Baza v ravnini
Če smo do zdaj želeli vektorje seštevati, odštevati ali množiti s skalarjem in si jih ob tem tudi predstavljati, smo to lahko opravili le tako, da smo vektorje narisali in tudi rezultat predstavili grafično.
Zdaj pa bi vektorje radi predstavili s števili, iz katerih bi bile razvidne vse tri lastnosti vektorjev: smer, usmerjenost in dolžina.
Kako bomo to dosegli?
V pravokotnem koordinatnem sistemu v ravnini bomo narisali krajevni vektor in ga izrazili v ortonormirani bazi. Tako bomo dobili dve števili, ki bosta vektor točno določali in ju bomo imenovali komponenti vektorja.
Ampak lepo po vrsti! V prejšnjem odstavku smo natresli kar nekaj zelo pomembnih pojmov, brez katerih se skozi to poglavje ne boš mogel prebiti. Zato obnovi znanje potrebnih osnov tako, da boš dopolnil besedilo, ki sledi. Lahko si pomagaš tudi s spodnjo sliko.
koordinatni sistem v ravnini zgradimo s pomočjo dveh med sabo pravokotnih premic. Njuno presečišče imenujemo koordinatno
. Ko na vsaki od premic izberemo dolžino, ki predstavlja enoto (sliko števila
), premici postaneta realni številski
. Vodoravno os imenujemo os x ali
os, navpično os pa os y ali
os. Obe osi razdelita koordinatni sistem na štiri območja, ki se imenujejo
. Prvi kvadrant je tisti, v katerem sta obe koordinati točk
, drugi, tretji in četrti kvadrant pa si sledijo v smeri, ki je nasprotna vrtenju urinega kazalca.
Zdaj je vsaka točka na premicah slika točno določenega realnega in obratno: vsako realno število ima tako na osi x kot tudi na osi y točno določeno .
Ko poljubno točko T iz ravnine pravokotno projiciramo na koordinatni osi, na vsaki posebej naletimo na sliko nekega števila. Število na osi x je x ali abscisa točke T, število na osi y pa je koordinata y ali točke T.
Tako prav vsaki točki T iz ravnine priredimo točno določen urejen
števil, to sta koordinati točke T, kar zapišemo kot T(xT, yT). Velja tudi obratno: vsak urejen par števil določa samo eno
ravnine.
|
Vsak vektor, ki vodi do točke T. | |
|
Vsak vektor, ki se začne v točki T. | |
|
Vsak vektor, ki se začne v koordinatnem izhodišču. | |
|
Vektor, ki poteka od izhodišča do točke T. |
|
To je množica vektorjev, ki so drug na drugega pravokotni in merijo eno enoto. | |
|
To je množica linearno neodvisnih vektorjev, s katerimi lahko izrazimo vse ostale vektorje prostora. | |
|
To je množica vektorjev, ki so drug na drugega pravokotni, merijo eno enoto in z njimi lahko izrazimo vse ostale vektorje prostora. |
Upam, da si se pri nalogah dobro odrezal.
Še enkrat poudarimo, da je krajevni vektor točke T le tisti vektor, ki vodi do točke T, začne pa se v koordinatnem izhodišču. Zato lahko o krajevnih vektorjih govorimo le, če imamo koordinatni sistem.
Čeprav do vsake točke vodi neskončno mnogo različnih vektorjev, vodi do vsake le en sam krajevni vektor, kar lahko vidiš na spodnji sliki.
Zato lahko rečemo, da je točka s svojim krajevnim vektorjem točno določena in obratno: če poznamo točko, poznamo tudi njen krajevni vektor.
Če potrebujemo bazo ravnine, zadoščata samo vektorja in
, v prostoru pa potrebujemo še vektor
.
Vemo tudi, da lahko z izbranimi baznimi vektorji izrazimo prav vsak vektor ravnine oziroma prostora. Naša naslednja naloga je, da se v ortonormirani bazi ravnine naučimo izražati krajevne vektorje.
Na spodnji sliki je prikazan krajevni vektor točke T , ki ga želimo izraziti z baznima vektorjema
in
, kar pomeni, da ga želimo zapisati kot njuno linearno kombinacijo:
.
Zanima nas, koliko znašata skalarja k in l, od česa sta odvisna. Z miško premikaj točko T, opazuj spreminjanje različnih števil in vektorjev na sliki, nato pa odgovori na spodnja vprašanja.
.Enakovredni zapis vektorja je tudi zapis v obliki urejenega para, torej:
Pozor! Čeprav gre pri zapisu točke T in njenega krajevnega vektorja za isti urejeni par, nastopajoča števila različno poimenujemo. Pri točki govorimo o koordinatah, pri vektorju pa o komponentah.
Paziti je treba tudi na obliko zapisa. Medtem ko med imenom vektorja in komponentami zapišemo enačaj, ga med imenom točke in koordinatami nikoli.
Kaj vse povedano pravzaprav pomeni?
Če je krajevni vektor neke točke enak , to pomeni, da vodi od izhodišča do točke z enakim zapisom, kot ga ima vektor, torej do točke (2, 3).
In še obratno: če nas zanima krajevni vektor točke (-4, 6), vemo, da se njegov zapis v komponentah popolnoma ujema z dano točko, torej je .
Vsakemu od danih vektorjev dodaj še drugo možno obliko zapisa!
Do katerih točk vodijo naslednji krajevni vektorji? Zapiši koordinate teh točk.

Za vas imam zelo veselo novico: skalarno množenje vektorjev v komponentnem zapisu bo bistveno enostavnejše kot skalarno množenje "po starem" načinu, v katerem smo morali upoštevati obe dolžini vektorjev in še kosinus kota med njima.
Tokrat bomo novo pravilo izpeljali skupaj.
Imejmo dva vektorja: in
. Najprej ju bomo zapisali v obliki linearnih kombinacij baznih vektorjev
in
, upoštevali distributivnost skalarnega produkta in pravokotnost baznih vektorjev in naposled dobljeni vektor spremenili v zapis z urejenim parom komponent. Pa dajmo:
Dva vektorja v komponentnem zapisu skalarno pomnožimo tako, da med sabo pomnožimo istoležne komponente in dobljene produkte seštejemo.
Pozor! Zelo pomembno je, da rezultata ne zapišete v obliki urejenega para, saj to pomeni, da ste pri skalarnem produktu vektorjema priredili nov vektor, kar pa seveda ni res. Skalarni produkt vektorjev je skalar, zato produkte istoležnih komponent seštejemo.
Rešimo naslednjo nalogo s primeri vseh obravnavanih računskih operacij z vektorji.
Dana sta vektorja in
. Izračunaj:



Rešitev.
Najprej se spomnimo, da vektorje seštevamo in odštevamo po komponentah, s skalarjem pomnožimo vsako komponento posebej, skalarno pa množimo tako, da seštejemo produkte istoležnih komponent. Torej:
Poglejmo, kako se obrazca spremenita, če oba vektorja podamo s komponentami, torej: in
.
Dolžina vektorja bo tako:
Kosinus kota med vektorjema pa bomo računali takole:
Strnimo vsa pravila na enem mestu.
Če je
in k realno število, je:





S tako nalogo se bomo pogosto srečali, saj omogoča računanje velikosti kotov v različnih likih, če na stranice lika v koordinatnem sistemu postavimo vektorje.
Na stotinko stopinje natančno izračunajmo kot med vektorjema, ki smo ju srečali v prejšnji nalogi, to sta in
Rešitev
Za izračun kota potrebujemo natančni dolžini obeh vektorjev in skalarni produkt vektorjev.
Dolžina vektorja je:
.
Podobno je .
Skalarni produkt vektorjev in
je
.
In zdaj k računanju kota:
Vidimo, da lahko pot od točke A do točke B prehodimo kar po vektorju
ali pa na daljši način tako, da gremo po vektorju in s tem pridemo v koordinatno izhodišče, nato pa nadaljujemo sprehod po vektorju
. Zato je:

kar pomeni, da vektor od točke A do točke B izračunamo tako, da od krajevnega vektorja končne točke B odštejemo krajevni vektor začetne točke A.
Primer: določi vektor , če je A(–1, 5) in B(6, 1), kot prikazuje zgornja slika.
Ker poznamo točki A in B, poznamo tudi njuna krajevna vektorja, ki sta in
.
Tako je .
Z določanjem koordinat točke, ki je razpolovišče daljice z znanima krajiščema, smo se srečali že v 1. letniku. Tokrat bomo že znano formulo izpeljali s krajevnimi vektorji.
Naj bosta A(xA, yA) in B(xB, yB) krajišči daljice AB. Kolikšni sta koordinati točke S, ki razpolavlja daljico AB? Pomagajmo si s sliko.
Krajevni vektor razpolovišča S daljice AB izračunamo kot:

Primer: določi razpolovišče S daljice AB s krajiščema A(–4, 1) in B(5, 3), kot kaže zgornja slika.
Uporabimo izpeljano formulo: .
Ker se koordinati točke ujemata s komponentama njenega krajevnega vektorja, je razpolovišče daljice AB v točki . Preveri, ali se rezultat ujema s prikazom točke S na sliki.
Tako kot je razpolovišče daljice na neki način težišče dveh točk(obeh krajišč daljice), sedaj iščemo točko, ki bo uravnotežila tri oglišča trikotnika.
Formula, ki jo iščemo, je posplošitev formule za razpolovišče daljice iz dveh točk na tri točke sistema.
Krajevni vektor težišča T trikotnika ABC izračunamo kot:

Primer
Določi težišče trikotnika ABC z oglišči A(–7, –3), B(8, 3) in C(–4, 6).
Uporaba formule pripelje do:, kar se ujema tudi s spodnjo sliko, ki prikazuje obravnavani trikotnik s težiščem.