Potenčna funkcija
Zanimale nas bodo funkcije oblike f(x)=xn, kjer bo n iz množice celih števil.
Obravnavali bomo dve družini; pri prvi bo eksponent iz množice naravnih števil in pri drugi iz množice negativnih celih števil. Spoznali bomo nekaj novih pojmov, kot so poli in asimptote funkcij.
. Če dobro razmisliš, ugotoviš, da dve potenčni funkciji že poznaš. Kateri? Znanje bomo razširili na poljubne cele eksponente.
Ker bomo imeli (po imenu sodeč) kar precej dela s potencami, je dobro ponoviti pravila za računanje s potencami.
. Glede na kaj bi jih razdelili?
Naj bo n=2. Kaj je v tem primeru definicijsko območje in kaj zaloga vrednosti?
Primerjaj svoj odgovor za n=4 oziroma n=6.
Pri katerih vrednostih spremenljivke x dosežejo vse potenčne funkcije s sodim eksponentom isto vrednost?
Kaj pa opaziš pri vrednosti funkcije za pozitivne oziroma za negativne x?
Ali imajo inverzno funkcijo?
Kaj se dogaja z obliko grafa v okolici ničle oziroma za velike x, kadar eksponent postaja vse večji?
Lastnosti potenčnih funkcij f(x)=xn z naravnim sodim eksponentom:
- definicijsko območje so vsa realna števila, zaloga vrednosti pa nenegativna realna števila;
- grafi potekajo skozi tri skupne točke A(1,1), B(-1,1) in O(0,0);
- imajo eno ničlo pri x=0:
- so padajoče za x<0 in naraščajoče za x>0;
- so navzdol omejene;
- grafi so zrcalni glede na ordinatno os; torej so funkcije sode;
- niso bijektivne.
Grafi potenčnih funkcij z naravnim sodim eksponentom
Skozi katere skupne točke potekajo grafi potenčnih funkcij z lihim eksponentom?
Ali so te funkcije realne funkcije?
Ali obstajata točki na grafu, ki imata enaki funkcijski vrednosti? Kaj lahko sklepaš?
Kaj lahko rečemo o legi grafa v I. kvadrantu glede na graf v III. kvadrantu? Katero lastnost imajo take funkcije?
V čem se razlikujejo grafi funkcij, ko večamo lihi eksponent?
Poglej si na sliki spodaj grafe različnih potenčnih funkcij in si preberi povzetek vseh lastnosti potenčnih funkcij z naravnim lihim eksponentom.
Grafi potenčnih funkcij z naravnim lihim eksponentom
Potenčne funkcije f(x)=xn z lihim naravnim eksponentom:
-
;
- grafi potekajo skozi tri skupne točke A(1, 1), B(–1, –1) in O(0, 0);
- imajo eno ničlo pri x=0;
- so povsod naraščajoče;
- neomejene;
- lihe; grafi so zrcalni glede na koordinatno izhodišče;
- bijektivne.
Postal si že pravi mojster za potenčne funkcije. Sedaj boš svoje znanje razširil na potenčne funkcije f(x)=xn z negativnim celim eksponentom, kjer je
.
Podobno kot zgoraj lahko na sliki spodaj spreminjaš vrednost eksponenta. Ob tem se ti izrisuje ustrezen graf potenčne funkcije.
Kaj se dogaja z grafi funkcij v bližini koordinatnega izhodišča? Zakaj?
Vidimo, da se grafi funkcij v okolici koordinatnega izhodišča zelo strmo dvigajo in približujejo k ordinatni osi, ki je nikoli ne dosežejo. Pravimo, da imajo funkcije pri x=0 pol, ker tam niso definirane.
Opazuj, kaj se dogaja z vrednostmi funkcij, daleč oddaljenih stran od koordinatnega izhodišča.
Pri naravnih eksponentih smo ugotovili, da imamo dve skupini potečnih funkcij v odvisnosti od eksponenta. Ali kaj podobnega velja tudi tukaj?
Opazuj grafe funkcij z negativnim sodim eksponentom. Katere skupne lastnosti opaziš?
V katerih lastnostih se razlikujejo grafi potenčnih funkcij z negativnim sodim eksponentom od tistih z lihim eksponentom?
Da boš imel boljši pregled nad svojim pridobljenim znanjem o potenčnih funkcijah z negativnim celim eksponentom, si še enkrat preberi njihove lastnosti in oglej grafe posameznih funkcij.
Lastnosti funkcij z negativnim sodim eksponentom:
-
;
- grafi potekajo skozi dve skupni točki A(1, 1) in B(–1, 1);
- imajo pol pri x=0 (os y je navpična asimptota);
- os x je vodoravna asimptota;
- so navzdol omejene;
- nimajo ničel;
- so padajoče za x>0 in naraščajoče za x<0;
- so sode funkcije;
- niso bijektivne.
Grafi potenčnih funkcij z negativnim sodim eksponentom
Lastnosti potenčnih funkcij z negativnim lihim eksponentom:
-
;
- grafi potekajo skozi dve skupni točki A(1, 1) in C(–1, –1);
- imajo pol pri x=0;
- os x je vodoravna asimptota, ki je nikjer ne sekajo;
- so povsod padajoče;
- so neomejene;
- grafi so zrcalni glede na koordinatno izhodišče; torej so funkcije lihe;
- so bijektivne.
Grafi potenčnih funkcij z negativnim lihim eksponentom
Zapiši predpis potenčne funkcije f, ki poteka skozi točko A(–2, 1/16).
V kateri točki se seka graf dobljene funkcije z grafom funkcije g(x)=x3?
Za katere vrednosti x je graf funkcije f nad grafom funkcije h(x)=x2?
Kaj pa za funkcijo j(x)=x–6?
Nariši grafe funkcije f(x), g(x), h(x) in j(x) v isti koordinatni sistem.
. 





.
. Ulomki niso definirani, kadar je imenovalec enak 0. Imanovalec je vse manjši (vse bliže 0), torej je njegova obratna vrednost vse večja.
. Torej se grafi daleč od izhodišča približujejo abscisni osi in je nikoli ne dosežejo. Pravimo, da je abscisna os asimptota teh funkcij.