Skalarni produkt

Tokrat bomo spoznali zelo nenavadno operacijo: če med sabo pomnožimo dva vektorja, dobimo realno število (skalar), zato operacijo imenujemo skalarni produkt.
Zakaj potrebujemo novo operacijo?

Kako naj pomnožimo dva vektorja, da bi dobili realno število?

Običajno se nam najprej porodi ideja, da bi pomnožili kar dolžini obeh vektorjev. Ideja je enostavna, a ne posebno vznemirljiva. Kaj je posebnega v tem, da poznamo produkt dolžin dveh vektorjev? Vsekakor ne dovolj, da bi to razglasili za novo računsko operacijo, sploh pa gre za običajno, dobro znano množenje realnih števil.

Kaj pa, če bi podatke o dolžinah povezali še z informacijo o legi obeh vektorjev? Dva vektorja z nespremenljivo dolžino se lahko v medsebojni legi bistveno razlikujeta: lahko sta vzporedna in pri tem enako ali nasprotno usmerjena, če pa nista vzporedna, lahko oklepata zelo različne kote.

S spreminjanjem kota med vektorjema se spreminja njuno stremenje k isti usmerjenosti. Čim manjši je kot med njima, tem bližje isti usmerjenosti sta. Velja pa tudi obratno: čim večji je kot med njima, bolj vsaksebi sta usmerjena; ko je kot med njima največji, sta nasprotno usmerjena, gledata vsak na svojo stran.

Pri tem je treba vedeti, da je kot med vektorjema vedno manjši od obeh kotov, ki ju vektorja določata, kar prikazuje tudi spodnja slika. Kot med vektorjema je tisti, ki jeobarvan zeleno. Meri lahko največ 180°.

 
Merjenje kota med vektorjema
Med dvema skrajnima možnima legama vektorjev, ki sta prikazani levo in desno, lahko na srednji sličici spreminjaš položaj vektorja . Spreminjaj ga tako, da z njim opišeš polni kot, in opazuj, kako se pravilno odmerja kot med vektorjema.
 
Skalarni produkt
Odločimo se, da bomo za pokazatelja medsebojne lege vektorjev namesto velikosti kota upoštevali kosinus kota med vektorjema, in zato vpeljemo novo operacijo med vektorji, t. i. skalarni produkt, na naslednji način.

Skalarni produkt vektorjev in je število, ki ga izračunamo takole:

,
kar pomeni, da pomnožimo dolžini obeh vektorjev s kosinusom kota med vektorjema.
 
Vrednosti skalarnega produkta

S pomočjo spodnje naloge samostojno razišči lastnosti skalarnega produkta.

Z miško zgrabi konec vektorja , ga premikaj in s tem spreminjaj kot med vektorjema in . Opazuj, kaj se dogaja z vrednostjo skalarnega produkta , ki se ti izpisuje ob vektorju .

Na podlagi ugotovitev dopolni besedilo pod sliko.

Vrednost skalarnega produkta danih vektorjev je največja, ko je = °, najmanjša, ko je = °, vrednost pa doseže, ko je = 90°. Skalarni produkt je , ko je kot med vektorjema oster ali ničelni, ko pa je kot med vektorjema top ali iztegnjen, je skalarni produkt .
  

 

Poiščimo razloge za tako obnašanje skalarnega produkta.

Vemo, da skalarni produkt izračunamo z zvezo: . Glede na to, da dolžine vektorjev nismo spreminjali, je za spremenljivo vrednost skalarnega produkta odgovoren faktor .

Dopolni naslednje besedilo.

Kosinus kota 0° je , zato je takrat =. V tem primeru sta vektorja usmerjena in skalarni produkt doseže vrednost. Kosinus ostrega kota , se pravi, ko je ° < < °, je število, zato je tudi > . Ker je kosinus kota ° enak 0, je v tem primeru tudi = . Če je ° < < °, je kot topi kot. V tem primeru je kosinus kota število, zaradi česar je tudi skalarni produkt . Najmanjšo vrednost doseže skalarni produkt takrat, ko je = 180°, ko je med vektorjema iztegnjen kot in sta torej usmerjena. Ker je kosinus kota 180° enak , je ( )=-.
  

Vidimo torej, da sta kosinus kota med vektorjema in s tem vrednost skalarnega produkta pokazatelja tega, ali vektorja težita k isti ali nasprotni usmerjenosti. Bolj ko se skalarni produkt bliža produktu dolžin vektorjev, manjši je kot med vektorjema, ki tem bolj težita k isti usmerjenosti. Čim bolj pa se skalarni produkt bliža nasprotni vrednosti produkta dolžin, tem večji je kot med vektorjema, ki vedno bolj težita k nasprotni usmerjenosti.
 
Preveri, ali razumeš pomen skalarnega produkta

Imamo dva vektorja, prvega z dolžino 3 in drugega z dolžino 2. Kaj lahko sklepaš iz posameznih primerov, če veš, da je vrednost njunega skalarnega produkta:

  • 6,
  • 5,5,
  • 0,
  • –2,
  • –6 ?
 
Kdaj je vrednost skalarnega produkta enaka 0?
Eno rešitev smo že omenili. Obstaja še druga. Lahko si pomagaš tudi tako, da se vrneš k sliki z vektorjema in in razen kota med vektorjema spreminjaš tudi dolžino vektorja . Kako še lahko dosežeš vrednost skalarnega produkta 0?
Reši še to nalogo

Imejmo vektorja in , za katera je . Izračunaj njun skalarni produkt v petih različnih legah. Upoštevaj točno vrednost kosinusa kotov.

Koti med vektorjema so: 0°, 60°, 90°, 150° in 180°.

 
K dolžinam, kotom in projekcijam ...

Če si ogledamo obrazec za izračun skalarnega produkta dveh vektorjev, vidimo, da v njem nastopata dolžina vektorja, ki jo lahko predstavimo tudi kot razdaljo med začetno in končno točko vektorja, ter kot med vektorjema.

Zato bo skalarni produkt v geometriji pri računanju razdalj oziroma dolžin ter računanju kotov nepogrešljiv.

Izpelji obrazec za računanje kota med vektorjema
To storiš tako, da iz osnovnega obrazca za skalarni produkt izraziš faktor, ki vsebuje iskani kot, torej faktor .
 
Izpelji obrazec za računanje dolžine vektorja
V obrazcu za skalarni produkt upoštevaj, da je , poenostavi obrazec in izrazi dolžino vektorja .
Povzemimo.

Kot med vektorjema izračunamo s formulo:

.

Dolžino vektorja izračunamo takole:

POZOR! Bolje je, da formule za računanje dolžine vektorja ne zapisujemo v obliki , saj nepremišljeno korenjenje desne strani enakosti vodi v velik nesmisel, da je namreč . Enakost je nesmiselna, saj je na levi strani realno število, na desni pa vektorska količina.
 
Z znanjem o kotu med vektorjema reši naslednjo nalogo

Izračunaj kot med vektorjema in z dolžinama in , če je njun skalarni produkt:

  • 3,
  • 3√2,
  • 5,5,
  • –2.
Naloge se lotimo z uporabo obrazca . Iz dobljene vrednosti kosinusa kot ugotovimo na pamet ali pa uporabimo kalkulator in tipko INVCOS ali COS–1 ali ARCCOS.
 
Projekcija vektorja na vektor

Projekcija vektorja na vektor ni vektor, kot bi morda pričakovali na podlagi geometrijske predstave projiciranja, ampak je število, definirano na naslednji način.

Projekcija vektorja na vektor je število

,
kjer je kot med vektorjema in .
Če vektorja in oklepata največ pravi kot, nam dobljeno število pove dolžino vektorja, ki nastane ob projiciranju vektorja na vektor , če pa vektorja in oklepata kot, večji od pravega, število pove nasprotno vrednost dolžine vektorja, ki nastane s projiciranjem vektorja na vektor . To nazorno prikazuje tudi spodnja slika.
 

Kakšen je geometrijski pomen izraza za projekcijo vektorja na vektor, si podrobneje oglejmo ob spodnjih dveh slikah: če je kot med vektorjema oster (ali ničelni), z izrazom izračunamo dolžino kotu priležne katete v nastalem pravokotnem trikotniku, če pa je kot med vektorjema topi kot (ali iztegnjeni), pa priležna kateta meri , saj je kosinus kota in s tem projekcija vektorja negativno število.

Tako absolutna vrednost projekcije vektorja na vektor meri dolžino vektorja, ki nastane ob projekciji, predznak pa govori o vrsti kota med vektorjema (ostri oziroma ničelni ali topi oziroma iztegnjeni).

Zdaj lahko osnovno formulo za skalarni produkt prepišemo še v drugo obliko:

.
Ta nam bo omogočala tudi računanje (dolžin) projekcij vektorja na vektor.
 
Izračunaj projekciji enega vektorja na drugega

Imejmo že znana vektorja z dolžinama in , kot med njima pa naj bo:

  • 60°,
  • 150°.

V obeh primerih izračunaj in .

  • Najprej naj bo . Vemo, da je
in
.
  • V drugem primeru je . Tokrat je
in .
 
Lastnosti skalarnega produkta

Po množenju vektorja s skalarjem je skalarni produkt že druga tako imenovana zunanja operacija, kar pomeni, da faktorja, ki ju množimo, in njun produkt niso iz iste množice.

Tako kot produkt vektorja s skalarjem ima tudi skalarni produkt nekaj prav posebnih lastnosti.

Skalarni produkt je

  • komutativen, kar pomeni, da je
;
  • distributiven, kar pomeni, da je
in
  • homogen, kar pomeni, da je
.
 

Zelo enostavno. Upoštevamo le njegovo definicijo in komutativnost množenja realnih števil, pa dobimo:

.

Če bi bil skalarni produkt asociativen, bi moralo veljati naslednje: . V čem je osnovna težava tega zapisa? V tem, da vse zapisane pikice za množenje sploh ne morejo pomeniti skalarnega produkta, saj po množenju vektorjev in dobimo skalar, ki ga ne moremo skalarno množiti z drugim vektorjem. Podobno se zgodi na desni strani enakosti. Zapis v smislu asociativnosti je nesmiseln, zato zagotovo ni pravilen.

Tokrat bomo uporabili drugi možni zapis skalarnega produkta, s projekcijo. Upoštevali bomo tudi, da je projekcija vsote dveh vektorjev na tretji vektor enaka vsoti njunih posameznih projekcij na ta vektor. To lastnost projekcij z risanjem pokaži sam.

Tako velja:

.

Koliko si jih našel? Eno, dve, morda tri ali več? Pravilen odgovor je: tri.

Če gremo od leve proti desni, najprej naletimo na množenje vektorja s skalarjem, ki mu sledi skalarni produkt. V srednjem delu je v oklepaju prav tako skalarni produkt. Kot rezultat da skalar, ki je z navadnim množenjem realnih števil pomnožen s številom k. Na desni strani imamo isti operaciji kot na levi.

Zapisa s toliko različnimi tipi operacij zlepa ne srečamo.

 
Zdaj pa še k nalogam
1. Poenostavi izraz: , kjer so vektorji in znani ortonormirani vektorji.

Pri računanju upoštevamo distributivnost in homogenost skalarnega produkta, kar pomeni, da množimo vsak člen z vsakim in pri tem skalarje sproti prenašamo na začetek vsakega člena. Tako dobimo:

.


Zdaj upoštevamo, da je skalarni produkt pravokotnih vektorjev 0 in da je produkt vektorja samega s seboj enak kvadratu njegove dolžine. Iz prejšnjega sledi:

.

2. Izračunaj dolžino vektorja , če je in kot med vektorjema in meri 45°.

Pri reševanju te naloge se spomnimo na obrazec za dolžino vektorja, ki pravi, da je , pa tudi brez distributivnosti in definicije skalarnega produkta ne bo šlo.

.

Po vstavljanju podatkov sledi izračun:

.

 

3. Izračunaj še kot med vektorjema in , če gre za vektorja iz prejšnje naloge.

Nalogo bomo ugnali z obrazcem za kosinus kota med vektorjema, ki je .

V tej nalogi igra vlogo vektorja vektor . Tako je:

.

 
Ker je skalarni produkt tvoje znanje zelo razširil, boš moral napraviti tudi precej vaj. S klikom na Dodatne naloge so ti takoj na voljo.
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008