Tukaj bomo ponovili in nadgradili nekatere pojme, ki nam definirajo in opisujejo funkcije. S temi pojmi si se že spoznal pri linearni funkciji.
Poskusi sam
O funkciji govorimo, kadar obstaja neki predpis (pravilo), ki vsakemu elementu iz neke množice na enoličen način priredi element iz druge množice.
Pazljivo preberi opise prirejanj in razmisli, kateri nam predstavljajo funkcijo.
1. Vsakemu prebivalcu Slovenije priredimo številko zdravstvene izkaznice.
Pravilno
Napačno
Odlično! Enemu prebivalcu ne moremo prirediti dveh različnih številk.
To pa ne bo držalo! Enemu prebivalcu ne moremo prirediti dveh različnih številk.
2. Vsakemu uspešnemu dijaku podelimo priznanje.
Pravilno
Napačno
Odlično!
To pa ne bo držalo!
3. Vsaki točki ravnine priredimo točko, ki je od nje oddaljena za 5.
Pravilno
Napačno
To pa ne bo držalo! Vsaki točki lahko priredimo več takih, ki ustrezajo pogoju.
Odlično! Vsaki točki lahko priredimo več takih, ki ustrezajo pogoju.
4. Vsakemu večkratniku števila –2 priredimo njegov kvadrat.
Pravilno
Napačno
Odlično!
To pa ne bo držalo!
5. Vsakemu 15-letniku priredimo zabavo za odlično oceno.
Pravilno
Napačno
To pa ne bo držalo! Dijak z več odličnimi ocenami ima več zabav.
Odlično! Dijak z več odličnimi ocenami ima več zabav.
Pri funkciji moramo paziti na to, da vsakemu elementu priredimo natačno določen element. Neko prirejanje ni funkcija, če enemu elementu priredi več vrednosti.
Funkcija ali preslikava iz množice A v množico B je predpis, ki vsakemu elementu x iz množice A priredi natanko en element y iz množice B.
Elemente množice A imenujemo originali oziroma neodvisne spremenljivke, ki sestavljajo definicijsko območje funkcije Df, njihove slike pa sestavljajo zalogo vrednosti funkcije Zf, ki je podmnožica množice B. Kadar je tako definicijsko območje kot zaloga vrednosti množica realnih števil, govorimo o realni funkciji.
Funkcije lahko ponazarjamo na več načinov: s puščičnim diagramom, s tabelo ali z grafom.
Puščični diagram največkrat uporabljamo takrat, kadar sta množici A in B končni z majhnim številom elementov. Tako lahko nazorno prikažemo lastnosti funkcij.
Kateri izmed diagramov ponazarjajo funkcijo? Utemelji.
Diagrama a in b ponazarjata funkciji, saj je vse v skladu z definicijo; vsakemu elementu iz množice A priredita natančno določen element množice B.
Primer c ne predstavlja funkcije, saj ima element b dve sliki.
Primer d ne predstavlja funkcije, saj niso preslikani vsi elementi iz množice A.
Tabelo uporabimo, kadar računamo določene funkcijske vrednosti.
Dopolni
Dopolni tabeli za podani funkciji. Podane vrednosti vnesi na prava mesta v tabeli.
Graf funkcije
V koordinatnem sistemu narišemo graf funkcije tako, da pri izbranih vrednostih x izračunamo funkcijsko vrednost; v koordinatni sistem narišemo točko (x, f(x)). Če izračunamo funkcijsko vrednost za vsak x iz definicijskega območja, narisane točke tvorijo graf funkcije.
Spodaj se izrisuje graf linearne funkcije f(x)=x+2.
Graf funkcije fje množica vseh tistih točk (x, y) v pravokotnem koordinatnem sistemu, ki imajo za absciso vrednost neodvisne spremenljivke x iz definicijskega območja funkcije, ordinata y pa je vrednost funkcije f(x) pri tem x.
.
Nad vsako točko definicijskega območja funkcije obstaja natanko ena točka grafa. Torej vsaka vzporednica osi y seka graf funkcije največ v eni točki.
Krožnica ni graf funkcije, saj vzporednica osi y seka krivuljo v dveh točkah.
Krivulja (krožnica), ki ni graf nobene realne funkcije.
Poskusi sam
Ker ne moremo izračunati vseh funkcijskih vrednosti in potem narisati grafa funkcije, si pri risanju grafov pomagamo z nekaterimi pomembnimi točkami grafa. Premikaj točko A na podanem grafu. Katere točke bi nam lahko pomagale pri risanju grafov funkcij?
Poskusi sam
Zapiši točke, v katerih funkcija seka abscisno os. Kako bi jih izračunal, če bi poznal predpis funkcije?
Graf seka abscisno os v točki A1(–1, 0) in A2(5, 0). Ker je ordinata teh točk 0, jih izračunamo tako, da funkcijski predpis enačimo z 0.
Kje graf seka ordinatno os? Koliko je takih točk na grafu funkcije?
Graf seka ordinatno os v točki (0, –5), ki je ena sama, saj se samo x=0 preslika v to točko.
Za vajo opiši lastnosti funkcije, katere graf imaš podan.
Funkcija je definirana za vsa realna števila, slika pa v množico [–9, ∞), kar pomeni, da je navzdol omejena. Pada na intervalu (–∞, 2) in potem na intervalu (2, ∞) narašča. V točki (2, –9) doseže najmanjšo vrednost. Ni niti soda niti liha.
Ničla funkcije je tako število x, pri katerem je vrednost funkcije enaka 0. Dobimo jo tako, da rešimo enačbo:
f(x)=0.
Če je x ničla funkcije, je f(x)=0 in obratno. Torej točka T(x, 0) leži na abscisni osi, kar pomeni, da graf v tej točki seka abscisno os ali pa se je dotika.
Začetna vrednost funkcije je vrednost funkcije pri x=0, torej f(0).
Začetna vrednost nam pove presečišče grafa funkcije z ordinatno osjo.
Več o grafu funkcije si oglej v poglavju Risanje grafov funkcij.
Vaje
Opazuj podane krivulje in razmisli, katere izmed njih predstavljajo graf funkcije. V teh primerih zapiši njihovo definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničlo in začetno vrednost.
Je graf linearne funkcije, kjer sta def. območje in zaloga vrednosti realna števila, ničla je pri x=2 in f(0)=–4.
Ni graf nobene funkcije, saj ima en x več različnih vrednosti (vzporednica ordinatni osi večkrat seka dano krivuljo).
Ni graf nobene funkcije, saj ima en x več različnih vrednosti (vzporednica ordinatni osi večkrat seka dano krivuljo).
S slike lahko razberemo, da je funkcija definirana povsod, razen za x=–2 in x=3; , doseže vse vrednosti, razen tiste od 0 do 1; , ničlo ima pri x=0, kjer je tudi začetna vrednost.
Vaja
a) Dana je funkcija .
Zapiši definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničlo in začetno vrednost.
Funkcija f(x) je linearna funkcija, ki je definirana povsod in zavzame vse vrednosti, zato sta Df in Zfmnožici realnih števil.
,
je ničla,
f(0)=3 je začetna vrednost.
b) Naj bo . Izračunaj ničli in začetno vrednost ter nariši graf. Kaj je njena množica slik?
in
in
Z grafa razberemo, da funkcija zavzame samo vrednosti [–3, ∞).