V tem poglavju se bomo naučili, zakaj in kako uvedemo kotne funkcije ostrih kotov v pravokotnem trikotniku.
Ko pomislimo na pravokotni trikotnik, ga običajno povežemo s Pitagorovim izrekom. Ta nam povsem zadošča, če ostajamo pri računanju tretje stranice trikotnika iz dveh znanih stranic.
Kako pa bi ravnali, če bi poleg velikosti stranic želeli izračunati tudi velikosti trikotnikovih ostrih kotov? Kako nam bodo tu v pomoč znane trikotnikove stranice?
Z razmerji stranic pravokotnega trikotnika bomo vpeljali t. i. kotne funkcije.
Funkcija iz množice A v množico B je tako prirejanje, ki vsakemu elementu množice A priredi natanko en element množice B. Množico A imenujemo definicijsko območje ali domena, množico B pa kodomena.
Če množico A predstavljajo realna števila, ki merijo velikosti kotov, množica B pa je (pod)množica realnih števil, dobimo kotne funkcije.
Kotno funkcijo si lahko predstavljamo kot avtomat, v katerega namesto žetonov vlagamo velikosti kotov, ko pa pritisnemo na ustrezen gumb, nam avtomat vrne neko realno število. Če bi vanj vrgli kot 30° in pritisnili na tipko, na kateri piše sinus, bi iz avtomata padlo število ½.
Kaj pa pomenijo števila, ki jih kotom pripišejo kotne funkcije? Da bomo to bolje razumeli, ponovimo nekaj dejstev o lastnostih trikotnikov.
Dopolni naslednji tekst z manjkajočimi besedami
Vsota notranjih kotov poljubnega (pravokotnega) trikotnika znaša
JXUwMDY5JXUwMDA5JXUwMDA4
° . Ker meri pravi kot
JXUwMDYxJXUwMDA5
°, ostala dva ostra kota skupaj znašata
JXUwMDYxJXUwMDA5
° .Če poznamo velikost ostrega kota α, kot β izračunamo z izrazom 90°-α . Tako so vsi koti pravokotnega trikotnika določeni z izbiro enega ostrega kota. S tem je določena oblika, ne pa tudi velikost pravokotnega trikotnika. Vsi trikotniki, ki se ujemajo v velikostih svojih notranjih kotov, so si
JXUwMDI4JXUwMDFmJXUwMDBiJXUwMDBiJXUwMDBkJXUwMDBjJXUwMDA3
. Ena od lastnosti podobnih trikotnikov je, da se ujemajo v razmerjih istoležnih stranic, to je stranic, ki ležijo nasproti skladnih kotov.
Oglej si zgornjo skico in odgovori na vprašanja.
Koliko trikotnikov vidiš na sliki? Katere in kakšna lastnost jih odlikuje?
Na sliki so trije trikotniki: CFG, CDE in CAB, ki so si podobni, saj se zaradi vzporednih stranic ujemajo v velikosti kotov.
Kateri stranici sta istoležni stranici CF in kateri dve ED?
Istoležne stranice ležijo v podobnih trikotnikih nasproti enako velikih kotov. Zato je stranica CF istoležna s stranicama CD in CA, stranica ED pa s stranicama GF in BA.
Dano je razmerje stranic |CF|:|FG|:|GC|. Zapiši še dve razmerji istoležnih stranic v podobnih trikotnikih.
Za kotne funkcije bomo potrebovali razmerja dveh stranic. Razmerji |CG|:|GF| in |CA|:|CB| dopolni še z dvema razmerjema istoležnih stranic.
Iskani sorazmerji sta: |CG|:|GF|=|CE|:|ED|=|CB|:|AB| in |CA|:|CB|=|CD|:|CE|=|CF|:|CG|.
Naj povzamemo.
Ker so razmerja stranic v pravokotnem trikotniku odvisna le od izbire enega ostrega kota, prav ta razmerja okličemo za kotne funkcije ostrega kota na naslednji način:
kotu nasprotiležna kateta : hipotenuza = sinus kota (sin),
kotu priležna kateta : hipotenuza = kosinus kota (cos),
kotu nasprotiležna kateta : priležna kateta = tangens kota (tg),
kotu priležna kateta : nasprotiležna kateta = kotangens kota (ctg).
Prav ali narobe?
Opazuj zgornjo skico pravokotnega trikotnika in ugotovi (ne)pravilnost naslednjih izjav.
sin=
Pravilno
Nepravilno
Pravilno.
Nepravilno.
tg=
Pravilno
Nepravilno
Nepravilno.
Pravilno.
cos=
Pravilno
Nepravilno
Pravilno.
Nepravilno.
ctg=
Pravilno
Nepravilno
Nepravilno.
Pravilno.
Kotne funkcije posebnih parov kotov
Naj bo dan pravokotni trikotnik s stranicami e, f in g, kot kaže zgornja skica.
Z ulomki zapiši izraze za vse štiri kotne funkcije kotov α oziroma β. Opazuj dobljene izraze.
sinα = f/e
cosα = g/e
tgα = f/g
ctgα = g/f
sinβ = g/e
cosβ = f/e
tgβ = g/f
ctgβ = f/g
Najdeš med kotnimi funkcijami kotov α in β kakšno povezavo? Koliko merita α in β skupaj? Kako imenujemo taka dva kota?
Opazimo, da velja:
sinα = cosβ,
cosα = sinβ,
tgα = ctgβ in
ctgα = tgβ.
α in β merita skupaj 90°. Taka dva kota imenujemo komplementarna kota.
Če je dan oster kot α, njegov komplementarni kot izračunamo z izrazom 90° – α.
Ugotovitve iz zadnje naloge lahko posplošimo:
sinα = cos(90°–α),
cosα = sin(90°–α),
tgα = ctg(90°–α) in
ctgα = tg(90°–α).
Vrednosti kotnih funkcij kota 30° bodo obenem tudi vrednosti kotnih funkcij kota 60°, vrednosti kotnih funkcij kota 50° bodo iste kot pri kotu 40° in podobno, če jih bomo zamenjali v skladu z zgoraj zapisanimi pravili.
Sedaj pa rešimo še nekaj preprostih nalog.
Naloga 1
Imejmo običajno označen pravokotni trikotnik. Kaj lahko povemo o razmerju stranic a:c, če je sinα = 2/5?
Ker sinus kota pove razmerje med kotu nasprotiležno kateto in hipotenuzo, torej a:c, lahko rečemo, da je a:c = 2:5.
Naloga 2
Kaj lahko povemo o razmerju stranic c:b v pravokotnem trikotniku, v katerem je cosα = 1/4?
Ker kosinus kota opisuje razmerje priležne katete in hipotenuze, nas pa v danem primeru zanima ravno obratno razmerje, velja, da je c:b = 4:1.
Naloga 3
Izračunaj ostali dve stranici pravokotnega trikotnika, če veš, da je c = 10 cm, sinα = 1/2. Dolžino stranice b delno koreni.
Ker je sinα = a/c=1/2, je a = c·1/2 = 10·1/2 = 5. Za b uporabimo Pitagorov izrek: .
Ker je v pravokotnem trikotniku razmerje stranic določeno z izbiro enega samega ostrega kota, lahko sklepamo tudi obratno: iz znanega razmerja stranic lahko povemo, kateri ostri kot je v pravokotnem trikotniku zagotovo nastopal. Včasih bomo velikost kota iz razmerja znali ugotoviti kar na pamet, v večini primerov pa si bomo morali pomagati s kalkulatorjem. Tipične vrednosti kotnih funkcij nekaterih ostrih kotov in zveze med kotnimi funkcijami pa bodo tema naslednje enote.
Ker le vaja dela mojstra, sam reši še nekaj pripravljenih primerov v dodatnih nalogah.