Vzporedno, pravokotno

Ugotovili bomo v kakšni medsebojni legi sta lahko dve premici. Razmišljali pa bomo tudi o kotih z vzporednimi kraki.
Začnimo naše razmišljanje z Evklidovim aksiomom. Omenili smo že, da je aksiom temeljna resnica, ki je ne dokazujemo, ampak jo privzamemo kot veljavno hipotezo.
Skozi izbrano točko, ki ne leži na premici, lahko tej premici narišemo natanko eno vzporednico.

Evklid je grški matematik, rojen približno 365 pr. n.št, umrl je leta 275 pr. n. št v Aleksandriji. Ukvarjal se je z geometrijo in teorijo števil. Napisal je knjigo Elementi, v kateri je povzel tedanje znanje o geometriji. V knjigi je tudi znani Pitagorov izrek. Knjiga je bila učbenik za geomtrijo skoraj 2000 let. Še danes se v srednji šoli učimo njegovo posodobljeno geometrijo v ravnini.

Vzporednica premici skozi točko
Evklidovo trditev si lahko predstaviš s pomočjo spodnje slike. Na njej imamo premico p in točko A, ki ne leži na premici. Skozi točko A lahko premici p narišemo natanko eno vzporednico. Vzporednica se bo izrisala, če boš vlekel točko na modrem drsniku.

Razmislimo o medsebojni legi dveh premic v ravnini. V kašnem medsebojnem odnosu sta lahko?

Imamo več možnosti:

  • premici nimata nobene skupne točke - tedaj sta vzporedni
  • premici imata eno skupno točko - tedaj se sekata v tej točki
  • premici imata dve skupni točki - tedaj premici nista več različni, ampak se prekrivata . Vemo, da lahko skozi dve točki potegnemo natanko eno premico. Če imata dve premici dve skupni točki, gre za identični premici.

Vzporednost ima vse lastnosti ekvivalenčne relacije:

1. refleksivnost : Vsaka premica je vzporedna sama sebi ali p||p

2. simetričnost: Če je premica p vzporedna premici q, je tudi premica q vzporedna premici p ali če je p||q je q||p

3. tranzitivnost: če je premica p vzporedna premici q, premica q pa premici r, potem je premica p vzporedna premici r ali :če je p||q in q||r, velja p||r

Koti z vzporednimi kraki

Na sliki imamo vzporedni premici p1 in p2 in premico q, ki seka obe premici. Vidimo tudi osem kotov. Razmislimo ali so koti medseboj kako povezani?

Opazuj sliko in dopolni
Kota α in β sta kota. Kota γ in γ´ sta .
  

Lahko pa opazimo še naslednje:

1. pari kotov (α,γ) , (β,δ), (α', γ') ,( β',δ') imajo oba kraka vzporedna v isto smer

2. pari kotov (α,β) , (γ,δ), (α', β') ,( γ',δ') imajo oba kraka vzporedna v nasprotno smer

3. pari kotov (α,α') , (β,β'), (γ, γ') ,( δ,δ') imajo en krak vzopreden v isto smer, drugega  v nasprotno smer

Izrišimo si vse tri situacije

Kota z vzporednimi kraki v isto smer sta skladna. 

Kota z vzporednimi kraki v nasprotno smer sta skladna.

Kota, ki imata en krak vzporeden v isto, en pa v nasprotno smer sta suplementarna.

Konveksna kota z vzporednimi kraki sta skladna ali suplementarna.
Preveri
Zgornjo trditev preveri s pomočjo slike. Premikaj točko na zelenem drsniku. Kot β se popolnoma prekrije s kotom α, torej sta skladna. Iz slike že lahko razbereš, da je kot γ suplementaren kotu β. Če pa premikaš točko na modrem drsniku, lahko ugotoviš, da je kot γ suplementaren tudi kotu α.
Na sliki sta dve vzporedni premici (p in q) in dve premici, ki ju sekata. Označeni sta  velikosti dveh kotov. Izračunaj velikost kota α.

[Naloga o kotih z vzporednimi kraki]
Izračunaj in odgovori
Velikost kota α je:
       
90°
100°
110°
Ikona poučevalne enote Naloga
Prikaži a sliko
a
Prikaži b sliko
b
Prikaži c sliko
c
Prikaži d sliko
d
Odgovori
Na sliki so štirje pari kotov z vzporednimi kraki. Vsak par je označen s črko. Kateri pari predstavljajo skladne kote, kateri pa suplementarne?
  
Skladna sta kota pod a in b, suplementarna pa pod c in d.
Skladna sta kota pod točkami a, b in d, suplementarna pa pod točko c
Reši nalogo

Na sliki poteka animacija konstrukcije. V trikotniku ABC smo narisali razpolovišče daljice AC. Nato smo skozi razpolovišče narisali vzporednico nosilki daljice AB in nosilki daljice BC.

Animacijo lahko ustaviš s klikom.

Opazuj in dopolni
Kaj lahko povemo o trikotnikih AKS in SLC?
Kota KAS in LSC imata krake v smeri, torej sta skladna . Kota ASK in SCL imata vzporedne krake v isti smeri, torej sta . Ker je S razpolovišče daljice AC, sta daljici AS in SC
  

Odgovori
Kaj pa trikotnika AKS in SLC?
       
Trikotnika sta skladna
Trikotnika sta podobna, nista pa skladna
O trikotnikih ne moremo povedati ničesar.
Preizkusi

Na spodnji sliki je narisan podoben trikotnik kot pri prejšnjem primeru. Na novi sliki sta dodani razpolovišči stranic AB (označeno s K) in BC (označeno z L), nato pa so potegnjene skozi razpolovišča vzporednice nosilkam stranic. Ugotovil si, da sta trikotnika AKS in SLC skladna.

S premikanjem preskusnega trikotnika (na sliki je obarvan rjavo) preveri, da smo dobili štiri skladne trikotnike. Trikotnik premikaš tako, da vlečeš točki D (na vodoravnem) in E na navpišnem drsniku. Trikotnik lahko po potrebi tudi obrneš, s pomočjo premikanja točke h na drsniku "obrat":

Daljica, ki povezuje razpolovišči dveh stranic trikotnika je srednjica trikotnika
Razmisli
Kaj lahko povemo o srednjici trikotnika?
       
Srednjica je vzporedna tretji stranici.
Dolžina srednjice je tretjina osnovnice.
Srednjica je vzporedna tretji stranici, njena dolžina je polovična dolžina osnovnice.
Pravokotnost
Pravokotnica je premica, ki dano premico seka pod pravim kotom.
Imejmo v ravnini eno premico in točko, ki ne leži na dani premici. Koliko pravokotnic dani premici lahko narišemo skozi dano točko?

[Pravokotnica na premico p skozi točko A]
V ravnini je na dano premico skozi izbrano točko mogoče narisati samo eno pravokotnico.
Razmislimo zakaj to drži. Denimo, da bi  premici skozi izbrano točko lahko narisali dve pravokotnici, poimenujmo ju n1 in n2. Ker obe sekata premico pod pravim kotom, sta tudi sokota obeh kotov prava kota. Vendar leži poltrak premice n2 v notranjosti sokota pravega kota. To je protislovje, saj sta oba kota prava in tako enaka. Ker smo prišli do protislovja, prvotna predpostavka ne drži.
Konstrukcija pravokotnice

Sedaj, ko vemo, da je v ravnini skozi izbrano točko mogoče narisati samo eno pravokotnico, jo lahko tudi konstruiramo z ravnilom in šestilom. Oglejmo si konstrukcijo skozi prekinitvene točke.

Najprej potegnemo krožni lok s središčem v točki A, tako da seka premico p. S tem določimo točki C in D. Nato narišemo še dva krožna loka, enega s središčem v C, enega pa s središčem v D. Kjer se sekata dobimo točko B. Skozi točki A in B lahko potegnemo natanko eno premico.

Koti s pravokotnimi kraki

Prej smo pogledali v kakšni medsebojni povezavi sta kota, ki imata vzporedne krake.Ali lahko ugotovimo povezavo med koti s pravokotnimi kraki.

Opazuj sliko. 

Dopolni
Preberi spodnje odstavke in jih dopolni
Opazuj trikotnika ABC in CDE. Notranji kot trikotnika ABC ob oglišču B je kot, saj smo želeli imeti kota s pravokotnimi kraki. Tudi notranji kot trikotnika CDE ob oglišču D je , saj smo tako narisli kota. Oba notranja kota ob oglišču C sta prav tako enaka, saj sta . Ker imata trikotnika enaka dva kota, sta kota α in β tudi . Kota s pravokotnimi kraki na naši sliki sta .
  

Lahko pa imamo tudi drugačna kota s pravokotnimi kraki. Opazuj sliko.

Iz velikosti kotov na sliki, lahko ugotoviš, da sta kota suplementarna.

Kota s pravokotnimi kraki sta skladna (če sta oba kota ostra ali oba topa) ali suplementarna (če je eden izmed kotov oster, drugi pa top).
Točko T lahko pravokotno projiciramo na premico p.

Rečemo, da je točka T' pravokotna projekcija točke T na premico p, če leži na presečiščiu premice p in pravokotnice na premico p skozi točko T.

Razdalja točke T od premice p je dolžina daljice TT', kjer je T' pravokotna projekcija točke T na premico p.

Pravokotna projekcija daljice AB na premico p je daljica A'B', katere točke so pravokotne projekcije točk daljice AB.

Pravokotna projekcija daljice na premico
Na spodnji animaciji lahko pogledamo, kako narišemo pravokotno projekcijo daljice na premico.
Preizkusi se
Kakšna sta kota z vzporednimi kraki?

Skladna
Suplementarna
Skladna ali suplementarna
Nič od naštetega
Kaj je srednjica trikotnika?

Daljica, ki povezuje razpolovišči dveh stranic trikotnika.
Daljica, ki je pravokotna na eno izmed stranic trikotnika, drugo krajišče ima pa v nasprotnem oglišču trikotnika.
Daljica, ki povezuje oglišče trikotnika z razpoloviščem nasprotne stranice.
Kako izračunamo razdaljo točke T od premice p?

Na premici p si izberemo neko poljubno točko, narišemo daljico od točke T do te točke in jo izmerimo.

Narišemo pravokotno projekcijo točke T na premico p in jo označimo denimo z A. Izmerimo dolžino daljice AT.

Koliko pravokotnih projekcij daljice na premico obstaja?

Natanko ena.
Vsaj ena.
Vsaj dve.
Domača naloga
Še nekaj vaj