Iracionalne enačbe
Rešimo enačbo:
.
Vrednosti kvadratnih korenov dveh števil sta enaki natanko tedaj, ko se ujemata njuna korenjenca, ki morata biti nenegativni realni števili:
.
Dobili smo kvadratno enačbo. Najlažje jo bomo rešili urejeno:

Izraz na levi strani enačaja razcepimo v produkt:

Ponujata se dve rešitvi:
.
Oba korenjenca sta res nenegativni realni števili. Preverimo še, ali res obe rešitvi ustrezata prvotni enačbi:
,
.
Enačba

je zgornji zelo podobna, zato jo reši sam.
Rešimo zdaj enačbo
.
Tisti, ki ste radovedni, se že na začetku lahko vprašate, kakšne so smiselne rešitve enačbe.
Preden jo bomo preoblikovali v ekvivalentno enačbo, opazujmo levo stran enakosti: vemo, da mora biti x + 5 ≥ 0 oz. x ≥ –5. Vrednost leve strani neenakosti pa se bo gibala na intervalu [0,∞). Zato bo tudi x + 2 ≥ 0 oz. x ≥ –2. Ko združimo oba pogoja, vidimo, da bo naša rešitev vedno večja ali enaka –2.
Kvadratni koren bomo odpravili s kvadriranjem obeh strani enakosti:
.
Zmnožimo in kvadriramo (pri kvadriranju bodi pozoren na to, da na desni strani enakosti kvadriramo dvočlenik):

ter uredimo v
,
ki nam ponuja rešitvi 4 in –4. Ker mora biti naša rešitev večja ali enaka –2, je končna rešitev enačbe le x = 4.
Rešitev lahko tudi preverimo:
Če ti je razmišljanje o pogojih, ki jim rešitev ustreza, pretežko, izkoristi bližnjico. Vse dobljene rešitve preizkusi in se prepričaj, katera v resnici reši prvotno enačbo.
V primeru, ko je x = 4, dobimo 2 · 3 = 4 + 2, kar drži.
Ko je x = –4, pa je 2 · 1 = –2, kar ni res (ker pa smo enačbo kvadrirali, smo v naslednjem koraku dobili resnično izjavo 4 = 4).
Radovedni lahko enačbo rešimo tudi grafično.

in
.Ko rešujemo enačbo
,
moramo biti zviti. Pred kvadriranjem bomo koren osamili:
.
Zdaj je kvadriranje lažje: 4 = 3x + 1, kar pomeni, da je x = 1.
Poskusi si enačbo ponazoriti grafično (nariši grafa obeh funkcij) in iz slike preberi rešitev enačbe.
Dobljeno rešitev tudi preizkusimo.
Pred kvadriranjem enačbo poenostavimo in korene osamimo.
Pri kvadriranju enačbe moramo kvadrirati vsako stran enačbe kot celoten izraz in ne členoma.
Po kvadriranju iracionalne enačbe ne dobimo nujno ekvivalentne enačbe. Bo pa množica rešitev na novo nastale enačbe vsebovala rešitve naše prvotne enačbe.
Včasih najdemo v enačbi tudi več korenov. Rešimo enačbo
.
Ker je korene nemogoče osamiti, enačbo kar kvadriramo
,
jo preoblikujemo v

in še enkrat kvadriramo
,
od koder izračunamo, da je x = 25/16. Predlagana rešitev prvotne enačbe ne reši, zato naša originalna enačba nima realnih rešitev.
Sam reši enačbo
.
Nikakor ne velja, da morajo neznanke iracionalnih enačb nastopati le pod kvadratnimi koreni (je pa to v računskih problemih srednješolcev najpogosteje). Rešimo zato enačbo s tretjimi koreni:
.
Hitro opazimo, da so si korenjenci podobni; vsi so večkratniki izraza x – 4, zato bomo vpeljali novo sprememljivko:
.
Z novo neznanko zapisana enačba se glasi
,
od koder hitro izračunamo, da je t = 2. To pomeni, da je
oz. x – 4 = 8.
Našo enačbo reši x = 12.
Preizkusi se pri reševanju enačbe
.

,
,
.
.
.
,
Kvadratni koren osamimo in enačbo krajšamo z 2:
oz.
, kar pomeni, da je
.