Podobnost v vsakdanjem življenju uporabljamo v zelo različnih pomenih, v geometriji pa je natančno definirana. V tem delovnem listu bomo to prikazali.
Lupa
Lupa pomaga človeku, ki slabo vidi, da lahko bere ali proučuje manjše predmete. Včasih so jo uporabljali tudi urarji, ki so popravljali zapletene mehanizme mehanskih ročnih ur. Geometrijska optika nas pouči, kako nastane navidezna slika predmeta, ki ga gledam skozi lupo. Tudi numizmatiki uporabljajo lupe za opazovanje zanimivih znamk iz svojih zbirk.
Perspektiva
Prostorsko sliko na ravnini dobimo, če slike zmanjšujemo tako, da se ohranjajo razmerja. Tako lahko na spodnji sliki dobimo prostorski videz razporejenosti slik. To so podobne slike v geometrijskem smislu podobnosti.
br>
Tako na konstrukciji. Kaj pa v naravi?
Schillerjev drevored v Tuebingenu
Pogled v drevored na sliki omogoča prostorsko predstavo. Če gledamo le velikosti dreves, vidimo, da so vse manjša, bolj ko so oddaljena. Torej slika v naravi ustreza zgornji geometrijski konstrukciji.
Talesov izrek
Zdaj imamo že dovolj predstav, da lahko na podobnost pogledamo geometrijsko. Zato bomo najprej povedali Talesov izrek o podobnosti. Imamo dan kot z vrhom V in tri vzporedne premice, ki sekajo oba kraka kota. Če te premice sekajo en krak v takih treh točkah A1, A2 in A3, da je |A1A2| = |A2A3| potem je tudi |B1B2| = |B2B3|, če so točke B1, B2 in B3 presečišča vzporednic z drugim krakom kota.
Skozi
B1 in
B2 konstruiramo vzporednici drugemu kraku kota. Tako dobimo dva paralelograma in dva trikotnika. Ker sta
A1A2CB1 in
A2A3DB2 paralelograma, kraki kotov
B2B1C,
B3B2D
B1CB2,
B2DB3 in
B1B2C,
B2B3D pa paroma vzporedni, sta trikotnika
B1CB2 in
B2DB3 skladna, od tod pa že sledi |
B1B2| = |
B2B3|, kar pa je bilo treba dokazati.
Če temu izreku verjamemo, lahko dokažemo še eno zanimivo posledico. Imamo štiri vzporednice, ki sekajo kraka kota z vrhom v V, v točkah A, B, C, D, E, F, G, H, kot kaže spodnja dinamična slika. Tedaj velja, kot lahko razberemo tudi iz slike (pozor: vrednosti dožin in razmerij so zaokrožene na dve decimalki):

in
Dva trikotnika sta podobna, če imata paroma skladne kote.
Simbolično zapišemo:
in preberemo "trikotnik ABC je podoben trikotniku A'B'C' ".
Podobna trikotnika
Ker enako lahko naredimo še za ostali dve oglišči, lahko sklenemo:
Podobni trikotniki
Zgornjo nalogo lahko interaktivno preveriš spremikanjem modre točke. Tako lahko odgovoriš tudi na spodnja vprašanja.
Naloga
S pomočjo pomične točke lahko poiščeš stranice trikotnika, ki je podoben zgornjemu trikotniku, torej ima stranice v razmerju b:c:a = 3:5:6. Decimalno ločilo v odgovorih je decimalna vejica.
Faktor raztega je tedaj
Na zgornji sliki izberi k=

. Iz slike preberi vrednosti stranic in obsega.
Tedaj so stranice po vrsti
a = 9,6,
b = 4,8 in
c = 8. Obseg tega trikotnika je 22,4.
Res je! Kvocient med obsegom 22,4 in 14 je 8/5, to je koeficent razmerja stranic. Tako vidimo, da se tudi obseg podobnega trikotnika pomnoži z istim številom, kot stranice. Računsko to lahko utemeljimo čisto splošno: o' = a' + b' + c' = k·a + k·b + k·c = k·o.
Poglej malo bolje na sliki! Številka je res prava, ime stranice pa ne. Poglej tudi namig!
To je res! Kvocient med obsegom 22,4 in 14 je 8/5, to je koeficent razmerja stranic. Tako vidimo, da se tudi obseg podobnega trikotnika pomnoži z istim številom, kot stranice. Računsko to lahko utemeljimo čisto splošno: o' = a' + b' + c' = k·a + k·b + k·c = k·o.
Drži! Kvocient med obsegom 22,4 in 14 je 8/5, to je koeficent razmerja stranic. Tako vidimo, da se tudi obseg podobnega trikotnika pomnoži z istim številom, kot stranice. Računsko to lahko utemeljimo čisto splošno: o' = a' + b' + c' = k·a + k·b + k·c = k·o.
Kot smo videli, se tudi obseg pomnoži s faktorjem podobnosti, kar potrdimo čisto splošno z enostavnim računom:
Enako bi lahko preverili še, da se višine in težiščnice pomnožijo z istim faktorjem.
Merjenje razdalj na zemljevidu
S pomočjo merila lahko izmerimo razdalje na zemljevidu. V pomoč imamo interaktivni zemljevid, s katerim lahko merimo razdalje na zamljevidu, za katerega poznamo podobnostno razmerje. Rdeči točki na konceh merila lahko premaknemo do poljubnih dveh krajev na zemljevidu in oznake ob merilu nam pokažejo dimenziji na zemljevidu in v naravi.
S podobnostjo se ukvarjamo še v drugih mapah. Za utrjevanje predstavljenega pa reši še tele