Kvadratna funkcija

Definicija kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ je definirana s predpisom $f(x)=ax^2+bx+c$.

Realna števila $a,b$ in $c$ imenujemo koeficienti. Število $a$, ki ni enako 0, imenujemo vodilni koeficient, število $c$ pa konstantni člen. Grafu kvadratne funkcije pravimo parabola.

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

PREMISLITE

S premikanjem vodilnega koeficienta ugotovite, kje leži graf za različne $a$.

Odgovor

S premikanjem konstantnega člena ugotovite, kje leži graf za različne $c$.

Odgovor

Zakaj v definiciji vodilni koeficient ne sme biti enak 0?

Odgovor

Koeficient a

Če sta $b$ in $c$ enaka nič, lahko funkcijo $f(x)$ zapišemo kot $f(x)=ax^2$. Tedaj leži za $a<0$ graf funkcije $f(x)$ pod abscisno osjo, za $a>0$ pa nad abscisno osjo.

Koeficient c

Graf kvadratne funkcije se v smeri osi $y$ vzporedno premakne za $c$. Če je $c>0$, se funkcija premakne v navzgor, če je $c<0$ pa navzdol.

Koeficient je 0

Če je vodilni koeficient enak 0, je graf kar linearna funkcija. Preizkusite sami.

Oblike zapisa kvadratne funkcije

Kvadratno funkcijo lahko zapišemo v treh oblikah:

  • SPLOŠNA OBLIKA
    $f(x)=ax^2+bx+c$
  • TEMENSKA OBLIKA
    $f(x)=a(x-p)^2+q$, kjer je teme parabole v točki $T(p,q)$.
  • NIČELNA OBLIKA
    $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, kjer sta $x_1$ in $x_2$ ničli kvadratne funkcije.

Presečišče parabole in njene simetrale imenujemo teme parabole $T(p,q)$, kjer sta

\[p=\frac{-b}{2a} \text{ in } q=\frac{-b^2+4ac}{4a}.\]

Funkcija v temenu doseže ekstremno vrednost. Če je $a>0$, doseže funkcija v temenu najmanjšo vrednost oziroma minimum, če je $a<0$ pa največjo vrednost oziroma maksimum.

PREMISLITE

Kako graf kvadratne funkcije $f(x)=ax^2$ vzporedno premaknemo, da bo teme v točki $T(p,q)$?

Odgovor

Zakaj se $x_{1}$ in $x_{2}$ v ničelni obliki kvadratne funkcije imenujeta ničli?

Odgovor

Teme

Če želimo kvadratno funkcijo $f(x)=ax^2$ s temenom v točki $(0,0)$ spremeniti tako, da bo imela teme v točki $T(p,q)$ jo moramo premakniti najprej za vektor $\vec{p}=(p,0)$ v vodoravni smeri ter za vektor $\vec{q}=(0,q)$ v navpični smeri. Tako dobimo funkcijo $g(x)=a(x-p)^2+q$, ki ima teme v točki $T(p,q)$.

(teme.png)
Premik funkcije $f(x)=x^2$ v funkcijo $g(x)=(x-2)^2+1$.

Ničli kvadratne funkcije

V ničelni obliki kvadratno funkcijo zapišemo kot $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, zato tedaj, ko je $x$ enak $x_{1}$ ali $x_{2}$, funkcija doseže vrednost 0. Povedano drugače, $f(x_{1})=0$ ter $f(x_{2})=0$, zato pravimo, da sta $x_{1}$ in $x_{2}$ ničli funkcije.

Pretvorbe iz splošne oblike

Če pretvarjamo kvadratno funkcijo iz splošne v temensko obliko, si nam ni potrebno zapomniti obrazca za izračun koordinat temena na pamet, ampak jo lahko izpeljemo. Poglejmo, kako to storimo za funkcijo $2x^2+6x-2.$

  1. izpostavimo vodilni koeficient
    $2x^2+6x-2=2(x^2+3x-1)$
  2. dopolnimo do popolnega kvadrata
    $2(x^2+3x-1)=2((x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-1)$
  3. poenostavimo
    $2((x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-1)= 2(x+\frac{3}{2})^2-\frac{13}{2}$

V ničelno obliko pretvorimo kvadratno enačbo tako, da ugotovimo ničli s pomočjo reševanja kvadratne enačbe, kar si bomo pogledali v nadaljevanju.

PREMISLITE

Kako iz temenske ali ničelne oblike kvadratne funkcije dobimo splošno obliko?

Odgovor

Splošna oblika

Iz temenske ali ničelne oblike kvadratne funkcije dobimo splošno obliko kar s poenostavitvijo izraza. Na primer:

  • iz temenske oblike: $\frac{1}{2}(x+2)^2-1=\frac{1}{2}(x^2+4x+4)-1=\frac{1}{2}x^2+2x+2-1=\frac{1}{2}x^2+2x+1$,
  • iz ničelne oblike: $(x-2)(x+3)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$.

Kvadratna enačba

Enačbo $ax^2+bx+c=0$ imenujemo kvadratna enačba. Rešitvi kvadratne enačbe lahko izračunamo na dva načina:

  • z Vietovima formulama:
    $ax^2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}),$ kjer sta $x_{1}$ in $x_{2}$ korena oziroma rešitvi enačbe.
    Zanju veljata Vietovi formuli

    \[ x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \text{ ter } x_{1}\cdot x_{2}= \frac{c}{a}.\]
  • z uporabo obrazca za reševanje kvadratne enačbe:
    Korena enačbe sta

    \[ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},\]

    kjer je $D=b^2-4ac$ diskriminanta.

Pomen diskriminante:

PREMISLITE

V čem se ničle razlikujejo od korenov?

Odgovor

Ali kvadratna enačba v primeru $D<0$ nima nobenih rešitev?

Odgovor

Ničle in koreni

Ničle so točke, v katerih ima kvadratna funkcija vrednost 0, koreni pa so rešitve kvadratne enačbe. Ko iščemo ničle funkcije $f(x)=ax^2+bx+c$, v resnici rešujemo enačbo $ax^2+bx+c=0$, zato so koreni te enačbe ravno ničle dane funkcije.

Primer:
Kvadratna funkcija $f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2$ ima eno dvojno ničlo $x=-1$, kvadratna enačba $x^2+2x+1=0$ pa ima dva enaka korena $x_{1,2}=-1$.

Zapri

Kompleksne rešitve kvadratne enačbe

Ko je diskriminanta manjša od nič, kvadratna enačba nima realnih rešitev, ima pa rešitvi v obsegu kompleksnih števil. Pravimo jima konjugirano kompleksni rešitvi in ju zapišemo kot

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm i \sqrt{-D}}{2a}.\]

Diskriminanta je večja od 0

Če ima kvadratna enačba $ax^2+bx+c=0$ diskiminanto $D=b^2-4ac$ večjo od 0, potem graf kvadratne funkcije $f(x)=ax^2+bx+c$ seka abscisno os v dveh različnih točkah (v korenih enačbe).

(dis11.png)
Graf kvadratne funkcije z $a>0$ ter $D>0$.
(dis12.png)
Graf kvadratne funkcije z $a<0$ ter $D>0$.

Diskriminanta je manjša od 0

Če ima kvadratna enačba $ax^2+bx+c=0$ diskiminanto $D=b^2-4ac$ manjšo od 0, potem graf kvadratne funkcije $f(x)=ax^2+bx+c$ ne seka abscisne osi.

(dis21.png)
Graf kvadratne funkcije z $a>0$ ter $D<0$.
(dis22.png)
Graf kvadratne funkcije z $a<0$ ter $D<0$.

Diskriminanta je enaka 0

Če ima kvadratna enačba $ax^2+bx+c=0$ diskiminanto $D=b^2-4ac$ enako 0, potem se graf kvadratne funkcije $f(x)=ax^2+bx+c$ dotika abscisne osi v eni točki (v korenu enačbe).

(dis31.png)
Graf kvadratne funkcije z $a>0$ ter $D=0$.
(dis32.png)
Graf kvadratne funkcije z $a<0$ ter $D=0$.

Zgledi reševanja kvadratnih enačb

1. zgled: Razstavimo izraz $x^2-5x+6=(x-x_{1})(x-x_{2})$.

  • Uporabimo Vietovi formuli: $x_{1}+x_{2} = 5$ in $x_{1}\cdot x_{2} = 6$.
  • Z ugibanjem dobimo rešitvi $x_{1}=2$ in $x_{2}=3$.
(zgled1.png)
Graf kvadratne funkcije $f(x)=x^2-5x+6$. Ničli sta ravno korena enačbe $x^2-5x+6=0$.

Zgledi reševanja kvadratnih enačb

2. zgled: Poiščimo realne rešitve enačbe $8y^4-2y^2-36=0$ z uporabo obrazca za reševanje kvadratne enačbe.

  • Uporabimo novo spremenljivko $x=y^2$. Tako dobimo enačbo $8x^2-2x-36=0$-
  • Enačbo lahko delimo z 2 ter dobimo $4x^2-x-18=0$.
  • Nato jo rešimo z uporabo diskriminante $D=b^2-4ac=1+288=289$.
  • Velja $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{1\pm 17}{8}$.
  • Ker je $D>0$, dobimo dve različni realni rešitvi:
    $x_{1}=\frac{9}{4}$
    $x_{2}=-2$
  • Upoštevamo $x=y^2$. To naredimo tako, da v enačbo $x=y^2$ vstavimo oba korena in izračunamo $y$.
  • $x_{1}=y^2 \Rightarrow y^2=\frac{9}{4} \Rightarrow y_{1,2}=\pm \frac{3}{2}$
  • $x_{2}=y^2 \Rightarrow y^2=-2 \Rightarrow$ Tak $y$ v realnem ne obstaja.
  • Realni rešitvi enačbe $8y^4-2y^2+36=0$ sta torej

    \[ y_{1}=\frac{3}{2} \text { in } y_{2}=-\frac{3}{2}.\]

Graf kvadratne funkcije

Graf kvadratne funkcije $f$ narišemo tako, da:

  • Poiščemo ničle funkcije $f$, tako da rešimo enačbo $f(x)=0$.
  • Izračunamo teme kvadratne funkcije, pri tem pa uporabimo znana obrazca za izračun temena $T(p,q)$.
  • Izračunamo $f(0)$. V vrednosti, ki jo dobimo, funkcija seka ordinatno os.
  • Če je vodilni koeficient pozitiven, je funkcija odprta navzgor, če pa je negativen, je funkcija odprta navzdol.

Prikaži zgled

PREMISLITE

Kaj storiti, če se ne spomnite obrazcev za izračun temena?

Odgovor

Zgled: Narišimo graf kvadratne funkcije $f(x)=x^2+3x+2$.

Prikaži graf

Graf funkcije

(zgled2.png)
Graf kvadratne funkcije $f(x)=x^2+3x+2$, ki ima ničli $x_1=-2$ in $x_2=-1$, teme v točki $T(-3/2,-1/4)$, ordinatno os pa seka v točki $A(0,2)$.

Načini izračuna temena

Če ne veste obrazca za izračun koordinat temena, si lahko pomagate na dva načina:

  • Funkcijo pretvorite v temensko obliko, koordinati temena $T(p,q)$ pa dobite iz temenske oblike enačbe kot $f(x)=a(x-p)^2+q$.
    Če ste pozabili postopek, se vrnite nazaj na razlago oblik zapisa kvadratne funkcije in ga ponovite.

    Ponovi

  • Upoštevate dejstvo, da je abscisa temena ravno aritmetična sredina ničel.

Zgled: Poiščimo teme kvadratne funkcije $f(x)=x^2+3x+2$ s pomočjo drugega postopka.
Funkcija $f$ ima ničli $x_1=-2$ in $x_2=-1$, zato je abscisa temena enaka $\frac{-2-1}{2}=-\frac{3}{2}$. Ordinata temena je tako $f(-\frac{3}{2})=(-\frac{3}{2})^2+3(-\frac{3}{2})+2=(-\frac{1}{4})$.

Kvadratna neenačba

Neenačba oblike $ax^2+bx+c \geq 0$ ali $ax^2+bx+c \leq 0$, kjer $a\neq 0$, je kvadratna neenačba. Neenačbo rešimo tako, da najprej poiščemo morebitne ničle kvadratne funkcije $f(x)=ax^2+bx+c$ ter določimo predznak vodilnega koeficienta $a$, da vemo, če je graf konveksen ali konkaven. Potem narišemo skico grafa in zapišemo interval ali unijo intervalov, na katerih je kvadratna funkcija pozitivna oziroma negativna.

Zgled: Preverite možne rešitve neenačbe $ax^2+bx+c \geq 0$ glede na vrednosti parametrov.

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

PREMISLITE

Kdaj je parabola konveksna in kdaj konkavna?

Odgovor

Kakšna je lahko množica rešitev kvadratne neenačbe? Od česa je odvisna?

Odgovor

Kaj pa storimo, če so neenakosti stroge, torej oblike $>$ oziroma $<$?

Odgovor

Konveksnost in konkavnost parabole

Parabola, s katero opišemo graf kvadratne funkcije, je konveksna natanko takrat, ko je $a>0$ in konkavna natanko takrat, ko je $a<0$.

Stroge neenakosti

Če so v kvadratnih neenačbah neenakosti stroge, ničel kvadratnih funkcij, ki ustrezajo neenačbam, ne upoštevamo v množici rešitev.

Množica rešitev kvadratne neenačbe

Možne rešitve neenačbe oblike $ax^2+bx+c \geq 0$ lahko opišemo glede na vrednost parametra $a$ ter diskriminante $D$ (ki je seveda odvisna od izbire $b$ in $c$). V spodnji tabeli lahko vidite vse možnosti.

D>0D=0D<0
a >0$(-\infty,x_{1}] \cup [x_{2},\infty) $$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$
a <0$[x_{1},x_{2}]$$x_{1}$$\emptyset$

Če rešujete neenačbo $ax^2+bx+c \leq 0$, pa je najlažje, če jo pomnožite z $-1$ ter gledate neenakost $-ax^2-bx-c \geq 0$.

Kvadratna neenačba - zgled

Poglejmo si zgled reševanja kvadratne neenačbe. Denimo, da moramo rešiti neenačbo $x^2-2x-3<0$.

  1. Najprej poiščemo korene enačbe $x^2-2x-3=0$. To lahko storimo s pomočjo Vietovih pravil in dobimo $x_{1}=3$ ter $x_{2}=-1$.
  2. Vodilni koeficient $a=1$, torej je večji od nič. Zato je funkcija $f(x)=x^2-2x-3$ konveksna, njen graf pa odprt navzgor.
  3. Narišemo skico funkcije.
  4. Ker mora biti v rešitvah vrednost $f(x)<0$, upoštevamo le tista števila, za katera je vrednost funkcije manjša od nič.
  5. Kot je razvidno iz skice, so to števila na odprtem intervalu $(-1,3)$.
(zgled_neenacba.png)
Skica kvadratne funkcije $f(x)=x^2-2x-3$ z označenim območjem rešitev.

Presečišče parabole in premice

Presečišče parabole in premice dobimo tako, da rešimo sistem dveh enačb. Tako dobimo eno enačbo, iz te enačbe pa koren/a. Z vstavljanjem korenov v eno izmed enačb izračunamo še drugo koordinato in tako dobimo presečišče/i.

Zgled: Poiščimo presečišča parabole $y=x^2-8x+10$ in premice $y=-4x+8$.

  1. Izenačimo enačbi parabole in premice ter dobimo $-4x+8=x^2-8x+10$.
  2. Rešimo enačbo $x^2-4x+2=0$.
  3. Diskriminanta je enaka $D=16-8=8$.
  4. Rešitvi sta $x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{8}}{2}=2\pm \sqrt{2}$:
    $x_{1}=2+\sqrt{2}$,
    $x_{2}=2-\sqrt{2}$.
  5. V enačbo premice (ali v enačbo parabole) vstavimo vrednosti $x_{1}$ in $x_{2}$:
    $y_{1}=-4(2+\sqrt{2})+8=-4\sqrt{2}$,
    $y_{2}=-4(2-\sqrt{2})+8=4\sqrt{2}$.
  6. Presečišči sta tako $A(2+\sqrt{2},-4\sqrt{2})$ ter $B(2-\sqrt{2},4\sqrt{2})$.

Grafični prikaz rešitve

(zgled_presecisca1.png)
Presečišči kvadratne funkcije $y=x^2-8x+10$ s premico $y=-4x+8$.

Presečišče dveh parabol

Presečišče dveh parabol dobimo tako, da rešimo sistem dveh enačb, s tem dobimo eno koordinato, drugo pa tako, da vstavimo koordinato v eno izmed parabol.

Zgled: Poiščimo presečišča parabol $x^2+x-3$ in $-x^2+3$.

  1. Izenačimo enačbi parabol $x^2+x-3=-x^2+3$.
  2. Rešimo enačbo $2x^2+x-6=0$.
  3. Diskriminanta je enaka $D=1+48=49$.
  4. Rešitvi sta $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{4}=\frac{-1\pm 7}{4}$:
    $x_{1}=\frac{3}{2}$,
    $x_{2}=-2$.
  5. V eno od enačb parabol vstavimo vrednosti $x_{1}$ in $x_{2}$:
    $y_{1}=-(\frac{3}{2})^2+3=\frac{3}{4}$,
    $y_{2}=-(-2)^2+3=-1$.
  6. Presečišči sta tako $A(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$ ter $B(-2,-1)$.

Grafični prikaz rešitve

(zgled_presecisca2.png)
Presečišči kvadratnih funkcij $y=x^2+x-3$ in $y=-x^2+3$.

Uporaba kvadratne neenačbe

Za katera števila velja: če kvadratu tega števila, zmanjšanemu za zmnožek tega števila s številom $11$ prištejemo $24$, dobimo manj od $0$?

Oglejmo si postopek reševanje dane naloge:

  1. Označimo iskano število z $x$. Potem je kvadrat tega števila enak $x^2$.
  2. To število zmanjšamo za število $11\cdot x$.
  3. Vsemu skupaj prištejemo še $24$.
  4. Ker mora biti vsota manjša od $0$, dobimo kvadratno neenačbo $x^2-11x+24 < 0$.
  5. Kvadratno enačbo rešimo in dobimo dve rešitvi, $x_{1} = 8$ in $x_{2} = 3$.
  6. Na skici grafa funkcije $f(x) = x^2-11x+24$ pogledamo, za katere $x$ so vrednosti manjše od $0$.
  7. Dobimo interval rešitev, $x \in (3,8)$.

Grafični prikaz rešitve

Poglejmo si, kdaj je $f(x) = x^2-11x+24<0$.

(uporaba1.png)
Graf funkcije $f(x) = x^2-11x+24$ ter območje, kjer so vrednosti $f(x)<0$.

Ekstremalni problem

Vsota katet pravokotnega trikotnika meri $18 cm$. Določi dolžini katet tako, da bo hipotenuza najmanjša.

Oglejmo si postopek reševanja dane naloge:

  1. Vsoto katet $a$ in $b$ lahko zapišemo z $a+b = 18$.
  2. Eno kateto izrazimo z drugo; npr. $b = 18-a$.
  3. Za pravokotni trikotnik velja $c^2 = a^2+b^2$.
  4. V enačbo namesto $b$ vstavimo $18-a$ in dobimo $c^2 = a^2+324-36a+a^2$.
  5. Ker želimo, da je hipotenuza $c$ najmanjša, moramo poiskati teme kvadratne enačbe na desni strani enakosti.
  6. Z dopolnitvijo do popolnega kvadrata dobimo $c^2 = 2(a-9)^2+162$.
  7. Hipotenuza je najkrajša, ko je $a = 9$ in posledično $b = 9$.

Grafični poizkus

Poskusite s premikanjem dolžine ene od katet poiskati najmanjšo možno vrednost hipotenuze.

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Geogebra datoteka

Kazalo
Info
difficulty
Splošna znanja
main_title
Kvadratna funkcija
author
Sodelavci NAUK
un_goals
Zapis kvadratne funkcije, risanje grafov kvadratne funkcije, reševanje kvadratne enačbe in neenačbe, branje matematičnega besedila ter prevod v kvadratno enačbo.
title
Kvadratna funkcija
Tools