Koreni višjih stopenj
). Naučili se bomo tudi računati s koreni poljubnih stopenj. Za začetek si oglejmo potenco an. Vrednost te potence je pri pozitivni osnovi a vedno pozitivna. Ko bo osnova a=0, bo tudi 0n=0. Kaj pa se zgodi, ko je osnova potence negativno število?
- (–3)4=82
- (–4)3=–64
- (–0,1)5=–0,00001
- (–0,02)2=0,0004
Med spodnjimi odgovori poišči pravilnega.
Vrednost potence an, ko je a<0, je:
| negativna, | |
| pozitivna, | |
|
negativna ali pozitivna. |
Pri odgovoru bomo ločili dva primera:
- če je potenčni eksponent n sodo število (n=2k, k je naravno število), je pri negativni osnovi a število an pozitivno;
- če je potenčni eksponent n liho število (n=2k–1, k je naravno število), je pri negativni osnovi a število an negativno.
Naj bo a pozitivno realno število. Z
označimo n-ti koren števila a, ki je tako pozitivno število, katerega n-ta potenca je enaka številu a:

V primeru, ko je število n liho (a je še vedno pozitivno realno število), lahko izračunamo tudi n-ti koren iz negativnega števila in v tem primeru je
. Če je korenski eksponent n sodo število, realnega števila
ne znamo izračunati.
imenujemo naravno število n
eksponent, realno število a pa
.
Izračunajmo nekaj korenov višjih stopenj:




ni mogoče izračunati, ker ni realnega števila, katerega šesta potenca bi bila enaka –0,000001.
Izračunaj vrednosti spodnjih korenov sam, brez uporabe kalkulatorja:
Kako bi rešili binomsko enačbo, enačbo oblike xn–a=0?
Ko je n liho naravno število, ima takšna enačba le eno realno rešitev: 
(realna rešitev enačbe x5=–32 je x=–2).
Ko je n sodo naravno število, je število rešitev enačbe odvisno od števila a.
Če je a pozitivno število, sta realni rešitvi enačbe dve:
,
če je število a negativno, enačba nima realnih rešitev
(realni rešitvi enačbe x6–64=0 sta x1=2 in x2=–2).
Enačba xn=0 ima vedno eno samo rešitev: x=0.
Realne rešitve enačbe xn=a:
| n je sodo število | n je liho število | |
| a>0 | ![]() | ![]() |
| a<0 | ni realnih rešitev | ![]() |
| a=0 | x=0 | ![]() |
Naj bosta števili a in b pozitivni realni števili, m in n pa naravni števili. Za računanje s koreni višjih stopenj veljajo naslednja pravila:



.
Za poljubno realno število a je
, če je n liho število, in
, če je n sodo število.
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() |
Naučimo se računanja s koreni višjih stopenj skozi primere. Da ne bi zabredli v težave, privzemimo, da so števila a, b, x in y nenegativna.
Poenostavimo izraz (krajšali bomo korenski in potenčni eksponent)
Sam poenostavi izraz oblike
V spodnjem izrazu zapišimo faktor pred korenom pod korenski znak:
Zdaj poskusi faktor pred korenom sam zapisati pod korenski znak:
V izrazih, kjer je potenčni eksponent korenjenca večji ali enak korenskemu eksponentu, lahko nekaj faktorjev delno korenimo:
.
Delno koreni spodnji izraz:
Pri množenju korenov moramo paziti, da so vsi koreni iste stopnje (imeti morajo isti korenski eksponent). Če so korenski eksponenti različni, razširimo korene na skupni koren najnižje možne stopnje.
Naučimo se množiti korene s pomočjo spodnjih dveh primerov:
Večkratne korene poenostavimo tako, da korenske ekponente posameznih korenov množimo in dobimo stopnjo novega korena:
Sam se preizkusi v poenostavljanju izraza
Zdaj, ko poznamo korene višjih stopenj, se spomnimo še dogovorov za krajši zapis:
in
.

















.


