Podobnost

Podobnost v vsakdanjem življenju uporabljamo v zelo različnih pomenih, v geometriji pa je natančno definirana. V tem delovnem listu bomo to prikazali.
Lupa
Lupa pomaga človeku, ki slabo vidi, da lahko bere ali proučuje manjše predmete. Včasih so jo uporabljali tudi urarji, ki so popravljali zapletene mehanizme mehanskih ročnih ur. Geometrijska optika nas pouči, kako nastane navidezna slika predmeta, ki ga gledam skozi lupo. Tudi numizmatiki uporabljajo lupe za opazovanje zanimivih znamk iz svojih zbirk.
 
Perspektiva
Prostorsko sliko na ravnini dobimo, če slike zmanjšujemo tako, da se ohranjajo razmerja. Tako lahko na spodnji sliki dobimo prostorski videz razporejenosti slik. To so podobne slike v geometrijskem smislu podobnosti.
Tako na konstrukciji. Kaj pa v naravi?
 
img5_5
Schillerjev drevored v Tuebingenu
Pogled v drevored na sliki omogoča prostorsko predstavo. Če gledamo le velikosti dreves, vidimo, da so vse manjša, bolj ko so oddaljena. Torej slika v naravi ustreza zgornji geometrijski konstrukciji.
 
Talesov izrek
Zdaj imamo že dovolj predstav, da lahko na podobnost pogledamo geometrijsko. Zato bomo najprej povedali Talesov izrek o podobnosti. Imamo dan kot z vrhom V in tri vzporedne premice, ki sekajo oba kraka kota. Če te premice sekajo en krak v takih treh točkah A1, A2 in A3, da je |A1A2| = |A2A3| potem je tudi |B1B2| = |B2B3|, če so točke B1, B2 in B3 presečišča vzporednic z drugim krakom kota.
Skozi B1 in B2 konstruiramo vzporednici drugemu kraku kota. Tako dobimo dva paralelograma in dva trikotnika. Ker sta A1A2CB1 in A2A3DB2 paralelograma, kraki kotov B2B1C, B3B2D B1CB2, B2DB3 in B1B2C, B2B3D pa paroma vzporedni, sta trikotnika B1CB2 in B2DB3 skladna, od tod pa že sledi |B1B2| = |B2B3|, kar pa je bilo treba dokazati.
 

Če temu izreku verjamemo, lahko dokažemo še eno zanimivo posledico. Imamo štiri vzporednice, ki sekajo kraka kota z vrhom v V, v točkah A, B, C, D, E, F, G, H, kot kaže spodnja dinamična slika. Tedaj velja, kot lahko razberemo tudi iz slike (pozor: vrednosti dožin in razmerij so zaokrožene na dve decimalki):

in

Dokaz naredimo le za racionalno razmerje .

Zaradi prejšnjega izreka lahko daljico AB razdelimo na m delov in je s tem tudi daljica EF sestavljena iz m enakih delov. Ker pa je razmerje je daljica CD sestavljena iz n enako velikih delov, enako pa velja potem za daljico GH. Zato je

.

 

Dva trikotnika sta podobna, če imata paroma skladne kote.

Simbolično zapišemo:

in preberemo "trikotnik ABC je podoben trikotniku A'B'C' ".

Podobna trikotnika
 
Ker enako lahko naredimo še za ostali dve oglišči, lahko sklenemo:

Za stranice podobnih trikotnikov
in velja


ali tudi:

, ,
imenujemo podobnostni koeficient.

Uporaba podobnosti
Stranice trikotnika so v razmerju 3:5:6. Koliko merijo stranice, če meri obseg trikotnika 28 enot?
 
Podobni trikotniki
Zgornjo nalogo lahko interaktivno preveriš spremikanjem modre točke. Tako lahko odgovoriš tudi na spodnja vprašanja.
Naloga
S pomočjo pomične točke lahko poiščeš stranice trikotnika, ki je podoben zgornjemu trikotniku, torej ima stranice v razmerju b:c:a = 3:5:6. Decimalno ločilo v odgovorih je decimalna vejica.

Obseg trikotnika je 25,2. Stranice trikotnika so tedaj
a =
b =
c =

Zapiši faktor raztega za ta primer v obliki ulomka (s poševno črto /). k = .

  

Na zgornji sliki izberi k=. Iz slike preberi vrednosti stranic in obsega.
       
a = 9,6
b = 9,6
c = 8
o = 22,4
 

Kot smo videli, se tudi obseg pomnoži s faktorjem podobnosti, kar potrdimo čisto splošno z enostavnim računom:

Enako bi lahko preverili še, da se višine in težiščnice pomnožijo z istim faktorjem.


Ploščine podobnih trikotnikov

Kako pa je s ploščino podobnega trikotnika? Za odgovor si pomagaj s prejšnjim primerom.

 
Merjenje razdalj na zemljevidu
S pomočjo merila lahko izmerimo razdalje na zemljevidu. V pomoč imamo interaktivni zemljevid, s katerim lahko merimo razdalje na zamljevidu, za katerega poznamo podobnostno razmerje. Rdeči točki na konceh merila lahko premaknemo do poljubnih dveh krajev na zemljevidu in oznake ob merilu nam pokažejo dimenziji na zemljevidu in v naravi.
Vaja
S pomočjo interaktivnega zemljevida poišči najširši del Slovenije v smeri sever-jug:

170 km
145 km
131 km

Koliko sta v zračni črti oddaljena Ljubljana in Maribor?

100 km
110 km
113 km

Najbolj oddaljeni mesti sta v zračni črti na zemljevidu
Murska Sobota in Nova Gorica
Murska Sobota in Koper
Lendava in Koper

 
S podobnostjo se ukvarjamo še v drugih mapah. Za utrjevanje predstavljenega pa reši še tele