Lastnosti funkcij
Kaj se dogaja z ordinato točke A, če se abscisa veča od –5 do –3?
Za katere točke na grafu velja podobna lastnost? Zapiši ustrezen interval za abscise točk.
Ali lahko funkcija zavzame vrednost –4? Kaj pa –6?
Kaj je množica slik dane funkcije f?
Funkcija je na intervalu (a, b) naraščajoča, če za poljubna x1 in x2 s tega intervala velja:
če je x1 < x2, je f(x1) ≤ f(x2).
Funkcija je strogo naraščajoča, če za poljubna x1 in x2 s tega intervala velja:
če je x1 < x2, je f(x1) < f(x2).
Funkcija je na intervalu (a,b) padajoča, če za poljubna x1 in x2 s tega intervala velja:
če je x1 < x2, je f(x1) ≥ f(x2).
Funkcija je strogo padajoča, če za poljubna x1 in x2 s tega intervala velja:
če je x1 < x2, je f(x1) > f(x2).
Iz grafa funkcije f(x) je razvidno, da funkcija najprej strogo pada na intervalu (–∞, –2), pri x = –2 doseže najmanjšo vrednost, od te točke naprej pa monotono narašča za vsak x > –2.
Spodaj imaš podane grafe funkcij.
Na posameznem grafu lahko premikaš točke A, B, C, D ali E.
Skušaj odgovoriti na zastavljena vprašanja.
Katera je najmanjša oziroma največja vrednost, ki jo funkcija doseže?
Ali lahko ti dve vrednosti natančno določimo?
Če še enkrat pogledamo zaloge vrednosti za podane primere funkcij, t.j. [–5, 5], [–4.7, 1.2] in (1, 7], opazimo, da so v vseh primerih to intervali. Intervali so zaprti, če funkcija doseže najmanjšo oziroma največjo vrednost, in odprti, če se določeni vrednosti samo (asimptotično) približujejo.
Funkcije, kjer je zaloga vrednosti interval (a, b), (a, b], [a, b) ali [a, b],
, imenujemo omejene funkcije.
Funkcija je omejena, če obstajata taki realni števili m in M, da za vsak x iz definicijskega območja velja:
m ≤ f(x) ≤ M.
Številu m pravimo spodnja meja, številu M pa zgornja meja.
Funkcija doseže spodnjo mejo m = –4. Zgornje meje M = 1 ne doseže nikoli, saj se ji asimptotično približuje.
Vsa števila, ki so manjša od števila m, so spodnje meje, vendar je število m največja med njimi, zato jo imenujemo natančna spodnja meja.
Vsa števila, ki so večja od števila M, so zgornje meje, vendar je število M najmanjša med njimi, zato jo imenujemo natančna zgornja meja.
Funkcija je navzgor omejena, če obstaja tako realno število M, da za vsak x iz definicijskega območja velja:
f(x) ≤ M.
Funkcija je navzdol omejena, če obstaja tako realno število m, da za vsak x iz definicijskega območja velja:
f(x) ≥ m.
Funkcije, ki niso ne navzdol in ne navzgor omejene, so neomejene funkcije.
Postavi točko A tako, da bo ležala na simetrali sodih kvadrantov. Kje leži točka B?
Točko A poljubno premikaj in opazuj pri tem lego in koordinato točke B. Za katero preslikavo velja opisana lastnost?
Funkcija je soda, če za vsak x iz definicijskega območja velja:
.
Soda funkcija negativnim x priredi enako vrednost kot pozitivnim, kar pomeni, da je graf sode funkcije zrcalen glede na ordinatno os.
Funkcija je liha, če za vsak x iz definicijskega območja velja:
.
Liha funkcija negativnim x priredi nasprotne vrednosti kot pozitivnim, torej se koordinate točk razlikujejo po predznaku, kar pomeni, da je graf lihe funkcije zrcalen glede na koordinatno izhodišče.
Poglejmo, kako preverimo lastnost sodost – lihost, kadar je funkcija podana s predpisom.
Naj bo f(x) = x2 + 3. Izračunajmo
f(–x) = (–x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x).
Funkcija je soda, saj smo dokazali, da za vsak x velja lastnost sodih funkcij.
Naj bo sedaj r(x) = x(x4 + 5). Torej je
r(–x) = –x((–x)4 + 5) = –x(x4 + 5) = –r(x).
Funkcija je torej liha.
Obstajajo pa seveda tudi funkcije, ki niso niti sode niti lihe.
Naj bo f(x) = x2 – 5x. Potem je
f(–x) = (–x)2 – 5(–x) = x2 + 5x,
kar ni niti f(x) niti –f(x).