Definicija

Spoznali smo že linearno funkcijo, katere graf je bila premica, ki je najpreprostejša krivulja. V nadaljevanju pa si bomo ogledali funkcijo, katere graf je parabola, ki nastopa kot tir mnogih gibanj v naravi.
1. Kje lahko srečamo kvadratno funkcijo?

[Tir leta krogle je približno parabola — za razlago animacije poglej pod spodnji gumb]

Ob turških vpadih na Balkan in na naše ozemlje v 18. stoletju je bil Beograd (danes glavno mesto Srbije) nekaj časa pod turško oblastjo. V tistem času si je avstrijsko cesarstvo prizadevalo Beograd pridobiti nazaj in v eni takšnih bitk (1789) je sodeloval tudi Jurij Vega (1754—1802), slovenski matematik in fizik, v Evropi cenjen profesor matematike (pripravil je več izdaj logaritemskih in trigonometričnih tabel, s katerimi je zaslovel kot najpomembnejši avtor logaritmovnikov v zgodovini uporabne matematike) in nadpovprečno uspešen vojak Dunajskega dvora (nagrajen z viteškim redom Marije Terezije in povzdignjen v barona). Med drugim se je ukvarjal tudi z balistiko (vedo o gibanju izstrelkov v zraku) in po njegovi zaslugi so topničarji v bitki za Beograd zadeli skladišče smodnika na Kalemegdanu v sicer dobro utrjenem in branjenem Beogradu. Nenadna eksplozija večjih razsežnosti in dolgotrajno natančno obstreljevanje sta prispevala k predaji turške vojske in zavzetju mesta.

Osnova vseh uspešnih topniških bitk sta bila (in sta še) dobro poznavanje in preračunavanje tirov izstrelkov. V zgodnjih obdobjih so bili ljudje mnenja, da izstrelek pri vodoravnem in poševnem metu potuje v ravni črti, kasneje pa so se počasi približali spoznanju o paraboli kot tiru izstrelka (v resnici je oblika tira precej popačena parabola zaradi upoštevanja zračnega upora).

S tem zgodovinskim uvodom pa smo že zakorakali v matematiko, ki je dala fiziki močna orodja za ustrezno opisovanje gibanj teles: zvezo med časom in višino izstrelka pri poševnem metu v vakuumu nam opisuje kvadratna funkcija, ki jo bomo spoznali v tem poglavju.

Ob sklepu uvoda je primerno, da navedemo še tri »nevojaške« primere prisotnosti kvadratne funkcije v vsakdanjem življenju:
- curek vode, poševno usmerjen iz vrtne cevi, ima obliko parabole,
- nekateri nepovratni kometi se gibajo po paraboličnih tirnicah,
- satelitske antene (glej sliko spodaj) in antene radijskih teleskopov imajo pogosto obliko paraboloida, ploskve, ki jo dobimo z vrtenjem parabole okoli njene simetrijske osi: pri tem dobimo parabolo kot presečišče ravnine s paraboloidom (na sliki je parabola nakazana z modrimi točkami).


[Satelitska antena ima obliko paraboloida.]
2. Kaj je kvadratna funkcija?

Že v osnovni šoli smo obravnavali linearno funkcijo, na primer f(x) = 2x in g(x) = −3x + 1, ki smo jo v splošnem zapisali kot f(x) = kx + n. Zanjo je značilno, da neodvisna spremenljivka x nastopa v potenci stopnje 1 (linearni člen je kx1).

Kaj pa bi dobili, če bi vsem takšnim funkcijam prišteli še člen x2?

Dobimo na primer funkcijo g(x) = x2 − 3x + 1. Opazimo, da sedaj spremenljivka x nastopa tudi v potenci z eksponentom 2. In prav ta lastnost je značilna za novo funkcijo, ki jo bomo poimenovali kvadratna funkcija. V resnici smo jo spoznali že pri potenčnih funkcijah z naravnim eksponentom kot funkcijo f(x) = x2.

Kvadratna funkcija bo imela torej podoben zapis kot linearna funkcija, ki pa ji moramo dodati še kvadratni člen x2. Poglejmo si še nekaj zgledov kvadratnih funkcij:

f(x) = x2+1,

g(x) = −2x+3−x2,

h(x) = 3x2+5.

Za vse je značilno, da v zapisu nastopata kvadratni člen + nekaj (ali pa tudi nič). V primeru funkcije g tudi opazimo, da vrstni red zapisa členov ni pomemben (g je še vedno kvadratna funkcija), vendar zaradi večje preglednosti člene zapišemo po vrsti od potence z največjim eksponentom do potence z najmanjšim eksponentom.

Povzemimo sedaj te ugotovitve v dogovor

Kvadratna funkcija je realna funkcija f, podana s predpisom

,

kjer je a≠0 in so a, b in c realna števila. Število a imenujemo vodilni koeficient (koeficient kvadratnega člena), b koeficient linearnega člena in c svobodni člen ali začetna vrednost.

Zgleda
Ponovno preberi opis kvadratne funkcije.
1. Zakaj v zgornji definiciji potrebujemo določilni pogoj a ≠ 0?

2. Določi vse tri koeficiente pri naslednjih funkcijah:

, .


3. Graf kvadratne funkcije

Poglejmo si naš nadaljnji načrt dela: najprej si bomo pogledali graf preproste kvadratne funkcije f(x) = x2, nato graf funkcije f(x) = ax2 in na koncu še graf najsplošnejše kvadratne funkcije f(x) = ax2 + bx + c.

Vrnimo se torej najprej k funkciji f(x) = x2. Narišimo tabelo z nekaj tipičnimi vrednostmi za x na intervalu med −2 in 2.



Po običajni označitvi enot, koordinatnih osi in pri vnesenih točkah iz tabele dobimo naslednjo sliko.

Pri tem pazimo, da obliko grafa v okolici točke O(0, 0) ravno prav lepo ukrivimo (ne preveč koničasto in ne preveč okroglo). Prav tako smo pozorni na to, da graf funkcije zapolni navidezni pravokotnik, ki ga določajo robovi koordinatnega sistema. Ob narisanem zgledu si velja zapomniti naslednje:

graf kvadratne funkcije f(x) = x2 imenujemo parabola in ga označimo z zapisom y = x2. Ekstremno (skrajno) točko grafa imenujemo teme parabole.

V prejšnjem zgledu ima parabola teme v točki O(0, 0). S parabolo se bomo srečali še kasneje (Stožnice), kjer si bomo ogledali tudi njeno geometrijsko definicijo, ki je bila – zgodovinsko gledano – uporabljena precej bolj zgodaj kot zgornja analitična definicija.

4. Pomen vodilnega koeficienta a
Ponovi
Spomni se, katero transformacijo grafa y = f(x) nam povzroči število k v predpisu y = k·f(x).
To je razteg grafa y = f(x) za faktor k glede na premico y = 0 vzdolž ordinatne osi.

Znanje o tem raztegu grafa bomo povezali s pomenom vodilnega koeficienta a v predpisu kvadratne funkcije y  = ax2.

Radovednejši lahko sami preiskujete obnašanje grafa kvadratne funkcije y = ax2 pri različnih vrednostih a v spodnjem Izzivu – za radovedne in s programom za risanje grafov, drugi pa lahko to preiskovanje preskočite in preidete kar k naslovu Pomen a, kjer so stvari že lepo pripravljene za čim lažje razmišljanje.

Izziv — za radovedne
S spodnjim programom nariši parabole y = x2, y = (1/2)x2, y = (1/3)x2, y = 3x2 in y = −x2.
Program za risanje grafov funkcij — za radovedne
Navodilo za risanje grafov: program zaženi s klikom na gumb Zaženi Risanje grafa, funkcijski predpis vnesi v polje ob oznaki f(x)= in ga potrdi z gumbom Nova funkcija. Program zapusti s klikom na gumb .
Poskusi odgovoriti — za radovedne

Premisli, kako vodilni koeficient vpliva na obliko grafa funkcije, in odgovori na vprašanja pod spodnjo konstrukcijo.

Poleg že narisanih grafov pri zgornji preiskavi ti lahko pomaga tudi spodnja konstrukcija z drsnikom, ki prikazuje spreminjanje oblike parabole v odvisnosti od vrednosti koeficienta a.

Pomen a
Navodilo: z miško premikaj drsnik in opazuj spreminjanje oblike parabole.
Vprašanja
S premikanjem drsnika odgovori na naslednja vprašanja.
1. Kakšne oblike je parabola, če je a > 0? Kje se tedaj nahaja teme glede na ostale točke parabole?

2. Kakšne oblike je parabola, če je a = 0?

3. Kakšne oblike je parabola, če je a < 0? Kje se tedaj nahaja teme glede na ostale točke parabole?

Ugotovitve lahko končno strnemo v naslednji sklep.

Vodilni koeficient a kvadratne funkcije f(x) = ax2 nam določa obliko in strmino njenega grafa, pri čemer velja:

(1) če je a > 0, je graf izbočen (v obliki črke U ali konveksen) in teme je najnižja točka parabole;

(2) če je a = 0, nimamo parabole, ampak premico y = 0;

(3) če je a < 0, je graf vbočen (narobe obrnjena črka U ali konkaven) in teme je najvišja točka parabole.

Velja tudi: večji kot je |a|, strmejši je graf funkcije.

5. Še nekaj zahtevnejših izzivov za radovedne
5. 1 Matematični izzivi

Navodilo: naslednje naloge reši najprej v zvezek, svoje rešitve pa preveri s spodnjim programom za risanje grafov funkcij.

1. V isti koordinatni sistem približno skiciraj grafe funkcij f(x) = −x2, g(x) = ax2, kjer je a < −1, in h(x) = ax2 , kjer je −1 < a < 0. Opiši vpliv vodilnega koeficienta na obliko grafa v zadnjih dveh primerih.

2. S transformacijami grafa funkcije f(x) = x2 nariši graf funkcije g(x) = −2x2 + 2.

3. Nariši graf funkcije f(x) = x−(x−1+(1−x)−1)−1 (ta zapis imenujemo enačba Hua) in ga primerjaj s parabolo y = x2. (Namig: zapis najprej poenostavi.)

Program za risanje grafov funkcij
5. 2 Prvi fizikalni izziv

Spomnimo se fizikalne enačbe, ki nam podaja zvezo med potjo in časom pri enakomerno pospešenem gibanju:

.

Zanjo je značilno, da čas t nastopa pod kvadratom, zaradi česar v splošnem še ne znamo reševati tovrstnih enačb, pri katerih bi iskali čas t kot neznano količino (poskusi izraziti t s svojim obstoječim znanjem). Imamo pa dovolj znanja, da lahko narišemo primer grafa te funkcije, ki nam podaja zvezo med časom t in potjo s: naj bo vo = 2 m/s in a = 2 m/s2. Po vstavljanju obeh podatkov v enačbo enakomerno pospešenega gibanja dobimo funkcijski predpis:

.

S pomočjo spodnjega programa nariši graf te funkcije (v programu nam spremenljivko t predstavlja spremenljivka x).

Program za risanje grafov funkcij
Premisli
Dobro si oglej dobljen graf.
1. Katera fizikalna količina je predstavljena na abscisni in katera na ordinatni osi?

2. Ali je za obravnavo pri fiziki smiselno gledati celoten graf? Utemelji.

3. Ali lahko iz oblike grafa sklepamo o tem, ali telo pospešuje ali zavira? Utemelji.

5. 3 Drugi fizikalni izziv — parabola pri poševnem metu

Tir gibanja telesa pri poševnem metu je parabola. Ta trditev velja seveda samo v vakuumu, kjer lahko zanemarimo zračni upor, v praksi pa je opis gibanja nekoliko bolj zapleten.

Spodnja konstrukcija prikazuje odvisnost tira gibanja telesa od velikosti začetne hitrosti vo in kota Φ, pod katerim telo vržemo ali pa izstrelimo. Pri fiziki lahko izpelješ enačbe, ki opisujejo gibanje telesa po paraboli in primerjaš izračunane vrednosti na sliki z vrednostmi, ki jih izračunaš po ustreznih formulah.

Z miškinim desnim gumbom primi točko na koncu vektorja začetne hitrosti in spreminjaj naklonski kot in velikost začetne hitrosti. Opazuj spreminjanje tira gibanja telesa. (Če animacijo po pomoti zaustaviš, jo ponovno zaženi s klikom miškinega gumba.)

Razišči
S pomočjo zgornje animacije odgovori na naslednja vprašanja.
1. Kolikšna morata biti začetna hitrost vo in naklonski kot Φ, da bomo telo vrgli vsaj 60 m daleč? Ali obstaja več možnosti?

2. Ali je tir gibanja telesa pri vseh možnih naklonskih kotih Φ vedno parabola?

3. Kako lahko zvečamo pri dani začetni hitrosti vo strmino parabole? Katera vrednost se zaradi tega najbolj spremeni (metna višina, metna razdalja ali čas letenja v zraku)?


4. Kakšno lego ima vektor začetne hitrosti vo glede na parabolo? V kakšni zvezi sta strmina parabole in naklonski kot vektorja začetne hitrosti vo?

Poglej še
dodatne naloge.