Večkotniki

Večkotniki so ravninski liki. Opisali bomo njihove lastnosti in se naučili izračunati število diagonal.
V vsakdanjem življenju se pogosto srečujemo z večkotniki. Poglejmo nekaj primerov.
Ikona ucSredstva Primeri večkotnikov
Prikaži Vzorec iz štirikotnikov Sliko
Vzorec iz štirikotnikov
Prikaži Vzorec iz barvnih večkotnikov Sliko
Vzorec iz barvnih večkotnikov
Prikaži Zgradba gvanina – gradnika DNK Sliko
Zgradba gvanina – gradnika DNK
Prikaži Kemijska formula benzena Sliko
Kemijska formula benzena

Kako bi opisali like, ki se pojavljajo na zgornjih slikah? Dogovorimo se najprej, kaj je lomljenka.

Lomljena črta (ali lomljenka) je krivulja, sestavljena iz dveh ali več med seboj povezanih daljic. Poglejmo nekaj primerov.

 
Ikona ucSredstva Lomljenke
Prikaži Nesklenjena, enostavna Sliko
Nesklenjena, enostavna
Prikaži Nesklenjena, neenostavna Sliko
Nesklenjena, neenostavna
Prikaži Sklenjena, enostavna Sliko
Sklenjena, enostavna
Prikaži Sklenjena, neenostavna Sliko
Sklenjena, neenostavna
Večkotnik je del ravnine, omejen s sklenjeno, enostavno lomljenko.
 
Na sliki spodaj je narisan večkotnik.
img34_5
Sedemkotnik
Točke P1,P2, ... P7 so oglišča večkotnika. Daljice, ki povezujejo dve sosednji oglišči (P1P2 , P2P3, ...) so stranice večkotnika. Daljice, ki povezujejo nesosedna oglišča (P1P6,P2P6,...), so diagonale večkotnika. Stranici sta sosednji, če imata skupno oglišče. Dve sosednji stranici določata notranji kot (α, β, ...). Sokoti notranjih kotov so zunanji koti (α',β', ...).
Večkotnik poimenujemo glede na število oglišč (stranic, notranjih kotov, zunanjih kotov). Trikotnik ima 3 oglišča, stranice, notranje in zunanje kote, dvanajstkotnik ima dvanajst oglišč, stranic, notranjih in zunanjih kotov, n-kotnik ima n oglišč, n stranic, n notranjih in n zunanjih kotov.
 
Konstrukcija pravilnega šestkotnika

Na animaciji opazuj, kako lahko narišemo šestkotnik, ki ima vse stranice enako dolge in vse notranje kote skladne. Pravimo mu pravilni šestkotnik. Animacijo lahko kadar koli prekineš ali ponovno poženeš tako, da klikneš nanjo.

Opišimo še potek konstrukcije. Najprej narišemo krožnico s poljubnim polmerom (označimo ga recimo z r). Nato si na krožnici izberemo poljubno točko (označimo jo s P1). To bo prvo oglišče šestkotnika. Nato narišemo krožnico s središčem v izbrani točki P1 in z istim polmerom r. Presečišče prve in druge krožnice je oglišče P2. Postopek nadaljujemo. Narišemo krožnico s središčem v točki P2 s polmerom r. Presečišče prve krožnice z narisano krožnico je oglišče P3. Na enak način dobimo oglišča P4,P5 in P6.
 
Odgovori
Kolikšen mora biti polmer prve krožnice (označili smo ga z r), da bo stranica šestkotnika dolga 1 cm?
  
1 cm
2 cm
6 cm
Konveksni večkotniki
Spomnimo se, kdaj rečemo, da je množica točk v ravnini konveksna. Povedali smo, da je množica točk v ravnini konveksna, če za poljubni dve točki A in B iz te množice velja, da je daljica AB njena podmnožica.
 
Na sliki imamo dva šestkotnika.
img6_5
Eden izmed šestkotnikov je konveksen.
Dopolni
Konveksen je šestkotnik z oznako
  

 
Poglejmo primera večkotnikov, enemu pravimo pentagram, drugemu pa pentagon (ali pravilni petkotnik). Eden je konveksen, druga pa ni. Poglej slike, nato pa sam ugotovi, kateri je konveksen, kateri pa ni.
Ikona ucSredstva Pentagrami in pentagoni
Prikaži Da Vincijeva študija  telesa Sliko
Da Vincijeva študija telesa
Prikaži Pentagram čez študijo Sliko
Pentagram čez študijo
Prikaži Slika iz filma Da Vincijeva šifra  Sliko
Slika iz filma Da Vincijeva šifra
Prikaži Zvezde v zastavi so pentagrami Sliko
Zvezde v zastavi so pentagrami
Prikaži Prijemalka v obliki pentagona Sliko
Prijemalka v obliki pentagona
Prikaži Zgradba Pentagon v ZDA Sliko
Zgradba Pentagon v ZDA
Odgovori
1. Pentagon je konveksen lik.
Pravilno Napačno

2. Pentagram je konveksen lik.
Pravilno Napačno

 
Konstrukcija pentagrama

Poskusi konstruirati pentagram.

Na sliki je že narisan pravilni petkotnik (petkotnik, ki ima vseh pet stranic enako dolgih). Nariši pentagram! Pri tem imaš na voljo gumbe v zgornji vrstici. S prvim gumbom narišeš točko. Gumb izbereš tako, da klikneš nanj, točko pa narišeš tako, da klikneš na risalno površino. Z drugim gumbom narišeš daljico. Ko ga izbereš, narišeš daljico tako, da označiš obe oglišči daljice. Z zadnjim gumbom rišemo večkotnike. Izbrati moramo vsa oglišča večkotnika (kot bi povezovali oglišča med seboj z ravnilom), zadnje oglišče je tisto, s katerim smo začeli. Če rišeš štirikotnik ABCD, moraš klikniti na točke A, B, C, D, nato pa spet na A.

Ko bo naloga rešena, boš o tem obveščen.

 
Za n-kotnik velja, da je konveksen, če za vsako nosilko stranice n-kotnika velja, da preostala oglišča ležijo na isti polravnini te nosilke. 
Opazuj

Preveri trditev na primeru.

Pomikaj s pomočjo drsnika levo zgoraj točko P6. Opazuj napis ob liku desno. Ko so oglišča na različnih bregovih nosilke stranice P1P6 (v našem primeru je oglišče P5 na drugi polravnini kot ostala oglišča), lik ni konveksen.
 
Število diagonal večkotnika
Preštejmo še število diagonal v n-kotniku. Začnimo s petkotnikom.
img22_3

Iz točke P1 lahko potegnemo dve diagonali ( v P3 in P4, ki sta nesosedni oglišči ). Iz P2 lahko tudi potegnemo dve diagonali ( v oglišči P4 in P5). Prav tako tudi iz preostalih treh oglišč narišemo po dve diagonali. To pomeni, da lahko iz vsakega oglišča potegnemo tri diagonale manj, kot je število oglišč ( v primeru petkotnika iz vsakega oglišča lahko potegnemo 5-3 = 2 diagonali). Iz slike vidimo, da na tak način vsako diagonalo štejemo dvakrat. (diagonala P1P3 je ista kot diagonala P3P1, diagonala P1P4 je ista kot diagonala P4P1,... ). Vseh oglišč je v petkotniku 5. Izračunajmo (lahko tudi prešteješ) število diagonal .

 

Po zgornjem razmisleku lahko zapišemo tudi število diagonal poljubnega n-kotnika.

 
Poskusi rešiti
1. Izračunajmo število diagonal 9-kotnika.

Rešitev : Devetkotnik ima 27 diagonal.

2. Ali lahko ugotovimo kateri n-kotnik ima 14 diagonal?

Če je število diagonal 14 in upoštevamo fromulo za izračun števila diagonal n-kotnika, dobimo:

Pomnožimo obe strani enačbe z 2.

28=n(n-3) Odpravimo oklepaje

28=n2 -3n Rešimo kvadratno enačbo

n2 -3n - 28 =0 Razstavimo po Vietovem pravilu

(n-7)(n+4)=0

Enačba ima dve rešitvi n1=7 in n2 =-4. Druga rešitev je negativna, zato ne predstavlja rešitve zastavljenega problema.

Rešitev: 14 diagonal ima sedemkotnik.

 
Preveri svoje znanaje
Koliko diagonal ima 13 kotnik?

65
60
70

Kateri n-kotnik ima 20 diagonal?

Sedemkotnik
Osemkotnik
Devetkotnik

 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008