Linearna kombinacija vektorjev in baza

V tem poglavju se bomo naučili, kdaj so vektorji "neodvisni" drug od drugega. Včasih taki vektorji tvorijo bazo – osnovo vektorskega prostora.
Kombinirajmo vektorje!

Za mnoge od vas je pojem kombiniranja tesno povezan z oblačili in modnimi dodatki: k prvemu še malo drugega, pa tretjega ...

Tudi vektorje (linearno) kombiniramo tako, da vzamemo malo prvega vektorja, dodamo še malo drugega, pa tretjega itd. To dosežemo tako, da vektorje pomnožimo s primernimi skalarji in nato vse take zmnožke seštejemo. Primer takega zapisa je , ki predstavlja linearno kombinacijo vektorjev , in .

Linearna kombinacija treh vektorjev
Animacija prikazuje nastanek linearne kombinacije . Vektorje , in dobimo z množenjem vektorjev , in z ustreznimi števili, nato pa jih nanizamo enega za drugim.

Linearna kombinacija vektorjev je na splošno izraz oblike

,

kjer so realna števila (skalarji), n pa je naravno število.

Zapišimo še nekaj primerov linearnih kombinacij vektorjev:

, , in podobno.

Linearno kombinacijo si najlažje predstavljamo kot verigo, v kateri so vektorji nanizani drug za drugim.

Če je vrednost take linearne kombinacije vektor , je veriga vektorjev sklenjena.

Linearna kombinacija vektorjev z vrednostjo 0
Interaktivno besedilo I

Vrednosti skalarjev k lahko ocenimo na podlagi tega, ali gre za podaljšanje ali skrajšanje vektorja in glede na to, ali se usmerjenost vektorja pri tem spremeni ali ohrani (glej poglavje o množenju vektorja s skalarjem).

V tem primeru lahko rečemo naslednje: .

Kdaj so vektorji med seboj (ne)odvisni ?
Povejmo najprej preprosto: vektorji so linearno odvisni, če lahko vsaj enega od njih izrazimo s preostalimi. Če na primer vemo, da je , nam je vektor očitno uspelo izraziti z vektorjema in , zato so vektorji , in med seboj linearno odvisni.

Vektorji so linearno odvisni, če lahko vsaj enega izmed njih izrazimo z linearno kombinacijo vseh drugih, npr.:

oziroma

.

Pomembno je opaziti, da smo zapisali linearno kombinacijo z vrednostjo , v kateri je vsaj en koeficient (vsaj tisti pred ) zagotovo neničelno število.
Interaktivno besedilo I

Vektorji so linearno odvisni, če velja:

in je

ali ali ...ali .

Zapisano lahko povemo takole: vektorji so linearno odvisni, če obstaja njihova linearna kombinacija z vrednostjo , v kateri je vsaj eden od skalarjev različen od 0. V tem primeru lahko z neničelnim skalarjem izraz delimo in s tem vektor izrazimo z vsemi drugimi kot:

.

Interaktivno besedilo I

Vektorji so linearno neodvisni, če nobenega izmed njih ne moremo izraziti z drugimi.

V tem primeru velja: in .

Razmisli še o naslednjem:
Interaktivno besedilo I
Vektorja in sta linearno odvisna, če lahko vsaj enega od njiju izrazimo z drugim, npr. .
Interaktivno besedilo I
Če lahko vektor z vektorjem izrazimo kot , sta vektorja  in  vzporedna, saj množenje vektorja s skalarjem smer vektorja ohrani.
Pari linearno odvisnih vektorjev
Spodnja animacija prikazuje tri pare vektorjev. Vsaka dva vektorja enake barve sta linearno odvisna, saj sta vzporedna. Spomnimo se, da je ničelni vektor vzporeden vsakemu drugemu vektorju.
Povzemimo.
Dva vektorja sta linearno odvisna takrat, ko sta vzporedna (kolinearna).
Interaktivno besedilo I
Takrat, ko lahko enega izrazimo z drugima dvema, npr. .
Interaktivno besedilo I
Če lahko enega od vektorjev izrazimo z drugima dvema, vektorji zagotovo ležijo v isti ravnini (so komplanarni).
Izražanje vektorja v dani bazi
Z miško primi končno točko zelenega vektorja in jo premikaj. Opazuj, kako se spreminja izražanje vektorja z vektorjema in . Bodi pozoren na predznake obeh členov.
Povzemimo.
Trije vektorji so linearno odvisni takrat, ko ležijo v isti ravnini (so komplanarni).
Razmisli še o tem:
Interaktivno besedilo I
Takrat, ko nista vzporedna.
Interaktivno besedilo I
Ko ne ležijo v isti ravnini.
Interaktivno besedilo I
Največ dva. Tretjega se že da vedno izraziti s prvima dvema.
Interaktivno besedilo I
Največ trije. Četrtega lahko vedno izrazimo s prvimi tremi.
Interaktivno besedilo I
Trije vektorji v ravnini so vedno odvisni. 
Interaktivno besedilo I
Vedno odvisni, saj so v prostoru lahko največ trije vektorji neodvisni.
Interaktivno besedilo I
Taka množica je vedno linearno odvisna, saj se da vektor , če že ne drugače, z vsemi drugimi vektorji izraziti kot: , poleg tega pa je skalar 1 pred res neničelno število, kar je nujno za ugotavljanje linearne odvisnosti vektorjev.
In zdaj k bazi ...
Kar dolgo pot smo morali prehoditi, da znamo dovolj za to, da razložimo bazo vektorskega prostora. Najprej povejmo preprosto:
Baza vektorskega prostora je taka linearno neodvisna množica vektorjev, s katerimi lahko izrazimo vse vektorje tega prostora, in to vsakega na en sam način.
Razmisli:
Interaktivno besedilo I

Število vektorjev v bazi je določeno z največjim možnim številom neodvisnih vektorjev, se pravi:

na premici zadošča en sam vektor,

na ravnini potrebujemo dva, ki nista vzporedna,

v prostoru pa tri, ki ne ležijo v isti ravnini.

Baza premice, ravnine in prostora
Interaktivno besedilo I

Vektorji tvorijo bazo n-dimenzionalnega vektorskega prostora P, če velja:

 

 

in za vsak , tako da je .

Razlaga: prva implikacija opisuje linearno neodvisnost baznih vektorjev, zadnja vrstica pa enoličnost izražanja poljubnega vektorja v dani bazi. Znak beremo "obstaja natanko en".

Interaktivno besedilo I

Trditev bomo dokazali tako, da bomo v začetku predpostavili nasprotno: recimo, da obstajata vsaj dva različna načina, s katerima izrazimo neki vektor v dani bazi, se pravi:

.

Če vektor opustimo, prenesemo vse člene na levo stran enakosti in izpostavimo posamezne bazne vektorje, dobimo izraz:

.

Dobili smo linearno kombinacijo neodvisnih vektorjev, ki ima vrednost , iz česar sledi, da so vsi skalarji pred posameznimi baznimi vektorji 0 (poglej definicijo linearno neodvisnih vektorjev). Naposled ugotovimo, da je , kar pa pomeni, da sta oba načina izražanja vektorja enaka in ne obstajata dva ali še več različnih zapisov vektorja v izbrani bazi.

Ortonormirana baza
Besedo "orto" prav gotovo poznaš iz kake reklame. Pomeni "pravo" izbiro.

Ortogonalno bazo tvorijo vektorji, ki so drug na drugega ortogonalni, kar pomeni pravokotni.

Normirano bazo tvorijo vektorji, ki so normirani oziroma enotski (glej uvodno poglavje o vektorjih), ki torej merijo po 1 enoto.

Interaktivno besedilo I
Ortonormirano bazo tvorijo vektorji, ki so drug na drugega pravokotni in merijo po eno enoto.
Baza je ortonormirana, če jo sestavljajo drug na drugega pravokotni, enotski vektorji.
Interaktivno besedilo I
Če si bomo ortonormirano bazo izbrali na oseh koordinatnega sistema, bomo ortonormirane krajevne vektorje na oseh x, y in z po vrsti označili z , in s . Teh imen za druge, splošne vektorje, običajno ne uporabljamo.
Ortonormirana baza prostora
In še k nalogi ...

Določi skalarja m in n tako, da bo

, če veš, da sta in bazna vektorja.

Rešitev

Ker sta in bazna vektorja, sta zagotovo linearno neodvisna. Izraz preoblikujmo v njuno linearno kombinacijo: .

Zaradi linearne neodvisnosti morata biti oba izraza v oklepajih enaka 0. S tem dobimo preprost sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama, se pravi:

in .

Ko ga rešimo po zamenjalnem načinu ali načinu nasprotnih koeficientov, dobimo in .

Še več nalog, s katerimi boš utrdil razumevanje novih pojmov, pa te, kot vedno, čaka tukaj: