Skalarni produkt
Kako naj pomnožimo dva vektorja, da bi dobili realno število?
Običajno se nam najprej porodi ideja, da bi pomnožili kar dolžini obeh vektorjev. Ideja je enostavna, a ne posebno vznemirljiva. Kaj je posebnega v tem, da poznamo produkt dolžin dveh vektorjev? Vsekakor ne dovolj, da bi to razglasili za novo računsko operacijo, sploh pa gre za običajno, dobro znano množenje realnih števil.
Kaj pa, če bi podatke o dolžinah povezali še z informacijo o legi obeh vektorjev? Dva vektorja z nespremenljivo dolžino se lahko v medsebojni legi bistveno razlikujeta: lahko sta vzporedna in pri tem enako ali nasprotno usmerjena, če pa nista vzporedna, lahko oklepata zelo različne kote.
S spreminjanjem kota med vektorjema se spreminja njuno stremenje k isti usmerjenosti. Čim manjši je kot med njima, tem bližje isti usmerjenosti sta. Velja pa tudi obratno: čim večji je kot med njima, bolj vsaksebi sta usmerjena; ko je kot med njima največji, sta nasprotno usmerjena, gledata vsak na svojo stran.
Pri tem je treba vedeti, da je kot med vektorjema vedno manjši od obeh kotov, ki ju vektorja določata, kar prikazuje tudi spodnja slika. Kot med vektorjema je tisti, ki jeobarvan zeleno. Meri lahko največ 180°.
. Spreminjaj ga tako, da z njim opišeš polni kot, in opazuj, kako se pravilno odmerja kot med vektorjema. Skalarni produkt vektorjev
in
je število, ki ga izračunamo takole:
,S pomočjo spodnje naloge samostojno razišči lastnosti skalarnega produkta.
Z miško zgrabi konec vektorja
, ga premikaj in s tem spreminjaj kot med vektorjema
in
. Opazuj, kaj se dogaja z vrednostjo skalarnega produkta
, ki se ti izpisuje ob vektorju
.
Na podlagi ugotovitev dopolni besedilo pod sliko.
=
°, najmanjša, ko je
=
°, vrednost
pa doseže, ko je
= 90°. Skalarni produkt je
, ko je kot med vektorjema oster ali ničelni, ko pa je kot med vektorjema top ali iztegnjen, je skalarni produkt
.
Poiščimo razloge za tako obnašanje skalarnega produkta.
Vemo, da skalarni produkt izračunamo z zvezo:
. Glede na to, da dolžine vektorjev nismo spreminjali, je za spremenljivo vrednost skalarnega produkta odgovoren faktor
.
Dopolni naslednje besedilo.
=
. V tem primeru sta vektorja
usmerjena in skalarni produkt doseže
vrednost. Kosinus ostrega kota
, se pravi, ko je
° <
<
°, je
število, zato je tudi
>
. Ker je kosinus kota
° enak 0, je v tem primeru tudi
=
. Če je
° <
<
°, je kot
topi kot. V tem primeru je kosinus kota
število, zaradi česar je tudi skalarni produkt
. Najmanjšo vrednost doseže skalarni produkt takrat, ko je
= 180°, ko je med vektorjema iztegnjen kot in sta torej
usmerjena. Ker je kosinus kota 180° enak
, je
(
)=-
.
Imamo dva vektorja, prvega z dolžino 3 in drugega z dolžino 2. Kaj lahko sklepaš iz posameznih primerov, če veš, da je vrednost njunega skalarnega produkta:
- 6,
- 5,5,
- 0,
- –2,
- –6 ?
in
in razen kota med vektorjema spreminjaš tudi dolžino vektorja
. Kako še lahko dosežeš vrednost skalarnega produkta 0?Imejmo vektorja
in
, za katera je
. Izračunaj njun skalarni produkt v petih različnih legah. Upoštevaj točno vrednost kosinusa kotov.
Koti med vektorjema so: 0°, 60°, 90°, 150° in 180°.
Če si ogledamo obrazec za izračun skalarnega produkta dveh vektorjev, vidimo, da v njem nastopata dolžina vektorja, ki jo lahko predstavimo tudi kot razdaljo med začetno in končno točko vektorja, ter kot med vektorjema.
Zato bo skalarni produkt v geometriji pri računanju razdalj oziroma dolžin ter računanju kotov nepogrešljiv.
.
, poenostavi obrazec in izrazi dolžino vektorja
. Kot med vektorjema izračunamo s formulo:
.Dolžino vektorja izračunamo takole:

, saj nepremišljeno korenjenje desne strani enakosti vodi v velik nesmisel, da je namreč
. Enakost je nesmiselna, saj je na levi strani realno število, na desni pa vektorska količina. Izračunaj kot med vektorjema
in
z dolžinama
in
, če je njun skalarni produkt:
- 3,
- 3√2,
- 5,5,
- –2.
. Iz dobljene vrednosti kosinusa kot
ugotovimo na pamet ali pa uporabimo kalkulator in tipko INVCOS ali COS–1 ali ARCCOS.Projekcija vektorja na vektor ni vektor, kot bi morda pričakovali na podlagi geometrijske predstave projiciranja, ampak je število, definirano na naslednji način.
Projekcija vektorja
na vektor
je število
,
kot med vektorjema
in
.
in
oklepata največ pravi kot, nam dobljeno število pove dolžino vektorja, ki nastane ob projiciranju vektorja
na vektor
, če pa vektorja
in
oklepata kot, večji od pravega, število pove nasprotno vrednost dolžine vektorja, ki nastane s projiciranjem vektorja
na vektor
. To nazorno prikazuje tudi spodnja slika. Kakšen je geometrijski pomen izraza za projekcijo vektorja na vektor, si podrobneje oglejmo ob spodnjih dveh slikah: če je kot med vektorjema oster (ali ničelni), z izrazom
izračunamo dolžino kotu
priležne katete v nastalem pravokotnem trikotniku, če pa je kot med vektorjema topi kot (ali iztegnjeni), pa priležna kateta meri
, saj je kosinus kota in s tem projekcija vektorja negativno število.
Tako absolutna vrednost projekcije vektorja na vektor meri dolžino vektorja, ki nastane ob projekciji, predznak pa govori o vrsti kota med vektorjema (ostri oziroma ničelni ali topi oziroma iztegnjeni).
Zdaj lahko osnovno formulo za skalarni produkt prepišemo še v drugo obliko:
.Imejmo že znana vektorja z dolžinama
in
, kot med njima pa naj bo:
- 60°,
- 150°.
V obeh primerih izračunaj
in
.
- Najprej naj bo
. Vemo, da je
in
.
- V drugem primeru je
. Tokrat je
in
.
Po množenju vektorja s skalarjem je skalarni produkt že druga tako imenovana zunanja operacija, kar pomeni, da faktorja, ki ju množimo, in njun produkt niso iz iste množice.
Tako kot produkt vektorja s skalarjem ima tudi skalarni produkt nekaj prav posebnih lastnosti.
Skalarni produkt je
- komutativen, kar pomeni, da je
;- distributiven, kar pomeni, da je
in- homogen, kar pomeni, da je
, kjer so vektorji
in
znani ortonormirani vektorji. Pri računanju upoštevamo distributivnost in homogenost skalarnega produkta, kar pomeni, da množimo vsak člen z vsakim in pri tem skalarje sproti prenašamo na začetek vsakega člena. Tako dobimo:
.
Zdaj upoštevamo, da je skalarni produkt pravokotnih vektorjev 0 in da je produkt vektorja samega s seboj enak kvadratu njegove dolžine. Iz prejšnjega sledi:
. 2. Izračunaj dolžino vektorja
, če je
in kot med vektorjema
in
meri 45°.
Pri reševanju te naloge se spomnimo na obrazec za dolžino vektorja, ki pravi, da je
, pa tudi brez distributivnosti in definicije skalarnega produkta ne bo šlo.
.
Po vstavljanju podatkov sledi izračun:
.
3. Izračunaj še kot med vektorjema
in
, če gre za vektorja iz prejšnje naloge.
Nalogo bomo ugnali z obrazcem za kosinus kota med vektorjema, ki je
.
V tej nalogi igra vlogo vektorja
vektor
. Tako je:
.
je lahko enak 0 iz treh razlogov:
ali
ali
, kar pomeni, da je
=90°, da sta vektorja
in
pravokotna.
,
,
,
,
.
izraziti faktor
, moramo enakost na obeh straneh deliti s produktom dolžin obeh vektorjev in tako dobimo izraz:
.
upoštevamo, da je
, dobimo
. Torej je
, iz česar pa sledi, da je
, kar je iskana formula za dolžino vektorja. 



in
.
in
.
.
. V čem je osnovna težava tega zapisa? V tem, da vse zapisane pikice za množenje sploh ne morejo pomeniti skalarnega produkta, saj po množenju vektorjev
in
dobimo skalar, ki ga ne moremo skalarno množiti z drugim vektorjem. Podobno se zgodi na desni strani enakosti. Zapis v smislu asociativnosti je nesmiseln, zato zagotovo ni pravilen.
.