Potenčna funkcija

Zanimale nas bodo funkcije oblike f(x)=xn, kjer bo n iz množice celih števil.

Obravnavali bomo dve družini; pri prvi bo eksponent iz množice naravnih števil in pri drugi iz množice negativnih celih števil. Spoznali bomo nekaj novih pojmov, kot so poli in asimptote funkcij.

Razmislek
Spoznavali bomo torej funkcije oblike . Če dobro razmisliš, ugotoviš, da dve potenčni funkciji že poznaš. Kateri?

Znanje bomo razširili na poljubne cele eksponente.

Ker bomo imeli (po imenu sodeč) kar precej dela s potencami, je dobro ponoviti pravila za računanje s potencami.

 
Potenčna funkcija z naravnim eksponentom
Potenčna funkcija z naravnim eksponentom je funkcija s predpisom f(x)=xn, kjer je .
Potenčna funkcija z naravnim eksponentom
Na sliki lahko spreminjaš vrednost n, torej eksponent potenčne funkcije. Ob tem se ti izrisuje ustrezen graf. Spreminjaj n in opazuj, kako to vpliva na obliko grafa.
 
Poskusi sam
Pri spreminjanju eksponenta opaziš, da dobimo dve različni skupini grafov.
Glede na kaj bi jih razdelili?

Naj bo n=2. Kaj je v tem primeru definicijsko območje in kaj zaloga vrednosti?

Primerjaj svoj odgovor za n=4 oziroma n=6.

Pri katerih vrednostih spremenljivke x dosežejo vse potenčne funkcije s sodim eksponentom isto vrednost?

Kaj pa opaziš pri vrednosti funkcije za pozitivne oziroma za negativne x?

Ali imajo inverzno funkcijo?

Kaj se dogaja z obliko grafa v okolici ničle oziroma za velike x, kadar eksponent postaja vse večji?

 
Zapišimo povzetek vseh ugotovitev za potenčno funkcijo z naravnim sodim eksponentom.

Lastnosti potenčnih funkcij f(x)=xn z naravnim sodim eksponentom:

- definicijsko območje so vsa realna števila, zaloga vrednosti pa nenegativna realna števila;

- grafi potekajo skozi tri skupne točke A(1,1), B(-1,1) in O(0,0);

- imajo eno ničlo pri x=0:

- so padajoče za x<0 in naraščajoče za x>0;

- so navzdol omejene;

- grafi so zrcalni glede na ordinatno os; torej so funkcije sode;

- niso bijektivne.

 
img11_3
Grafi potenčnih funkcij z naravnim sodim eksponentom
 
Poskusi sam
Podrobno si spoznal potenčne funkcije s sodim naravnim eksponentom. Razišči še drugo skupino, tj. potenčne funkcije z naravnim lihim eksponentom.
Skozi katere skupne točke potekajo grafi potenčnih funkcij z lihim eksponentom?

Ali so te funkcije realne funkcije?

Ali obstajata točki na grafu, ki imata enaki funkcijski vrednosti? Kaj lahko sklepaš?

Kaj lahko rečemo o legi grafa v I. kvadrantu glede na graf v III. kvadrantu? Katero lastnost imajo take funkcije?

V čem se razlikujejo grafi funkcij, ko večamo lihi eksponent?

Poglej si na sliki spodaj grafe različnih potenčnih funkcij in si preberi povzetek vseh lastnosti potenčnih funkcij z naravnim lihim eksponentom.
 
img5_3
Grafi potenčnih funkcij z naravnim lihim eksponentom
 

Potenčne funkcije f(x)=xn z lihim naravnim eksponentom:

- ;

- grafi potekajo skozi tri skupne točke A(1, 1), B(–1, –1) in O(0, 0);

- imajo eno ničlo pri x=0;

- so povsod naraščajoče;

- neomejene;

- lihe; grafi so zrcalni glede na koordinatno izhodišče;

- bijektivne.

 
Lastnosti potenčnih funkcij z negativnim celim eksponentom

Postal si že pravi mojster za potenčne funkcije. Sedaj boš svoje znanje razširil na potenčne funkcije f(x)=xn z negativnim celim eksponentom, kjer je .

Podobno kot zgoraj lahko na sliki spodaj spreminjaš vrednost eksponenta. Ob tem se ti izrisuje ustrezen graf potenčne funkcije.

Poskusi sam
Najprej opazuj oblike grafov pri spreminjanju eksponenta od –1 do –7.

Kaj se dogaja z grafi funkcij v bližini koordinatnega izhodišča? Zakaj?


Vidimo, da se grafi funkcij v okolici koordinatnega izhodišča zelo strmo dvigajo in približujejo k ordinatni osi, ki je nikoli ne dosežejo. Pravimo, da imajo funkcije pri x=0 pol, ker tam niso definirane.

Opazuj, kaj se dogaja z vrednostmi funkcij, daleč oddaljenih stran od koordinatnega izhodišča.


Pri naravnih eksponentih smo ugotovili, da imamo dve skupini potečnih funkcij v odvisnosti od eksponenta. Ali kaj podobnega velja tudi tukaj?

Opazuj grafe funkcij z negativnim sodim eksponentom. Katere skupne lastnosti opaziš?

V katerih lastnostih se razlikujejo grafi potenčnih funkcij z negativnim sodim eksponentom od tistih z lihim eksponentom?

Da boš imel boljši pregled nad svojim pridobljenim znanjem o potenčnih funkcijah z negativnim celim eksponentom, si še enkrat preberi njihove lastnosti in oglej grafe posameznih funkcij.
 

Lastnosti funkcij z negativnim sodim eksponentom:

- ;

- grafi potekajo skozi dve skupni točki A(1, 1) in B(–1, 1);

- imajo pol pri x=0 (os y je navpična asimptota);

- os x je vodoravna asimptota;

- so navzdol omejene;

- nimajo ničel;

- so padajoče za x>0 in naraščajoče za x<0;

- so sode funkcije;

- niso bijektivne.

 
img17_3
Grafi potenčnih funkcij z negativnim sodim eksponentom
Iz slike se vidi, kako se spreminja strmina grafov v odvisnosti od eksponenta potenčne funkcije.
 

Lastnosti potenčnih funkcij z negativnim lihim eksponentom:

- ;

- grafi potekajo skozi dve skupni točki A(1, 1) in C(–1, –1);

- imajo pol pri x=0;

- os x je vodoravna asimptota, ki je nikjer ne sekajo;

- so povsod padajoče;

- so neomejene;

- grafi so zrcalni glede na koordinatno izhodišče; torej so funkcije lihe;

- so bijektivne.

 
img21_3
Grafi potenčnih funkcij z negativnim lihim eksponentom
Grafi funkcij se skoraj "prilepijo" ob os x.
 
Poskusi sam
Pazljivo preberi spodnje trditve in razmisli, katere so pravilne in katere nepravilne.
1. Vse potenčne funkcije so definirane na množici vseh realnih števil.
Pravilno Napačno     

2. Vse potenčne funkcije potekajo skozi točko (1, 1).
Pravilno Napačno     

3. Potenčne funkcije z lihimi eksponenti imajo inverzne funkcije.
Pravilno Napačno

4. Grafi potenčnih funkcij so zrcalni glede na koordinatno izhodišče.
Pravilno Napačno

 
Reši

Zapiši predpis potenčne funkcije f, ki poteka skozi točko A(–2, 1/16).

V kateri točki se seka graf dobljene funkcije z grafom funkcije g(x)=x3?

Za katere vrednosti x je graf funkcije f nad grafom funkcije h(x)=x2?

Kaj pa za funkcijo j(x)=x–6?


Nariši grafe funkcije f(x), g(x), h(x) in j(x) v isti koordinatni sistem.