvič, si bomo le na nekaj primerih ogledali najzanimivejše lastnosti teh funkcij.

Na spodnji sliki je narisan graf funkcije

pri nenegativnih številih (x≥0), kjer lahko število m preteče števila na intervalu [0,6], število n pa se lahko giblje od 1 do 3.

Za opazovanje najznačilnejših lastnosti bodo ti grafi dovolj, nikakor pa to ne pomeni, da število m ne bi smelo biti negativno. Tudi število n bi lahko po želji še povečali.

Zakaj je graf funkcije narisan samo za x≥0? Pri takšnih številih znamo namreč izračunati korene vseh stopenj in zagotovo ne bomo naleteli na nobeno oviro glede izračunljivosti korena.

Najprej si sliko dobro oglej, potem pa sledi spodnjim navodilom, razmišljaj in odgovori na vprašanja.

Grafi potenčnih funkcij
"Potenčne" ali "korenske" funkcije?

Do zdaj smo s potencami oblike x(m/n) večinoma računali kot s koreni. Pa so te potence vedno koreni? Seveda ne, če je število n enako 1, dobimo čisto običajne potence. Takrat govorimo o že znanih funkcijah: x, x2, x3... , ki jim rečemo potenčne funkcije.

Primi točko M z miško in jo zelo počasi pelji navzgor po zeleni daljici od 1 do 6 (prepričaj se, če je n=1). Medtem opazuj obliko funkcij, ki nastajajo, in odgovori na spodnji vprašanji.

  • Ali imajo funkcije kakšno skupno točko? Če si odgovoril pritrdilno, katero?
  
Da.
Ne.
  • Kaj se dogaja z grafom funkcije f, ko število m povečujemo?
       
Večji, kot je m, bolj je funkcija f položna.
Večji, kot je m, bolj je funkcija f strma.

Zdaj pa točko M postavimo tako, da bo m=1, in spreminjajmo število n (po zeleni premici navzgor bomo premikali točko N). Še enkrat se spomnimo, da je

.

Oblika tako nastalih funkcij je povsem drugačna od prejšnjih.

Še vedno imajo vse nastale funkcije dve skupni točki: (1,1) in (0,0), so pa naše "korenske" funkcije veliko položnejše (čeprav še vedno naraščajoče).

Poišči pravilen odgovor na spodnje vprašanje:

  • Kaj se dogaja z grafom "korenske" funkcije f, ko število n povečujemo?
  
Večji, ko je n, bolj je funkcija f položna.
Večji, ko je n, bolj je funkcija f strma.
Kot zanimivost omenimo, da so "potenčne" funkcije konveksne (graf funkcije leži pod tetivo), "korenske" funkcije pa konkavne (graf funkcije leži nad tetivo). Morda ti bosta omenjena pojma bolj znana iz fizike, kjer ste omenjali konkavne in konveksne leče ali zrcala. Pri matematiki jih bomo sicer podrobneje spoznali šele v četrtem letniku.
Zdaj pa lahko točki M in N prosto premikaš. Poišči odgovor na spodnje vprašanje.
  • Kdaj se funkcija f prelevi iz "potenčne" v "korensko"?
  • ko je m/n≥1, predstavlja funkcija f "potenčno" funkcijo;
  • ko je m/n<1, predstavlja funkcija f "korensko" funkcijo.