Kosinusni izrek

Tokrat se bomo naučili zelo koristnega izreka, ki ga uporabljamo pri računanju stranic in kotov v splošnih trikotnikih.
Z matematičnim znanjem čez neprehodne ovire

Radi bi poznali razdaljo med drevesoma A in B, ki je neposredno ne moremo izmeriti zaradi neprehodnega terena med njima, kot prikazuje zgornja skica.

Vseeno pa nam je uspelo izmeriti razdalji drevesa A in drevesa B do iste – izhodiščne točke O, prav tako pa smo izmerili tudi kot γ med tema dvema smerema. Izmerjene količine naj bodo a=15 metrov, b=21 metrov in γ=80°.

Kako bi lahko izračunali razdaljo dreves A in B? V kakšno matematično nalogo bi lahko prevedli zgornji problem?

Naučiti se moramo, kako splošno izračunati tretjo stranico v trikotniku, v katerem poznamo drugi dve stranici in kot, ki ga oklepata.

Če gre za pravokotni trikotnik, nalogo zlahka uženemo. Kako?

V vsakem primeru uporabimo Pitagorov izrek. Če je iskana stranica hipotenuza c, jo izračunamo tako: , če pa iščemo kateto, izrek preoblikujemo v zvezo oziroma .

 
Zdaj pa k splošnemu trikotniku ...

Recimo, da računamo stranico a iz danih stranic b in c ter vmesnega kota α.

Nalogi smo kos tudi z našim obstoječim znanjem, za dosego cilja (stranice a) pa bo potrebnih kar precej korakov. Najprej trikotnik z višino na stranico c (vc) razdelimo na dva pravokotna trikotnika, nato pa:

  1. izračunamo c1,
  2. izračunamo c2,
  3. izračunamo višino na c (vc),
  4. izračunamo a.
 

Dolžino c1 izračunali iz b in α z uporabo kotne funkcije kosinus, c2 nato iz c in c1 z odštevanjem, višino na c iz b in α z uporabo kotne funkcije sinus, nazadnje pa še a iz vc in c2 z uporabo Pitagorovega izreka.

Reševanje poteka takole: (glej zgornjo sliko).

Opomba: višino na stranico c smo raje računali z uporabo kotne funkcije sinus kot pa s Pitagorovim izrekom iz b in c1, saj smo se pri računanju c1 morda zmotili.

Če je treba, lahko na koncu izračunamo še kot β iz zveze in kot γ=180°–(α+β).

 

Opisan računski postopek je precej dolg, ima pa še eno pomembno pomanjkljivost: uporaben je le v primerih, ko je kot α oster. Da smo izračunali stranico a, smo potrebovali 4 računske korake, kar pomeni 4 zaokroževanja vmesnih rezultatov in zato nenatančen končni rezultat.

Veliko bolje je, da vse štiri zapise strnemo v enega. To dosežemo tako, da v zadnji izraz za a vstavljamo vse prej izpeljane zveze, dokler ni a izražen le s podatki b, c in α.

Če dobljen izraz za stranico a kvadriramo, dobimo izrek, ki smo ga iskali:

.

Izpeljani zvezi rečemo kosinusni izrek. Zakaj, verjetno ni treba razlagati. :)

 
Do kosinusnega izreka še po drugi poti

Dodajmo še eno pot, ki vodi do t. i. kosinusnega izreka. Prehodili jo bomo skupaj, brez bližnjic zato, ker v njej uporabimo veliko znanja, ki smo si ga do zdaj nabrali o vektorjih.

Pa začnimo.

Vrnimo se k uvodni sliki, le da tokrat na stranice trikotnika postavimo vektorje , in tako, da vektorja in oklepata kot α, za vektor pa izberemo eno od možnih usmerjenosti, na primer tako, da je .

 

Ideja dokaza je v tem, da izračunamo na dva različna načina: prvič z uporabo distributivnosti skalarnega produkta, drugič pa po definiciji skalarnega produkta. Ko nastala izraza izenačimo in enakost preoblikujemo, dobimo iskani izrek.

1. način

2. način

Tako je .

Če v zadnjem zapisu dolžine vektorjev zamenjamo z običajnimi dolžinami stranic, ponovno dobimo kosinusni izrek:

.
Podobne zapise dobimo pri računanju stranice b iz podatkov a, c in β oziroma stranice c iz podatkov a, b in γ.
Izraze zapiši sam in njihovo pravilnost preveri pod spodnjim gumbkom.
 
Uporabljamo ga za računanje tretje stranice trikotnika, če sta dani dve stranici in kot med njima.

Razdaljo AB med drevesoma izračunamo takole:

m.

 
Zdaj pa k nalogam

Izračunaj stranico b v trikotniku, če je a=10, c=15, kot β=40°.

Rešitev

Od prej zapisanih možnosti uporabimo drugi zapis kosinusnega izreka. Ko vstavimo podatke, dobimo:

, iz česar sledi, da je stranica b, zapisana na dve decimalni mesti, enaka

Se spomnite te naloge?

Rešimo nalogo, ki smo jo že srečali v poglavju o skalarnem produktu.

Izračunaj dolžino vektorja , če vektor meri 2 enoti, vektor 1 enoto, kot med vektorjema in pa meri 45°.

Rešitev

Ker vektorji , in tvorijo trikotnik, v katerem sta in znani stranici, kot, ki meri 45°, pa je ravno kot med njima, lahko tretjo stranico izračunamo z uporabo kosinusnega izreka in sicer takole:

Če boš pogledal v ustrezno poglavje, boš videl, da se pravkar dobljena rešitev seveda ujema s tisto od zadnjič, kar pomeni, da več matematičnega znanja daje več svobode v načinu reševanja.

 
Kosinusni izrek in računanje kotov

Do zdaj smo pokazali, kako kosinusni izrek uporabljamo za računanje stranic trikotnika. Koristi nam pa lahko še drugače: če poznamo vse tri trikotnikove stranice, lahko izračunamo katerega koli od trikotnikovih notranjih kotov.

Zapiši kosinusni izrek za računanje stranice a in poskusi izraziti faktor, ki vsebuje kot α, se pravi, izrazi cos α.

Začnimo s kosinusnim izrekom za stranico a. Celoten člen, ki vsebuje , prenesemo na levo stran enakosti, nakar opravimo samo še potrebno deljenje, pa je. V praksi to zgleda takole:

,

,

.

Če poznamo vse tri trikotnikove stranice, lahko s kosinusnim izrekom izračunamo katerega koli od notranjih kotov trikotnika, npr.:

.
Podobna izraza bi dobili tudi, če bi nas zanimal kot β ali kot γ. Izraza zapiši sam in ju preveri pod spodnjim gumbkom.
 
Rešimo nekaj nalog s koti

Izpeljane obrazce lahko uporabimo v kateri koli vrsti trikotnikov. Ker lahko večkotnike vedno razdelimo v trikotnike, lahko s kosinusnim izrekom računamo tudi diagonale, višine, tetive, notranje kote in kote med diagonalami v večkotnikih ... Pomembno je samo, da podatki v trikotniku znotraj večjih likov ali teles ustrezajo zahtevam za uporabo kosinusnega izreka, kar pomeni:

  • dani sta dve trikotnikovi stranici in njun vmesni kot ali
  • dane so vse trikotnikove stranice.


Naloga: izračunaj še drugo diagonalo e in notranja kota α in β paralelograma, v katerem je a=10cm, b=6cm in diagonala f=BD=7cm.

Rešitev

Narišimo skico in razmislimo o poteku računanja.

 

Ker v trikotniku ABD poznamo vse tri stranice (a, b in f), lahko najprej izračunamo kot α:

.

Pri tem smo rezultat zaokrožili navzdol. Ker je β suplementarni kot kota α, je β=180°α=136,5° (zaokroženo navzgor).

Diagonalo e izračunamo s kosinusnim izrekom v trikotniku ABC, saj v njem sedaj poznamo dve stranici (a in b) in njun vmesni kot β. Tako je:

cm.

S spodnjo sliko preverimo, ali smo izračunali pravilno.

Če upoštevamo načine zaokroževanja, ki smo jih uporabili, nam slika potrjuje pravilnost izračunov.
 
S čim je kosinusni izrek "v sorodu"?

Poglejmo, kaj se zgodi, če v kosinusnem izreku za stranico c upoštevamo, da je kot γ=90°, da je torej trikotnik, s katerim imamo opravka, pravokoten. Potem je:

,

,

.

Nastal je ... seveda! Pitagorov izrek!

Pitagorov izrek je samo poseben primer splošnega kosinusnega izreka.

Z uporabo kosinusnega izreka dokaži naslednje: če v trikotniku med stranicami velja zveza a2+b2=c2, je trikotnik pravokoten.

 
Za konec pa še h klasični nalogi s trapezom

Izračunaj vse notranje kote, obe diagonali in višino trapeza, če poznaš vse njegove stranice: a=10, b=6, c=3 in d=4.

Rešitev

Najprej je treba narisati skico in najti tiste trikotnike, v katerih je dovolj podatkov za uporabo kosinusnega izreka, kotnih funkcij in drugega znanja iz geometrije.

 

Morda se sprašujete, zakaj je na skici še dodatna daljica, označena z b, ki poteka od D do E. Če se spomnite konstrukcij iz 1. letnika, ste trapez s štirimi danimi stranicami lahko konstruirali le tako, da ste si pomagali z vzporednim premikom stranice b v oglišče D (ali stranice d v točko C). Tako ste lahko narisali trikotnik AED in ga dopolnili do iskanega trapeza. Enak trik pomaga tudi pri računanju kotov trapeza.

Pa začnimo v trikotniku AED, v katerem poznamo vse tri stranice b, d in ac; v njem bomo s kosinusnim izrekom izračunali kota α in β, z uporabo suplementarnosti kotov ob istem kraku pa določili tudi velikosti kotov γ in δ.

Za izračun diagonale e bomo potrebovali trikotnik ABC, v katerem po izračunu kota β poznamo dve stranici a in b ter njun vmesni kot β. Uporabimo kosinusni izrek:

Podobno postopamo pri računanju diagonale f v trikotniku ABD, kjer poznamo a, d in vmesni kot α:

Zdaj pa še k višini trapeza. Za njen izračun ne bomo potrebovali kosinusnega izreka, pač pa bo dovolj znanje kotnih funkcij. Višino bomo izračunali iz trikotnika AFD z uporabo kotne funkcije sinus:

.

Pri izračunu smo raje kot približek kota α upoštevali točno vrednost sin α.

Tako kot pri prejšnji nalogi tudi tokrat poglejmo na skico in preverimo, ali smo pravilno računali.

 
Tudi kosinusni izrek je treba veliko vaditi. V priponki imaš nekaj nalog, kjer se boš srečal z njegovo uporabo v različnih likih in telesih.
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008