Baza v ravnini

V tem poglavju se bomo naučili, kako vektor v ravnini predstavimo z urejenim parom števil in kaj ti dve števili pomenita. Z novo obliko zapisa se računanje z vektorji zelo poenostavi.
Obnovimo temelje, na katerih bomo gradili!

Če smo do zdaj želeli vektorje seštevati, odštevati ali množiti s skalarjem in si jih ob tem tudi predstavljati, smo to lahko opravili le tako, da smo vektorje narisali in tudi rezultat predstavili grafično.

Zdaj pa bi vektorje radi predstavili s števili, iz katerih bi bile razvidne vse tri lastnosti vektorjev: smer, usmerjenost in dolžina.

Kako bomo to dosegli?

V pravokotnem koordinatnem sistemu v ravnini bomo narisali krajevni vektor in ga izrazili v ortonormirani bazi. Tako bomo dobili dve števili, ki bosta vektor točno določali in ju bomo imenovali komponenti vektorja.

Ampak lepo po vrsti! V prejšnjem odstavku smo natresli kar nekaj zelo pomembnih pojmov, brez katerih se skozi to poglavje ne boš mogel prebiti. Zato obnovi znanje potrebnih osnov tako, da boš dopolnil besedilo, ki sledi. Lahko si pomagaš tudi s spodnjo sliko.

Koordinati točke v pravokotnem koordinatnem sistemu ravnine
Z miško zgrabi točko T in jo premikaj ter opazuj, kaj se dogaja z nastopajočimi števili pri točki T in na koordinatnih oseh.
Dopolni spodnje besedilo:

koordinatni sistem v ravnini zgradimo s pomočjo dveh med sabo pravokotnih premic. Njuno presečišče imenujemo koordinatno . Ko na vsaki od premic izberemo dolžino, ki predstavlja enoto (sliko števila ), premici postaneta realni številski . Vodoravno os imenujemo os x ali os, navpično os pa os y ali os. Obe osi razdelita koordinatni sistem na štiri območja, ki se imenujejo . Prvi kvadrant je tisti, v katerem sta obe koordinati točk , drugi, tretji in četrti kvadrant pa si sledijo v smeri, ki je nasprotna vrtenju urinega kazalca.

Zdaj je vsaka točka na premicah slika točno določenega realnega in obratno: vsako realno število ima tako na osi x kot tudi na osi y točno določeno .

Ko poljubno točko T iz ravnine pravokotno projiciramo na koordinatni osi, na vsaki posebej naletimo na sliko nekega števila. Število na osi x je x ali abscisa točke T, število na osi y pa je koordinata y ali točke T.

Tako prav vsaki točki T iz ravnine priredimo točno določen urejen števil, to sta koordinati točke T, kar zapišemo kot T(xT, yT). Velja tudi obratno: vsak urejen par števil določa samo eno ravnine.

  

Odgovori še na dve vprašanji:
Kaj je krajevni vektor točke T?
  
Vsak vektor, ki vodi do točke T.
Vsak vektor, ki se začne v točki T.
Vsak vektor, ki se začne v koordinatnem izhodišču.
Vektor, ki poteka od izhodišča do točke T.
Kateri stavek najnatančneje opiše ortonormirano bazo?
  
To je množica vektorjev, ki so drug na drugega pravokotni in merijo eno enoto.
To je množica linearno neodvisnih vektorjev, s katerimi lahko izrazimo vse ostale vektorje prostora.
To je množica vektorjev, ki so drug na drugega pravokotni, merijo eno enoto in z njimi lahko izrazimo vse ostale vektorje prostora.

Upam, da si se pri nalogah dobro odrezal.

Še enkrat poudarimo, da je krajevni vektor točke T le tisti vektor, ki vodi do točke T, začne pa se v koordinatnem izhodišču. Zato lahko o krajevnih vektorjih govorimo le, če imamo koordinatni sistem.

Čeprav do vsake točke vodi neskončno mnogo različnih vektorjev, vodi do vsake le en sam krajevni vektor, kar lahko vidiš na spodnji sliki.

Zato lahko rečemo, da je točka s svojim krajevnim vektorjem točno določena in obratno: če poznamo točko, poznamo tudi njen krajevni vektor.

Krajevni vektor določa lego točke
S spreminjanjem točke T se spreminjajo vsi vektorji, ki vodijo do nje, a le eden od njih izhaja iz koordinatnega izhodišča. Z miško primi točko T in to poskusi sam.
Izražanje krajevnega vektorja v ortonormirani bazi ravnine

Rekli smo, da za te tri vektorje rezerviramo oznake , in .

Vektorji, ki tvorijo ortonormirano bazo in jih označimo z , in , so krajevni, enotski in drug na drugega pravokotni. Tisti, ki sega do števila 1 na osi x, se imenuje , tisti, ki sega do 1 na osi y, je vektor , in tisti, ki sega do 1 na osi z, je vektor .

Če potrebujemo bazo ravnine, zadoščata samo vektorja in , v prostoru pa potrebujemo še vektor .

Vemo tudi, da lahko z izbranimi baznimi vektorji izrazimo prav vsak vektor ravnine oziroma prostora. Naša naslednja naloga je, da se v ortonormirani bazi ravnine naučimo izražati krajevne vektorje.

Izražanje krajevnega vektorja dane točke

Na spodnji sliki je prikazan krajevni vektor točke T , ki ga želimo izraziti z baznima vektorjema in , kar pomeni, da ga želimo zapisati kot njuno linearno kombinacijo:
.
Zanima nas, koliko znašata skalarja k in l, od česa sta odvisna. Z miško premikaj točko T, opazuj spreminjanje različnih števil in vektorjev na sliki, nato pa odgovori na spodnja vprašanja.

To sta koordinati točke T. Prva koordinata je abscisa, druga pa ordinata točke T.
Abscisa (pa tudi ordinata) točke T se na sliki pojavi v štirih različnih zapisih.

Pri točki T pomeni njeno prvo koordinato, na osi x pomeni število, v katerega sliko se točka T projicira, tretjič se pojavi kot skalar, s katerim je pomnožen vektor , in skupaj določata zeleno vodoravno usmerjeno daljico, četrtič pa kot sestavni del linearne kombinacije, s katero izrazimo krajevni vektor v ortonormirani bazi.

Podobno velja tudi za drugo koordinato točke T: pojavi se še pri projekciji točke T na os y, in sicer kot skalar, s katerim množimo vektor , nazadnje pa še v zapisu linearne kombinacije.

Skalar k je enak koordinati x (abscisi) točke T.
Ta skalar je enak koordinati y (ordinati) točke T.
Strnimo zelo pomembne ugotovitve, do katerih smo prišli.
Če sta xT in yT koordinati točke T, če jo lahko torej zapišemo kot T(xT, yT), potem se krajevni vektor točke T v ortonormirani bazi ravnine izrazi kot:
.

Enakovredni zapis vektorja je tudi zapis v obliki urejenega para, torej:

.
Števili xT in yT se imenujeta komponenti krajevnega vektorja točke T.

Pozor! Čeprav gre pri zapisu točke T in njenega krajevnega vektorja za isti urejeni par, nastopajoča števila različno poimenujemo. Pri točki govorimo o koordinatah, pri vektorju pa o komponentah.

Paziti je treba tudi na obliko zapisa. Medtem ko med imenom vektorja in komponentami zapišemo enačaj, ga med imenom točke in koordinatami nikoli.

Enak zapis, a dva različna pomena!

Kaj vse povedano pravzaprav pomeni?

Če je krajevni vektor neke točke enak , to pomeni, da vodi od izhodišča do točke z enakim zapisom, kot ga ima vektor, torej do točke (2, 3).

In še obratno: če nas zanima krajevni vektor točke (-4, 6), vemo, da se njegov zapis v komponentah popolnoma ujema z dano točko, torej je .

Poglejmo, ali razumeš nov zapis vektorja

Vsakemu od danih vektorjev dodaj še drugo možno obliko zapisa!

Druge oblike zapisa danih vektorjev so:

Kam vodijo vektorji?

Do katerih točk vodijo naslednji krajevni vektorji? Zapiši koordinate teh točk.

Ker se zapisa točke in njenega krajevnega vektorja v obliki urejenega para povsem ujemata, se zapise zadnjih treh vektorjev najprej splača spremeniti v drugo obliko. Potem nastali pari kažejo točke, do katerih segajo dani krajevni vektorji. Torej:

Računanje z vektorji, podanimi s komponentami
Od zdaj naprej bomo vsak vektor zapisali v obliki urejenega para komponent, npr. . Naša naloga je izpeljati pravila za računanje z vektorji v takem zapisu. Pa začnimo.
Seštevanje in odštevanje vektorjev
Recimo, da poznamo dva vektorja: in . Kako bi v tem primeru izračunali njuno vsoto in razliko

Pravilo za seštevanje in odštevanje vektorjev v komponentnem zapisu je zelo enostavno: vektorja seštejemo (odštejemo) tako, da seštejemo (odštejemo) istoležne komponente, kar pomeni prvi komponenti posebej in drugi komponenti posebej. Rezultat spet podamo v obliki urejenega para, saj sta vsota in razlika vektorjev znova vektor. Torejvelja.

.

Da izpeljemo pravilo za seštevanje in odštevanje dveh vektorjev v komponentnem zapisu, moramo zapisa spremeniti v linearni kombinaciji baznih vektorjev in , računati "po starem načinu" in dobljeno linearno kombinacijo spremeniti v urejen par komponent:

Množenje vektorja s skalarjem
Množenje vektorja s skalarjem je bila naslednja operacija, ki smo jo obravnavali. Tokrat potrebujemo vektor in skalar k. Kako bi vektor v komponentnem zapisu pomnožili s skalarjem?

Vektor v komponentnem zapisu pomnožimo s skalarjem tako, da s skalarjem pomnožimo vsako komponento posebej. Rezultat zapišemo v obliki urejenega para, saj je produkt vektorja s skalarjem znova vektor. Torej je:

.

Postopamo podobno kot v prejšnjem dokazu: vektor zapišemo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev, upoštevamo distributivnost množenja vektorja s skalarjem v vektorskem faktorju in rezultat znova spremenimo v zapis z urejenim parom komponent:

Skalarni produkt

Za vas imam zelo veselo novico: skalarno množenje vektorjev v komponentnem zapisu bo bistveno enostavnejše kot skalarno množenje "po starem" načinu, v katerem smo morali upoštevati obe dolžini vektorjev in še kosinus kota med njima.

Tokrat bomo novo pravilo izpeljali skupaj.

Imejmo dva vektorja: in . Najprej ju bomo zapisali v obliki linearnih kombinacij baznih vektorjev in , upoštevali distributivnost skalarnega produkta in pravokotnost baznih vektorjev in naposled dobljeni vektor spremenili v zapis z urejenim parom komponent. Pa dajmo:

Dva vektorja v komponentnem zapisu skalarno pomnožimo tako, da med sabo pomnožimo istoležne komponente in dobljene produkte seštejemo.

Pozor! Zelo pomembno je, da rezultata ne zapišete v obliki urejenega para, saj to pomeni, da ste pri skalarnem produktu vektorjema priredili nov vektor, kar pa seveda ni res. Skalarni produkt vektorjev je skalar, zato produkte istoležnih komponent seštejemo.

Od teorije k praksi

Rešimo naslednjo nalogo s primeri vseh obravnavanih računskih operacij z vektorji.

Dana sta vektorja in . Izračunaj:

Rešitev.

Najprej se spomnimo, da vektorje seštevamo in odštevamo po komponentah, s skalarjem pomnožimo vsako komponento posebej, skalarno pa množimo tako, da seštejemo produkte istoležnih komponent. Torej:


Ne pozabimo na računanje dolžin in kotov!
Ponovimo formuli za računanje dolžine vektorja in kosinusa kota med vektorjema, ki smo ju obravnavali pri skalarnem produktu.
Dolžino vektorja izračunamo s formulo   kosinus kota med vektorjema pa takole: .

Poglejmo, kako se obrazca spremenita, če oba vektorja podamo s komponentami, torej: in .

Dolžina vektorja bo tako:

Kosinus kota med vektorjema pa bomo računali takole:

Strnimo vsa pravila na enem mestu.

Če je in k realno število, je:














Kolikšen kot oklepata dana vektorja?

S tako nalogo se bomo pogosto srečali, saj omogoča računanje velikosti kotov v različnih likih, če na stranice lika v koordinatnem sistemu postavimo vektorje.

Na stotinko stopinje natančno izračunajmo kot med vektorjema, ki smo ju srečali v prejšnji nalogi, to sta in

Rešitev

Za izračun kota potrebujemo natančni dolžini obeh vektorjev in skalarni produkt vektorjev.

Dolžina vektorja je: .

Podobno je .

Skalarni produkt vektorjev in je .

In zdaj k računanju kota:

Uporaba krajevnih vektorjev za določanje vektorjev in posebnih točk
Vedno, ko bo treba določiti koordinate kake posebne točke, bomo lahko nalogo "prevedli" v določanje njenega krajevnega vektorja, saj se zapisa obeh v obliki urejenega para ne razlikujeta.
Vektor od točke A do točke B
Kako določimo komponente vektorja , če poznamo koordinate njegove začetne točke A(xA, yA) in končne točke B(xB, yB)? Oglejmo si sliko in premislimo.

Vidimo, da lahko pot od točke A do točke B prehodimo kar po vektorju ali pa na daljši način tako, da gremo po vektorju in s tem pridemo v koordinatno izhodišče, nato pa nadaljujemo sprehod po vektorju . Zato je:

kar pomeni, da vektor od točke A do točke B izračunamo tako, da od krajevnega vektorja končne točke B odštejemo krajevni vektor začetne točke A.

Primer: določi vektor , če je A(–1, 5) in B(6, 1), kot prikazuje zgornja slika.

Ker poznamo točki A in B, poznamo tudi njuna krajevna vektorja, ki sta in .

Tako je .

Komponenti opišeta, kako se moramo premikati, da prehodimo vektor od točke A do točke B: v tem primeru se moramo premakniti 7 enot v desno in 4 enote navzdol. Po takem premiku pristanemo v točki B. Preveri to na zgornji sliki. Drži?
Razpolovišče daljice

Z določanjem koordinat točke, ki je razpolovišče daljice z znanima krajiščema, smo se srečali že v 1. letniku. Tokrat bomo že znano formulo izpeljali s krajevnimi vektorji.

Naj bosta A(xA, yA) in B(xB, yB) krajišči daljice AB. Kolikšni sta koordinati točke S, ki razpolavlja daljico AB? Pomagajmo si s sliko.

Ker nas zanimata koordinati točke S, nas s tem zanimata komponenti njenega krajevnega vektorja.
Interaktivno besedilo I

Krajevni vektor razpolovišča S daljice AB izračunamo kot:

Primer: določi razpolovišče S daljice AB s krajiščema A(–4, 1) in B(5, 3), kot kaže zgornja slika.

Uporabimo izpeljano formulo: .

Ker se koordinati točke ujemata s komponentama njenega krajevnega vektorja, je razpolovišče daljice AB v točki . Preveri, ali se rezultat ujema s prikazom točke S na sliki.

Težišče trikotnika

Tako kot je razpolovišče daljice na neki način težišče dveh točk(obeh krajišč daljice), sedaj iščemo točko, ki bo uravnotežila tri oglišča trikotnika.

Formula, ki jo iščemo, je posplošitev formule za razpolovišče daljice iz dveh točk na tri točke sistema.

Interaktivno besedilo I
V formuli za razpolovišče daljice zamenjamo število 2 s številom 3 in v oklepaju zapišemo vsoto krajevnih vektorjev vseh treh trikotnikovih oglišč. Znaš sedaj zapisati iskani obrazec?

Krajevni vektor težišča T trikotnika ABC izračunamo kot:

Primer

Določi težišče trikotnika ABC z oglišči A(–7, –3), B(8, 3) in C(–4, 6).

Uporaba formule pripelje do:, kar se ujema tudi s spodnjo sliko, ki prikazuje obravnavani trikotnik s težiščem.

Pri izpeljavi bomo potrebovali lastnost, da težišče deli težiščnico v razmerju 2 : 1, merjeno od oglišča trikotnika, in da je N razpolovišče daljice BC. Potem je:

 

Še marsikaj bi lahko povedali o uporabi krajevnih vektorjev, pa naj bo del tega prihranjen za dodatne naloge. Pod povezavo te čaka kopica lepih primerov, od lažjih do težjih.