Trikotnik

O trikotniku že veliko vemo. V gradivu, ki je pred nami, pa bomo svoje znanje dopolnili z novimi zanimivimi in uporabnimi spoznanji.

img34_5
Trikotna oblika daje občutek trdnosti in varnosti. Srečamo jo v arhitekturi in umetnosti, glasbi in tehniki.

Nekatere fotografije so nastale na potovanjih, druge pa so v javni lasti na spodaj navedenih spletnih straneh.

Slika 1: Grški timpanon (zgornji del templja) ima značilno trikotno obliko.

Slika 2: V renesansi so umetniki pogosto uporabljali trikotno kompozicijo. Trikotna kompozicija na zgornji sliki je dvojna (glej modre in rdeče črte na sliki). Med vrhovoma obeh trikotnikov je božja podoba, pod njo pa Jezus. (http://www.wga.hu/index1.html)

Slika 3: Triangel je glasbeni instrument, s katerim se večina otrok sreča že v vrtcu. (http://store.drumbum.com/media/triangle-6-inch-quality.jpg)

Slika 4: Leonardo Da Vinchi si je zamislil padalo, sešito iz trikotnih delov. (http://www.museoscienza.org/leonardo/invenzioni/paracadute.asp)

Slika 5: Pri glasbenih stolpih je stabilnost zelo pomembna, saj se tako zmanjšajo vibracije in je zvok čistejši. Kot že vemo, so za natančno določitev ravnine potrebne tri točke. Zato pri mizah s tremi nogami nimamo težav s tem, da bi se majale. Če pa ima miza štiri noge, se kaj rado zgodi, da moramo eno nogo podložiti. (http://www.shopolina.com/-/Y=MALBORET-MIZA-HIFI-MDF-4P-CRNA--i-3-IPPOWEYP/)

 
img35_5
Vidimo jih na oddihu in potovanju, pri rekreaciji in zabavi

Slika 1: Lesene hišice, ki imajo sprednjo stran v obliki trikotnika, ponujajo za prenočevanje na estonskem otoku Kuresare.

Slika 2: Rdeče obrobljena trikotna oblika prometnega znaka naznanja nevarnost. Na Baltiku lahko na cesto pritečejo tudi losi.

Slika 3: Jadrnica, s katero so jadrali dijaki na šolskem taboru v Piranu, je imela dve trikotni jadri.

Slika 4: Veliko lesenih nosilnih konstrukcij je trikotnih. Takšna je tudi nosilna konstrukcija gugalnice na sliki.

 

 

Triangulacija je postopek, s katerim lahko rešimo mnoge zagate.

Kako bi lahko izračunali oddaljenost d ladje od obale? Opazovalec v oglišču A izmeri kot alfa med obalo in ladjo, opazovalec v oglišču B naredi podobno. Razdaljo d lahko iz obeh izmerjenih kotov in znane razdalje l med obema opazovalcema izračunamo z uporabo kotnih funkcij.

Triangulacijo uporabljajo tudi geodeti pri meritvah.

img42_5
Opazovalec na obali lahko izračuna, koliko je jadrnica oddaljena od obale.
 
Dovolj klepetanja. Mislim, da je skrajni čas, da začnemo z resnejšim delom. Za začetek ponovimo, kar smo se o trikotniku naučili v osnovni šoli. Na spodnji sliki poveži zelene točke ob premicah, daljicah, točkah in kotih z ustreznimi opisi na desni strani. Kako? Točko primi in potegni z miško.
 
Trikotnik je geometrijski lik, ki ga določajo tri nekolinearne točke, ki so med seboj povezane z daljicami.

Tri točke, ki določajo trikotnik, imenujemo ogliščaJXUwMDM3JXUwMDA4JXUwMDBiJXUwMDA1JXUwMTA4JXUwMDZjJXUwMTZj, , daljice, ki jih povezujejo, pa so JXUwMDJiJXUwMDA3JXUwMDA2JXUwMDEzJXUwMDBmJXUwMDA3JXUwMDBhJXUwMDA2 stranice.

Oglišča označujemo z velikimi tiskanimi črkami. Če si oglišča sledijo v smeri, ki je nasprotna vrtenju kazalcev na uri, pravimo, da je trikotnik pozitivno orientiran, če pa si oglišča sledijo v isti smeri, kot tečejo kazalci na uri, pa govorimo o negativni orientaciji.

Stranice označujemo z malimi tiskanimi črkami in po dogovoru se stranica imenuje enako kot oglišče, ki ji leži nasproti.

Kote pri ogliščih trikotnika imenujemo JXUwMDM2JXUwMDAxJXUwMDFiJXUwMDA2JXUwMDEzJXUwMDBmJXUwMDA0JXUwMDAz notranji koti, njihove sokote pa zunanji JXUwMDIyJXUwMDBmJXUwMDFiJXUwMDBmJXUwMDBmJXUwMDA0JXUwMDAz koti. Ko rišemo zunanje kote, si pomagamo z nosilkami stranic. To so premice, na katerih ležijo stranice trikotnika.

Notranje kote označujemo s pisanimi črkami GRŠKE abecede. Oznaka kota se ujema z oznako oglišča, ki je vrh kota.

Zunanje kote označujemo enako kot notranje, le da jim dodamo desno zgoraj majhno vejico.

Premice, na katerih ležijo dane stranice, imenujemo nosilke stranic.

Grška abeceda, njeni ekvivalenti in izgovorjava

Grška črka
Ekvivalent v latinici
Izgovorjava
α
a [alfa]
β b [beta]
γ g [gama]
δ d [delta]
ε e [epsilon]
ζ z [zeta]
η e [eta]
θ th [theta]
ι i [iota]

κ

k [kapa]
λ l [lambda]
μ m [mi]

ν

n [ni]
ξ x[ksi]
ο o
[omikron]
π p
[pi]
ρ r
[ro]
ς s
[sigma]
τ t
[tau]
υ u
[ipsilon]
φ ph
[fi]
χ ch
[hi]
ψ ps
[psi]
 
Med trikotniki posebej poimenujemo tiste, ki so glede na podatke nekaj posebnega.

Enakokraki trikotnik ima dve enako dolgi stranici—kraka. Tretjo stranico imenujemo osnovnica. V enakokrakem trikotniku sta kota ob osnovnici skladna.

Enakostranični trikotnik ima enako dolge vse tri stranice in enako velike vse notranje kote.

Pravokotni trikotnik ima en pravi kot.

 

Na spodnjem apletu premikaj oglišče C, tako da boš dobil enakokrak trikotnik, s krakom a = b dolžine 5 cm. (Pomagaj si z meritvami ob strani.)

S premikanjem točk poišči pravokotni trikotnik s pravim kotom v oglišču C in hipotenuzo dolžine 5 cm.

Postavi točke tako, da bo nastal enakostranični trikotnik s stranico 5 cm.

V nadaljevanju se bomo spomnili nekaterih pomembnih rezultatov v zvezi s stranicami in koti v trikotniku

O notranjih kotih? Zunanjih kotih? Stranicah? Če ne, nič hudega.

S premikanjem oglišč razišči, katere povezave obstajajo. Opazuj, kako je velikost poljubnega zunanjega kota povezana z vsoto velikosti notranjih dveh nepriležnih kotov in kakšna je zveza med največjim kotom in najdaljšo stranico ter najmanjšim kotom in najkrajšo daljico. Kaj pa če sta dva kota enako velika?

Razišči
... in dopolni trditve

Vsota dolžin dveh stranic je vedno od dolžine tretje stranice.

Vsota velikosti notranjih kotov v trikotniku je º.

Vsota velikosti zunanjih kotov v trikotniku je º.

Velikost zunanjega kota v trikotniku je enaka notranjih dveh nepriležnih kotov.

V trikotniku leži nasproti največjega kota stranica.

 

  

 
Ponovimo najpomembnejša dejstva.
  • V vsakem trikotniku je vsota dolžin dveh stranic večja od dolžine tretje stranice.
  • Najdaljši stranici nasproti leži največji kot, najkrajši stranici nasproti pa leži najmanjši kot. Skladnima stranicama nasproti ležita skladna kota.
  • Vsota notranjih kotov v trikotniku je enaka 180º.
  • Vsota zunanjih kotov trikotnika je 360º.
  • Velikost zunanjega kota v trikotniku je enaka vsoti velikosti notranjih dveh nepriležnih kotov.
 
Vsota notranjih kotov v trikotniku

To, da je vsota notranjih kotov v trikotniku enaka 180º, lahko hitro pokažemo.

Spomnimo se izmeničnih kotov. Dobimo jih, če dve vzporedni premici presekamo s tretjo premico. Izmenična kota sta v pasu med vzporednicama na različnih straneh sekajoče premice in sta skladna.

Na spodnji sliki narišimo skozi oglišče C vzporednico stranici a in označimo (z isto barvo in črko) kotoma α in β skladna izmenična kota. Vidimo, da je vsota kotov ob narisani premici enaka 180º, in ker sta kota α* in β* skladna s kotoma α in β, sklepamo, da je vsota notranjih kotov v trikotniku α + β + γ = 180º.

 
Posebni primeri trikotnikov
Preveri svoje znanje
1. Če za notranje kote trikotnika velja α : β : γ = 1 : 2 : 3, potem koti merijo 20º, 40º in 60º.
Pravilno Napačno

2. Dan je pravokotni trikotnik. Če s S označena točka na hipotenuzi predstavlja vrh enakokrakega trikotnika ASC, tedaj je α = β. (Točka S na apletu je premična. Tako lahko vidiš, da pravilo velja za poljuben pravokotni trikotnik, če le točka S ustreza zapisanemu pogoju.)
Pravilno Napačno

 
3. Koliko meri kot ob osnovnici enakokrakega trikotnika, če veš, da meri kot ob vrhu 70º?        
110º
55º
70º
4. Koliko merijo notranji koti enakokrakega pravokotnega trikotnika?        
90º, 90º , 1º
45º, 90º, 45º
Ker ni podan noben kot, ni mogoče rešiti naloge.
60º, 60º, 60º
 
5. Na spodnji sliki je nad kvadratno hišo postavljena streha v obliki enakostraničnega trikotnika. Koliko meri narisani kot ?        
60º
75º
80º
 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008