V tem razdelku se naučimo izračunati vrednosti kotnih funkcij za nekatere ostre kote. Izpeljemo nekaj pomembnih zvez med kotnimi funkcijami.
Vrednosti kotnih funkcij za kote 30°, 60° in 45°
Začnimo s kotnimi funkcijami za kot, ki meri 30°. Za to potrebujemo pravokotni trikotnik, v katerem seveda drugi ostri kot meri 60°. Tako bomo lahko določili vrednosti kotnih funkcij tudi za ta kot.
Če trikotnik ABC prezrcalimo čez daljico AC, dobimo trikotnik ABB’, v katerem vsi notranji koti merijo po 60°; trikotnik je torej enakostraničen. Postopek zrcaljenja lahko prikažeš s spodnjimi tremi gumbki: s klikom na levega se vrneš na začetek, z desnim se premakneš na konec, s klikanjem na srednjega pa prikažeš zrcaljenje po posameznih korakih. Poskusi.
Dolžino daljice AB označimo z a.
Koliko potem merita daljici BC in AC? Uporabi svoje znanje o enakostraničnem trikotniku.
Ker je AC višina enakostraničnega trikotnika, razpolavlja osnovnico BB’, zato je |BC| = . Z uporabo Pitagorovega izreka lahko izračunamo, da je .
Do istega rezultata pridemo, če uporabimo obrazec za višino enakostraničnega trikotnika.
Če je |AB|=, potem merita stranici |BC|= in |AC|= .
Zdaj vemo vse, kar potrebujemo za izračun vrednosti kotnih funkcij za kota 30° in 60°. Ponovi, kako smo definirali sinus, kosinus, tangens in kotangens ostrega kota.
Interaktivno besedilo I
sin α =
cos α =
tg α =
ctg α =
tg 30° = ctg 60°
ctg 30° = tg 60°
V zadnjem koraku vsakega izračuna smo uporabili lastnosti kotnih funkcij komplementarnih kotov iz prejšnjega poglavja.
Zdaj pa še h kotu 45°. Tokrat potrebujemo pravokotni trikotnik, ki ima dva skladna ostra kota po 45°, torej gre za enakokraki pravokotni trikotnik, ki ga z zrcaljenjem preko stranice AB dopolnimo v kvadrat. V njem AB igra vlogo diagonale. Postopek zrcaljenja lahko tudi tokrat prikažeš s klikanjem na srednji gumbek.
Če dolžino AC označimo z a , tudi BC meri a, AB, ki predstavlja diagonalo dobljenega kvadrata, pa meri . To lahko zlahka preveriš z uporabo Pitagorovega izreka ali pa uporabiš formulo za diagonalo kvadrata.
Zdaj pa k izračunom:
tg ctg 45°
Povzemimo vse izračunane vrednosti kotnih funkcij, ki se jih moraš naučiti na pamet.
tg α
ctg α
30°
45°
60°
Kaj nam vrednosti kotnih funkcij povejo o trikotniku?
Z naslednjo nalogo pokažimo, kaj nam pove vrednost kotne funkcije ostrega kota.
Kaj lahko poveš o razmerju katet v pravokotnem trikotniku z ostrim kotom 30°?
Kotni funkciji, ki vključujeta razmerje katet, sta tangens in kotangens. Ker je tg 30° = , vemo, da je razmerje kotu nasprotne katete ter kotu priležne katete oziroma v okrajšani obliki . Katet seveda ne moremo izračunati. Če pa poznamo dolžino ene od njiju, je iz razmerja možno izračunati še drugo kateto.
Zveze med kotnimi funkcijami
Vzemimo pravokotni trikotnik z običajno označenimi stranicami in koti, kot ga prikazuje spodnja slika. V tem primeru se posamezne kotne funkcije kota α izražajo kot:
,
,
tg ,
ctg .
Najlažje je opaziti zvezo med funkcijama tg in ctg istega kota. Opisani sta z med seboj obratnima ulomkoma, zato velja:
, oziroma ,
kar pa, če zadnjo enakost pomnožimo s tg α, lahko pišemo tudi v obliki
tg α · ctg α = 1
Še ene zveze ni posebno težko opaziti: če med seboj delimo izraza za sinus in kosinus istega kota, dobimo tangens tega kota. Poglejmo izpeljavo:
tg α.
Povzemimo:
tg α
ctg ,
saj je kotangens obratna vrednost funkcije tangens.
Zdaj pa še k zelo pomembni zvezi med funkcijama sinus in kosinus:
.
V predzadnjem koraku smo seveda uporabili Pitagorov izrek, saj se pri kotnih funkcijah ostrih kotov ves čas sprehajamo po stranicah pravokotnega trikotnika, zato res ni dvoma, da smemo izraz a2+b2 zamenjati s c2.
Naj povzamemo:
sin2α + cos2α = 1.
Zgledi uporabe zvez med kotnimi funkcijami
Pokažimo, kako nam koristijo izpeljane zveze med kotnimi funkcijami.
Ne da bi nam bilo treba vedeti, koliko meri kot, o katerem je v nalogi govora, lahko iz ene od vrednosti njegovih kotnih funkcij izračunamo ostale tri.
Naj bo kot α oster kot, za katerega je . Potem izračunamo . Zato je .
Iz sinusa in kosinusa zlahka izračunamo tg α.
Nazadnje pa še ctg α = 1/tg α = 2√2. (Lažje je poiskati obratno vrednost predzadnjega ulomka za tg α.)
Če bi bila podana vrednost funkcij tangens ali kotangens, bi nam koristili še dve drugi zvezi, ki ju bomo izpeljali za radovednejše med vami, nalogo pa lahko rešimo tudi s sistemom dveh enačb z dvema neznankama.
Interaktivno besedilo I
Zvezi, ki v tem primeru koristita, sta
1+tg2α in 1+ctg2α
Izpeljali bomo samo prvo in to s pomočjo prej spoznanih formul:
1+tg2α.
Drugo zvezo izpelji sam.
Za utrjevanje naučenega ti je v priponki na voljo nekaj nalog.
V naslednjem poglavju bomo kotne funkcije uporabljali v geometrijskih nalogah. V pomoč nam bodo tam, kjer nam v pravokotnih trikotnikih samo Pitagorov izrek ne more pomagati.