Logaritemska funkcija
Vaš brskalnik je zastarel
Gradiva nauk.si zahtevajo za pravilen prikaz sodoben brskalnik. Preverjeno delujejo z brskalniki Mozilla Firefox 3.5+, Google Chrome 4.0+, Safari 4.0+, Internet Explorer 8.0+ ali Opera 10.50+.
V primeru, da uporabljate Internet Explorer 8, preverite, če imate vklopljen združljivostni način (Compatibility view), ki ga lahko izklopite s klikom na ikono, ki jo vidite na spodnji sliki.
Povezave na najnovejše različice brskalnikov:
Logaritemska funkcija
Avtor: Skupina NAUK
Težavnost: Splošna znanja
Cilji učnega načrta: Razumevanje pojma logaritemske funkcije, risanje grafa logaritemske funkcije, uporaba pravil za računanje z logaritmi in reševanje logaritemskih enačb.
Hvala za ogled gradiva!
Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.
Sodelujoče organizacije
Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.
Definicija logaritemske funkcije
Logaritemska funkcija z osnovo $a$ (kjer je $a > 0$ in $a\neq 1$) je preslikava $f\colon x \rightarrow \log_a x$, za vse $x > 0$. Logaritemska funkcija je inverzna eksponentni funkciji z enako osnovo, velja:
Ničla logaritemske funkcije
Vse logaritemske funkcije imajo pri $x=1$ vrednost $y=0$. To pomeni, da je ničla logaritemske funkcije v točki $T(1,0)$.
Definicijsko območje in zaloga vrednosti logaritemske funkcije
Definicijsko območje logaritemske funkcije je množica vseh pozitivnih realnih števil: $D_f=(0,\infty)$, zaloga vrednosti pa je množica vseh realnih števil: $Z_f=\mathbb{R}$.
Lastnosti logaritemske funkcije
Funkcija $f(x)=\log_a x$ ima naslednje lastnosti:
- Za $a > 1$ je funkcija naraščajoča, za $0 < a < 1$ je funkcija padajoča.
- Funkcija je navzgor in navzdol neomejena.
- Graf logaritemske funkcije gre skozi točko $T(1,0)$.
Ordinatna os je navpična asimptota.
Graf logaritemske funkcije
Graf logaritemske funkcije je krivulja z enačbo $y=\log_a x$. Grafično jo dobimo tako, da eksponentno funkcijo prezrcalimo preko simetrale lihih kvadrantov $y=x$.
Graf logaritemske funkcije
Zgled: Narišite graf funkcije $f(x)=\log_3 (x+2)$, zapišite definicijsko območje in pol dane funkcije.
Rešitev:
Najprej narišemo graf eksponentne funkcije $y=3^{x+2}$ ter ga zrcalimo preko simetrale $y=x+2$. Funkcija $f$ je premaknjena za $2$ v levo, kar pomeni da je tudi premica, čez katero zrcalimo premaknjena za $2$ v levo oz. $y=x+2$.
Definicijsko območje: $D_f=(-2,\infty)$
Pol: $x=-2$
Pravila za računanje z logaritmi
1. $\log_a a=1$
2. $\log_a 1=0$
3. $\log_a (x\cdot y)=\log_a x+\log_a y$, kjer sta $x,y > 0$.
4. $\log_a \left(\frac{x}{y}\right)=log_a x-\log_a y$, kjer sta $x,y > 0$.
5. $\log_a x^r=r\cdot \log_a x$, kjer je $r\in \mathbb{R}$ in $x > 0$.
6. $\log_a \sqrt[r]{x}=\frac{1}{r}\cdot \log_a x$, kjer je $r\in \mathbb{R}$ in $x > 0$.
Zgled
Zgled: Logaritmirajte izraz $\log_5 \sqrt[4]{\frac{x^3}{5y}}$.
Rešitev:
$\log_5 \sqrt[4]{\frac{x^3}{5y}}=$
$=\frac{1}{4}\cdot \log_5 \frac{x^3}{5y}=$
$=\frac{1}{4} \left[\log_5 x^3-\log_5 5y\right]=$
$=\frac{1}{4} \left[3 \cdot \log_5 x-\left(\log_5 5+\log_5 y\right)\right]=$
$=\frac{1}{4}\left[3 \cdot \log_5 x-1-log_5 y\right]=$
$=\frac{3}{4} \cdot \log_5 x-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cdot \log_5 y$
Dokaz
$\sqrt[r]{x}$ lahko zapišemo v obliki potence kot $x^{\frac{1}{r}}$. Torej lahko z upoštevanjem 5. pravila zapišemo $\log_a \sqrt[r]{x}=\log_a x^{\frac{1}{r}}=\frac{1}{r}\cdot \log_a x$.
Dokaz za logaritem produkta
Vzemimo: $\log_a x_1=y_1 \Rightarrow x_1=a^{y_1}$ in $\log_a x_2=y_2 \Rightarrow x_2=a^{y_2}$. Produkt $x_1 \cdot x_2=a^{y_1+y_2}$ logaritmiramo in dobimo $\log_a \left(x_1 \cdot x_2\right)=y_1+y_2=\log_a x_1+\log_a x_2$. Dokazali smo, da je logaritem produkta pri isti osnovi enak vsoti logaritmov posameznih faktorjev.
Desetiški logaritem in naravni logaritem
Kot posebna primera logaritmov si oglejmo desetiški in naravni logaritem:
logaritme z osnovo 10 imenujemo desetiški (Briggsovi) logaritmi in jih zapišemo kot
$$\log_{10} x=\log x$$
logaritme z osnovo $e$ imenujemo naravni (Napierovi) logaritmi in jih zapišemo kot
$$\log_e x=\ln x$$
Vrednost števila $e$
$e=2,718281828...$
Prehod k novi osnovi
Logaritma števila $x$ pri osnovi $a$ in pri osnovi $b$ povezuje zveza:
Velja: $\log_b a \cdot \log_a b=1$
Primeri
Primeri:
1. $\log_3 7\cdot \log_7 3=1$
2. $\log_2 10=\frac{\log_5 10}{\log_5 2}$
3. $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$
4. $\ln x=\frac{\log x}{\log e}$
Dokaz za prehod k novi osnovi
Definicijo logaritma že poznamo: $\log_a x=y \Rightarrow x=a^y$.
Logaritmiramo glede na osnovo $b$: $\log_b x=y\cdot \log_b a$.
Izrazimo $y$: $y=\frac{\log_b x}{\log_b a}$, ter vstavimo $y=\log_a x$.
Dobimo: $\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}$
Logaritemske enačbe
V logaritemski enačbi nastopa neznanka v logaritmu ali v njegovi osnovi. Pri reševanju logaritemskih enačb običajno dobimo eno izmed dveh oblik rešitve:
Reševanje logaritemskih enačb si oglejmo na naslednjih zgledih.
Zgled: Rešite enačbo $\log_4 x=1$.
Rešitev:
$\log_4 x=1$
$x=4^1=4$
Zgled: Rešite enačbo $\log_x 27=3$.
Rešitev:
$\log_x 27=3$
$27=x^3$
$x=\sqrt[3]{27}$
$x=3$
Ne. Logaritem negativnega števila ni definirano število, zato je logaritmand lahko le pozitivno število.
Zgledi logaritemskih enačb
Zgled: Rešite enačbo $\log (2-x)+3\cdot \log \sqrt[3]{x}=0$.
Rešitev:
$\log (2-x)+3\cdot \log \sqrt[3]{x}=0$
$\log \left((2-x)\cdot(x^{\frac{1}{3}})^3\right)=0$
$\log \left((2-x)\cdot x\right)=0$
$\log \left(2x-x^2\right)=0$
$2x-x^2=1$
$x^2-2x+1=0$
$(x-1)^2=0$
$x=1$
Zgled
Zgled: Rešite enačbo $\log^2 x+\log x^2=-3$.
Rešitev:
$\log^2 x+\log x^2=-3$
$\log x\cdot \log x+2\cdot \log x=-3$
Uvedemo novo neznanko: $z=\log x$ in dobimo enačbo $z^2+2z+3=0$ ter jo razstavimo:
$(z+3)(z-1)=0$
$z=-3$
$z=1$
Izračunamo $x$:
| $\log x=-3$ | $\log x=1$ |
| $x_1=10^{-3}$ | $x_2=10$ |
Zgledi logaritemskih enačb
Zgled: Rešite enačbo $\log (x^2+9x+48)=2$.
Rešitev:
$\log (x^2+9x+48)=2$
$x^2+9x+48=10^2$
$x^2+9x+48-100=0$
$x^2+9x-52=0$
$(x+13)(x-4)=0$
$x_1=4$
$x_2=-13$
Zgled: Rešite enačbo $\log_3 x+\log_9 x+\log_27 x=11$.
Rešitev: Upoštevajmo zvezo $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$.
$\frac{1}{\log_x 3}+\frac{1}{\log_x 9}+\frac{1}{\log_x 27}=11$
$\frac{1}{\log_x 3}+\frac{1}{2\cdot\log_x 3}+\frac{1}{3\cdot\log_x 3}=11$ Enačbo množimo z $\log_x 3$
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=11\cdot \log_x 3$
$\frac{1}{6}=\log_x 3$
$3=x^{\frac{1}{6}}$
$x=3^6=729$
Zgledi logaritemskih enačb
Zgled: Rešite enačbo $\log_2 (18x-17)+\log_2 x-1=\log_2 (x^3-4)-\log_2 (x+1)+2\cdot \log_2 3$.
Rešitev:
$\log_2 (18x-17)+\log_2 x-1=\log_2 (x^3-4)-\log_2 (x+1)+2\cdot \log_2 3$
$\log_2 (18x-17)+\log_2 x-\log_2 2=\log_2 (x^3-4)-\log_2 (x+1)+\log_2 3^2$
$\log_2 \left((18x-17)\cdot x : 2\right)=\log_2 \left(x^3-4):(x+1)\cdot 3^2\right)$
$\frac{18x^2-17x}{2}=\frac{9x^3-36}{x+1}$
$(18x^2-17x)(x+1)=2\cdot (9x^3-36)$
$18x^3+18x^2-17x^2-17x=18x^3-72$
$x^2-17x+72=0$
$(x-9)(x-8)=0$
$x_1=9$
$x_2=8$
difficulty
Splošna znanja
main_title
Logaritemska funkcija
author
Skupina NAUK
un_goals
Razumevanje pojma logaritemske funkcije, risanje grafa logaritemske funkcije, uporaba pravil za računanje z logaritmi in reševanje logaritemskih enačb.
title
Logaritemska funkcija
