Uporaba vektorjev

Z vsem pridobljenim znanjem bomo tokrat reševali naloge, v katerih zelo koristno uporabimo vektorje.

Čeprav smo se z mnogimi nalogami srečali že v prejšnjih poglavjih med obravnavo snovi, bomo nekatere, najznačilnejše za uporabo vektorjev, reševali še v tem zadnjem poglavju.

Naloge, v katerih nam vektorji najbolj koristijo, ponavadi zahtevajo računanje dolžin, kotov, preverjajo pravokotnost ali vzporednost kakih objektov in podobno. Vektorji so še posebno nepogrešljivi v nalogah, ki se dogajajo v tridimenzionalnem prostoru, saj si pri vprašanjih vzporednosti in pravokotnosti ne moremo pomagati s smernimi koeficienti premic oziroma daljic, kot si lahko v ravnini.

Pa začnimo!

Dokazati, da je lik kvadrat? Nič lažjega!
Dokaži, da vektorja in določata stranici kvadrata, in izračunaj njegovo ploščino.
Vektorja morata biti pravokotna in se morata ujemati v dolžini.

Izračunamo njun skalarni produkt. Če je enak 0, sta vektorja pravokotna.

Skalarni produkt danih vektorjev je , kar dokazuje pravokotnost vektorjev, njuni dolžini pa sta in .

Oboje skupaj potrjuje, da vektorja res določata kvadrat s ploščino 36.

Od kvadrata k pravokotnemu trikotniku

Pokaži, da je trikotnik z oglišči A(5, –3, 5), B(8, 2, –2) in C(2, –1, 1) pravokotni trikotnik, nato pa izračunaj obseg in ploščino trikotniku očrtanega kroga.

Da je trikotnik pravokoten, že znamo pokazati: mimogrede izračunamo, da je skalarni produkt vektorjev in enak 0. Naredi to sam.

Za drugi del naloge pa potrebuješ del znanja geometrije iz 1. letnika. Se še spomniš, kako pravokotnemu trikotniku očrtamo krog?

Središče pravokotnemu trikotniku očrtanega kroga leži v razpolovišču hipotenuze. To zagotavlja Talesov izrek, ki pravi, da je vsak obodni kot nad premerom kroga pravi kot.

Najprej k polmeru R trikotniku očrtanega kroga: izračunamo S očrtanega kroga, ki je razpolovišče hipotenuze AB, nato pa razdaljo med točkama S in C. Gre tudi drugače, z izračunom polovice dolžine hipotenuze AB. Ko imamo R, se lotimo obsega in ploščine:

, , , .

Paralelogram in vektorji

Dana so oglišča štirikotnika ABCD: A(–2, 0, 1), B(3, 1, –2), C(10, 3, –6) in D(5, 2, –3).

1. Dokaži, da je štirikotnik ABCD paralelogram.

Štirikoznik ABCD je paralelogram, ko ima dve nasprotni stranici vzporedni in skladni, kar pomeni, da sta vektorja na takih dveh stranicah enaka (če ju enako usmerimo).

Če je ABCD paralelogram, mora biti . Preverimo, ali enakost drži: , prav tako pa je .

2. Izračunaj dolžini obeh diagonal paralelograma.
Na celotno diagonalo postavimo vektor in izračunamo njegovo dolžino.

Dolžina diagonale AC je .

Podobno je  .

3. Določi presečišče S diagonal paralelograma.

Presečišče diagonal v ravninskem liku bi verjetno izračunali z enačbami premic, na katerih presečišče leži. V prostoru pa enačb premic (še) ne znamo zapisati. Kako kljub temu določimo presečišče diagonal paralelograma?

Diagonali v paralelogramu se razpolavljata, zato je presečišče S obeh diagonal pravzaprav razpolovišče daljice AC, pa tudi daljice BD. Uporabili bomo obrazec za razpolovišče daljice.

Presečišče diagonal S je razpolovišče daljice AC, zato je . Tako ima točka S koordinate .

4. Izračunaj kot med diagonalama paralelograma na stotinko stopinje natančno.

Najbolje je računati kot med vektorjema in . Lahko bi računali tudi kot med in , ker pa bi se pri računanju točke S lahko zmotili, je prva možnost računanja varnejša.

Kot med diagonalama paralelograma lahko izračunamo takole:

.

5. Kolikšna je ploščina paralelograma?

Običajno pomislimo na tisto, pri kateri je treba pomnožiti osnovnico in pripadajočo višino, torej S=a·v. Če višino izrazimo s kotom paralelograma, dobimo S=a·b·sinα.

Obstaja pa še druga možnost: ploščino poljubnega štirikotnika lahko izračunamo tako, da pomnožimo obe dolžini diagonal s sinusom kota med njima in produkt delimo z 2.

Ploščina paralelograma je tako S=½ ·e·f·sinΦ, kjer je Φ kot med diagonalama e=AC in f=BD.

Tako je .

Ne pozabimo na trapez

Pokaži, da so točke A(–2, –5, 0), B(3, 5, –5), C(1, 4, 2) in D(–1, 0, 4) oglišča trapeza, nato pa:

  • izračunaj presečišče diagonal trapeza;
  • zapiši enačbo premice, na kateri leži srednjica trapeza;
  • izračunaj ploščino trapeza.
Trapet mora imeti dve vzporedni stranici.
Če sta npr. AB in CD vzporedni stranici, sta vzporedna tudi vektorja, ki na teh dveh stranicah ležita. To pomeni, da lahko enega od njiju izrazimo z drugim.

Pokažimo, da je , pri čemer je k neko realno število.

,

Hitro vidimo, da je iskano število , saj so količniki istoležnih komponent . Zato je , kar potrjuje vzporednost stranic AB in CD in ugotovitev, da je štirikotnik trapez.

Za izračun presečišča diagonal potrebujemo skico trapeza.

Ker iščemo koordinate točke S, določamo komponente njenega krajevnega vektorja. Če ga bomo s podatki (krajevnimi vektorji oglišč trapeza) izrazili na dva različna načina in ju enačili, bomo iz nastalega sistema enačb izračunali koordinate točke S.

Za prvi način zapisa krajevnega vektorja točke S izberemo na primer tega:

.

Če pišemo, da je neznani vektor , ostala vektorja pa izračunamo in nato obravnavamo vsako komponento vektorjev posebej, dobimo naslednji sistem enačb:

.

Čeprav je možnosti več, izberimo tisto pot do S, ki gre do B in nato vzame še del vektorja , torej:

.

Iz te enakosti dobimo sistem enačb:

.
Po enačenju obeh zapisov koordinate x, obeh zapisov za y in za z in po potrebnem urejanju sledi:
.
Rešitev tega sistema da koordinate točke S: .

 

Tudi tokrat potrebujemo sliko trapeza z vidno nosilko srednjice trapeza. Klikni na naslednji gumbek.

Opisati moramo lego poljubne točke na želeni premici. Na zgornji sliki je označena s T.

Da bo točka T zagotovo ležala na premici skozi M in N, moramo najprej prehoditi vektor do premice, na primer krajevni vektor točke M, potem pa se premikati vzdolž vektorja poljubno daleč v eno ali drugo stran. Vse povedano krajše strne naslednja enakost:

.
Če za poljubno točko T pišemo T(x, y, z), enačbo premice nosilke srednjice zapišemo kot:
,
kar v zapisu po posameznih komponentah tvori sistem enačb:
,
,
.
Če za k izbiramo različna realna števila, s tem računamo različne točke, ki pa vse ležijo na želeni premici.
Jasno je, da smo najprej morali izračunati koordinate točk M in N kot razpolovišči ustreznih daljic in pri tem smo dobili in . Preveri sam.
Prva formula vam je znana že iz osnovne šole. To je tista, ki pravi, da je treba pomnožiti srednjico in višino trapeza, drugo pa smo navedli v tem poglavju v nalogi s paralelogramom. Poišči jo.
Srednjico izračunamo kot povprečno vrednost trapezovih osnovnic, se pravi kot , pri čemer si pomagamo z dolžinami ustreznih vektorjev, višino pa najlažje z uporabo kotne funkcije sinus, in sicer kot ; še prej je treba izračunati kot α po formuli za kot med ustreznima vektorjema, to sta in .

Tu so podani natančni rezultati, brez zaokroževanja, razen v primeru ploščine:

.

Sam izračunaj ploščino še na drugi način tako, da pomnožiš dolžini obeh diagonal s polovico sinusa kota med diagonalama.

Vzporedni premiki – snov, kjer vektorji zablestijo

Ni boljšega matematičnega objekta za opis vzporednega premika, kot je vektor, saj v sebi zajema tako opis smeri kot dolžine premika.

Rešimo naslednjo nalogo

Trikotnik ABC z oglišči A(–3, –1, –4), B(2, 1, –2) in C(–1, 3, 1) vzporedno premakni tako, da se bo oglišče A premaknilo v točko A'(1, –5, –3).

Interaktivno besedilo I

Očitno je, da se tako B kot C premakneta za isti vektor kot točka A, ki se premakne za vektor .

Tako je , torej je točka

B'(6, –3, –1).

Točko C' (3, –1, 2) določi z računom sam.

So vse točke na isti premici?
Preveri, ali so točke A(0, –2, 8), B(2, 4, 6), C(6, 16, 2) in D(14, 40, –6) kolinearne.
Če točke A, B, C in D ležijo na isti premici, so vektorji , in zagotovo kolinearni, kar pomeni, da vse izrazimo z enim od njih. Poudariti je treba, da samo kolinearnost vektorjev in ne zadošča za to, da bi vse štiri točke ležale na isti premici, saj se lahko zgodi, da sta A in B na eni, C in D pa na drugi premici. Obe možnosti prikazuje spodnja slika.
Točke A, B, C in D določajo naslednje vektorje:  in . Hitro uvidimo, da je  in . Ker lahko vse tri vektorje izrazimo z enim, so kolinearni, s tem pa so kolinearne tudi točke A, B, C in D.
Kot med telesnima diagonalama kocke - drugič

Vam je naloga o kotu med telesnima diagonalama kocke ABCDA'B'C'D' znana? Če ste skrbno naredili domačo nalogo v poglavju o skalarnem produktu, se je morda spomnite. Tam smo imeli opravka s kocko z robom a.

Ohranimo to kocko. Tokrat jo za spremembo postavimo v koordinatni sistem tako, da je oglišče D v koordinatnem izhodišču, robovi kocke pa potekajo v smeri koordinatnih osi. Narišimo skico.

To sta lahko vektorja in  .

 

Točke, ki razdelijo daljico na enake dele
Kako izračunamo razpolovišče daljice, že vemo. Tokrat bi radi izpeljali obrazec za koordinate točke Tx, ki stoji na koncu x-tega dela, če smo daljico AB razdelili na n enakih delov. Narišimo skico.
Ker smo daljico AB razdelili na n enakih delov, je x lahko najmanj 0 (takrat je Tx=A) in največ n (takrat je Tx=B).

Do točke Tx pridemo tako, da gremo do točke A, nato pa vzamemo primeren del celotne daljice AB. Glede na to, da je vseh delov daljice n, do točke Tx pa jih potrebujemo x, prehodimo del daljice, ki ga opiše ulomek . Vse to strnemo v enakost:

.
 
Če vektor izrazimo s krajevnima vektorjema točk A in B in izraz uredimo, pridemo do iskanega obrazca:
 
.
V tem primeru mora biti n=2 (delitev daljice na 2 enaka dela) in x=1, saj nas zanima točka na koncu prvega delitvenega dela. Preveri, ali res dobiš znano formulo.
Pa naj bo primerov dovolj. Upam, da nam je uspelo prikazati uporabnost vektorjev, ki jo boš še bolje utrdil v dodatnih nalogah.