Uporaba vektorjev
Čeprav smo se z mnogimi nalogami srečali že v prejšnjih poglavjih med obravnavo snovi, bomo nekatere, najznačilnejše za uporabo vektorjev, reševali še v tem zadnjem poglavju.
Naloge, v katerih nam vektorji najbolj koristijo, ponavadi zahtevajo računanje dolžin, kotov, preverjajo pravokotnost ali vzporednost kakih objektov in podobno. Vektorji so še posebno nepogrešljivi v nalogah, ki se dogajajo v tridimenzionalnem prostoru, saj si pri vprašanjih vzporednosti in pravokotnosti ne moremo pomagati s smernimi koeficienti premic oziroma daljic, kot si lahko v ravnini.
Pa začnimo!
Oboje skupaj potrjuje, da vektorja res določata kvadrat s ploščino 36.
Pokaži, da je trikotnik z oglišči A(5, –3, 5), B(8, 2, –2) in C(2, –1, 1) pravokotni trikotnik, nato pa izračunaj obseg in ploščino trikotniku očrtanega kroga.
Da je trikotnik pravokoten, že znamo pokazati: mimogrede izračunamo, da je skalarni produkt vektorjev in
enak 0. Naredi to sam.
Za drugi del naloge pa potrebuješ del znanja geometrije iz 1. letnika. Se še spomniš, kako pravokotnemu trikotniku očrtamo krog?
Dana so oglišča štirikotnika ABCD: A(–2, 0, 1), B(3, 1, –2), C(10, 3, –6) in D(5, 2, –3).
1. Dokaži, da je štirikotnik ABCD paralelogram.
Če je ABCD paralelogram, mora biti . Preverimo, ali enakost drži:
, prav tako pa je
.
Dolžina diagonale AC je .
Podobno je .
3. Določi presečišče S diagonal paralelograma.
Presečišče diagonal v ravninskem liku bi verjetno izračunali z enačbami premic, na katerih presečišče leži. V prostoru pa enačb premic (še) ne znamo zapisati. Kako kljub temu določimo presečišče diagonal paralelograma?
Presečišče diagonal S je razpolovišče daljice AC, zato je . Tako ima točka S koordinate
.
4. Izračunaj kot med diagonalama paralelograma na stotinko stopinje natančno.
Kot med diagonalama paralelograma lahko izračunamo takole:
.
Ploščina paralelograma je tako S=½ ·e·f·sinΦ, kjer je Φ kot med diagonalama e=AC in f=BD.
Tako je .
Pokaži, da so točke A(–2, –5, 0), B(3, 5, –5), C(1, 4, 2) in D(–1, 0, 4) oglišča trapeza, nato pa:
Pokažimo, da je , pri čemer je k neko realno število.
,
Hitro vidimo, da je iskano število , saj so količniki istoležnih komponent
. Zato je
, kar potrjuje vzporednost stranic AB in CD in ugotovitev, da je štirikotnik trapez.
Ker iščemo koordinate točke S, določamo komponente njenega krajevnega vektorja. Če ga bomo s podatki (krajevnimi vektorji oglišč trapeza) izrazili na dva različna načina in ju enačili, bomo iz nastalega sistema enačb izračunali koordinate točke S.
Za prvi način zapisa krajevnega vektorja točke S izberemo na primer tega:
Če pišemo, da je neznani vektor , ostala vektorja pa izračunamo in nato obravnavamo vsako komponento vektorjev posebej, dobimo naslednji sistem enačb:
Ni boljšega matematičnega objekta za opis vzporednega premika, kot je vektor, saj v sebi zajema tako opis smeri kot dolžine premika.
Rešimo naslednjo nalogo
Trikotnik ABC z oglišči A(–3, –1, –4), B(2, 1, –2) in C(–1, 3, 1) vzporedno premakni tako, da se bo oglišče A premaknilo v točko A'(1, –5, –3).
Vam je naloga o kotu med telesnima diagonalama kocke ABCDA'B'C'D' znana? Če ste skrbno naredili domačo nalogo v poglavju o skalarnem produktu, se je morda spomnite. Tam smo imeli opravka s kocko z robom a.
Ohranimo to kocko. Tokrat jo za spremembo postavimo v koordinatni sistem tako, da je oglišče D v koordinatnem izhodišču, robovi kocke pa potekajo v smeri koordinatnih osi. Narišimo skico.