Kompleksna števila
Kompleksna števila
Težavnost: Splošna znanja
Avtor: Sodelavci NAUK
Cilji učnega načrta: Poznavanje razlogov za vpeljavo kompleksnih števil, upodobitev kompleksnih števil v ravnini, računske operacije s kompleksnimi števili, pravila za potence števila i, poznavanje konjugiranega števila in absolutne vrednosti kompleksnih števil, iskanje rešitev kompleksne enačbe.
Kazalo
Razlogi za uvedbo kompleksnih števil
Znate rešiti enačbo oziroma ?
Opazili ste, da takšna enačba nima realnih rešitev, zato uvedemo novo množico števil, to so kompleksna števila.
Uvedemo posebno enoto, ki ji pravimo imaginarna enota i in velja
Množico kompleksnih števil zapišemo kot
Število je realna komponenta oziroma realni del števila , kar zapišemo kot , število pa imaginarna komponenta oziroma imaginarni del števila , kar zapišemo kot .
Množice števil
Naravna števila so števila, s katerimi štejemo, to so števila od 1 do neskončno. Množico celih števil dobimo tako, da množici naravnih števil dodamo vsa negativna cela števila in število 0. Množico racionalnih števil sestavljajo vsi okrajšani ulomki, realnih pa vsa neskončna decimalna števila. To lahko izrazimo tudi krajše, s simboli:
Realno število
Neko kompleksno število je realno število, če imaginarne komponente ni, torej, če velja, da je . Takrat je in število je realno. Na primer, število je realno število.
Čisto imaginarno število
Neko kompleksno število je čisto imaginarno število, če nima realne komponente (). Velja in število je imaginarno. Na primer, število je čisto imaginarno število.
Kvadratna enačba
Namesto števila lahko zapišete kar , saj ste izvedeli, da velja . Sledi , rešitvi pa sta .
Grafična upodobitev kompleksnih števil
Vsako kompleksno število lahko upodobimo v kompleksni ravnini na dva načina, s točkami ali s krajevnim vektorjem. S premikanjem rdeče obarvane točke lahko vidite spreminjanje krajevnega vektorja in s tem zapisa kompleksnega števila.
Grafična upodobitev
Upodobiti ste morali vsa kompleksna števila, kjer je realna komponenta enaka 3. Rešitev je prikazana na sliki.
|
Grafična upodobitev
Upodobiti ste morali vsa kompleksna števila, kjer je imaginarna komponenta manjša od 2. Rešitev je prikazna na sliki.
|
Računanje s kompleksnimi števili
Množenje kompleksnih števil z realnimi števili
Naj bo število in . Potem veljaNasprotno število
Kompleksnemu številu nasprotno število jeSeštevanje in odštevanje kompleksnih števil
Imamo kompleksni števili in . VeljaZa seštevanje in odštevanje kompleksnih števil veljajo običajna računska pravila.
Množenje kompleksnih števil
Imamo kompleksni števili in . VeljaZa množenje kompleksnih števil veljajo običajna računska pravila.
Seštevanje in odštevanje kompleksnih števil
Če imamo dve kompleksni števili in in jih seštejemo, dobimo . Podobno jih odštejemo, dobimo .
Oglejte si seštevanje in odštevanje vektorjev še grafično, s premikanjem točk rdeče barve.
Množenje kompleksnih števil
Če imamo dve kompleksni števili in in jih množimo, dobimo .
Potence števila i
Vemo, da velja . Z uporabo pravila za potence izračunajte, koliko je .
Konjugiranje
Vsakemu kompleksnemu številu lahko priredimo konjugirano število tako, da imaginarnemu delu spremenimo predznak.
|
Lastnosti konjugiranja:
Produkt kompleksnega števila s konjugiranim številom
Imamo števili in . Njun produkt je enak . Dobili smo obrazec za razcep vsote kvadratov dveh števil: .
Konjugiranje števila
Če konjugiramo število oziroma , dobimo isto število, , v tem primeru je , z je realno število.
Konjugiranje števila
Če konjugiramo število oziroma , se imaginarnemu delu spremeni predznak in dobimo , v tem primeru je , z je čisto imaginarno število.
Absolutna vrednost
Absolutna vrednost kompleksnega števila označimo z . Predstavlja dolžino vektorja kompleksnega števila ter razdaljo med izhodiščem in točko, ki predstavlja kompleksno število . Za absolutno vrednost velja:
je razdalja med številoma z in w in , če je | 
|
Množica kompleksnih števil
Množica kompleksnih števil je množica vseh kompleksnih števil, ki so od izhodišča oddaljene za 1. Ker pa iščemo tisto množico kompleksnih števil, ki je , je to ravno krog brez krožnice s središčem v izhodišču in polmerom 1:
Množica kompleksnih števil
Podana je množica kompleksnih števil, ki je od določene točke odmaknjena za točno . Ta točka je središče krožnice, , saj velja . To je krog s središčem v točki in polmerom :
Množica kompleksnih števil
Podana je množica kompleksnih števil, ki je od določene točke odmaknjena za več ali enako kot 1 in manj kot 2. Ta točka je središče krožnice, . To je krožni kolobar s središčem , leži pa med polmeroma 1 in 2:
Deljenje kompleksnih števil
Kompleksna števila lahko delimo s kompleksnimi števili, ki so različna od 0. Recimo, da želimo deliti dve kompleksni števili in . Potem je . Vsakemu od 0 različnemu kompleksnemu številu pripada inverzno število . Inverzno število pa dobimo tako, da števec in imenovalec pomnožimo s konjugirano vrednostjo imenovalca ali drugače:
Želimo deliti dve kompleksni števili in . Če zapišemo simbolično, ali . Upoštevajte, da se deljenje lahko zapiše tudi kot in z uporabo zgornjega obrazca za inverzno kompleksno število sami izpeljite obrazec za deljenje dveh kompleksnih števil.
Zgledi za deljenje kompleksnih števil
1. Številu poiščimo inverzno število .
- Ker je število od 0 različno, ima inverzno število, .
- Potrebujemo konjugirano vrednost imenovalca, to je .
- Torej je .
- Rezultat lahko zapišemo lepše, kot .
2. Izračunajmo rezultat deljenja .
- Najprej moramo izračunati kvadrat imenovalca, dobimo .
- Dobimo .
- Delimo in množimo s konjugirano vrednostjo imenovalca, torej s številom .
- Dobimo .
- Če pomnožimo med seboj, dobimo .
Uporaba kompleksnih števil v kvadratni enačbi
Na začetku obravnavanja kompleksnih števil smo rešili enačbo . Če napišemo v splošnem, so to enačbe oblike , kjer je realno število. Če zapišemo enačbo nekoliko drugače, dobimo , kar lahko razcepimo na obliko in dobimo rešitvi enačbe,
in
Podano imamo enačbo oblike . V poglavju kvadratna funkcija ste izvedeli, da ima vsaka Kvadratna enačba z realnimi koeficienti 2 rešitvi. Vse pa je odvisno od diskriminante:
| dve različni realni rešitvi | |
| dve enaki realni rešitvi (oz. eno dvojno) | |
| dve konjugirano kompleksni rešitvi |
Zgleda
1. Razcepimo kvadratni tričlenik .
- Tričlenika se ne da razstaviti na pamet, zato izračunamo diskriminanto, ki je enaka .
- Rešitvi kvadratne enačbe sta zato .
- Tričlenik pa razstavimo tako, da v izraz vstavimo rešitvi enačbe, ki smo jih prej izračunali.
- Dobimo , kar je enako .
2. Rešimo enačbo .
- Razstavimo enačbo in dobimo .
- To enačbo pa lahko kar na pamet razstavimo in dobimo .
- Dobimo štiri rešitve enačbe, to so , , in .
