• Kazalo
• Definicija funkcije
• Graf funkcije
• Premiki in raztegi grafov funkcij
• Lastnosti realnih funkcij
• Naraščanje, padanje, omejenost
• Sodost in lihost funkcije
• Ničle funkcije
• Inverzna funkcija
• Računske operacije s funkcijami
• Limita funkcije
• Pravila za računanje limite
• Limita v neskončnosti in neskončna limita

Funkcija (preslikava, transformacija) $f:A\rightarrow B$ je predpis, ki vsakemu elementu iz množice $A$ priredi natanko en element iz množice $B$. Elementi množice $A$ sestavljajo definicijsko območje funkcije $D_f=A$. Množico njihovih slik pa imenujemo zaloga vrednosti funkcije $Z_f\subseteq B$. Množica $B$ lahko vsebuje tudi elemente, ki niso slike nobenega elementa množice $A$.
Če sta množici $A$ in $B$ množici realnih števil $\mathbb{R}$, imenujemo funkcijo $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ realna funkcija realne spremenljivke.

Definirajmo funkcijo $g$ kot $g(x)=f(x)+k$, kjer je $k\in \mathbb{R}$.
Graf funkcije $g$ dobimo tako, da graf funkcije $f$ togo premaknemo za $|k|$ vzdolž ordinatne osi navzgor ($k > 0$) oz. navzdol ($k < 0$).

Naj bo funkcija $g$ definirana kot $g(x)=f(x-k)$, kjer je $k\in \mathbb{R}$.
Graf funkcije $g$ dobimo tako, da graf funkcije $f$ togo premaknemo za $|k|$ vzdolž abscisne osi v desno ($k > 0$) oz. levo ($k < 0$).

Definirajmo funkcijo $g$ kot $g(x)=k\cdot f(x)$, kjer je $k\in \mathbb{R}$.
Graf funkcije $g$ dobimo tako, da graf funkcije $f$:

• skrčimo za faktor $k$ vzdolž ordinatne osi, če je $k > 1$,
• raztegnemo za faktor $k$ vzdolž ordinatne osi, če je $0 < k < 1$,
• zrcalimo čez abscisno os in skrčimo za $|k|$ vzdolž ordinatne osi, če je $k < -1$,
• zrcalimo čez abscisno os in raztegnemo za $|k|$ vzdolž ordinatne osi, če je $-1 < k < 0$.

Definirajmo funkcijo $g$ kot $g(x)=f(kx)$, kjer je $k > 0$.
Graf funkcije $g$ dobimo tako, da graf funkcije $f$ raztegnemo oziroma skrčimo vzdolž abscisne osi. Funkcija $g$ doseže enako vrednost kot funkcija $f$ pri $k$-krat manjši abscisi $x$.

Definirajmo funkcijo $g$ kot $g(x)=|f(x)|$.
Graf funkcije $g$ dobimo tako, da vse točke grafa funkcije $f$, ki imajo negativno ordinato $y$, prezrcalimo čez abscisno os.

Definirajmo funkcijo $g$ kot $g(x)=f(|x|)$.
Graf funkcije $g$ dobimo tako, da najprej narišemo za pozitivne $x$ ($x\ge 0$) graf funkcije $f$, nato pa ga prezrcalimo čez ordinatno os, saj velja $f(|-x|)=f(|x|)$.

Injektivnost:
Funkcija $f:A\rightarrow B$ je injektivna, če je vsak element iz zaloge vrednosti slika natanko enega elementa iz $A$.

Surjektivnost:
Funkcija $f:A\rightarrow B$ je surjektivna, če je vsak element iz množice $B$ slika vsaj enega elementa iz množice $A$ ($Z_f=B$).

Bijektivnost:
Funkcija $f:A\rightarrow B$ je bijektivna, če je injektivna in surjektivna hkrati.

Funkcija je na intervalu $[a,b]$ naraščajoča, če za poljubna $x_1$ in $x_2$ s tega intervala velja: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.

Funkcija je na intervalu $[a,b]$ padajoča, če za poljubna $x_1$ in $x_2$ s tega intervala velja: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

Funkcija je navzdol omejena, če obstaja tako realno število $m$, da je $f(x) \ge m$ za vsak $x \in D_f$.

Funkcija je navzgor omejena, če obstaja tako realno število $M$, da je $f(x) \le M$ za vsak $x \in D_f$.

Funkcija je omejena, če je navzgor in navzdol omejena.

Zgled

Funkcija $f$ je soda, če za vsak $x \in D_f$ velja: $f(-x)=f(x)$
Graf sode funkcije je simetričen glede na ordinatno os.

Funkcija $f$ je liha, če za vsak $x \in D_f$ velja: $f(-x)=-f(x)$
Graf lihe funkcije je simetričen glede na koordinatno izhodišče.

soda funkcija

liha funkcija

Število $x_0$ imenujemo ničla funkcije $f$ natanko takrat, ko velja $f(x_0)=0$. Funkcija ima torej v ničli vrednost $0$.
Graf funkcije v ničlah seka abscisno os ali pa se je le dotika.
Ničle funkcije $f$ poiščemo tako, da rešimo enačbo $f(x)=0$.

Zgled

Če je funkcija $f:A\rightarrow B$ bijektivna, potem obstaja inverzna funkcija $f^{-1}:B\rightarrow A$, tako da velja:

Inverzno funkcijo dane funkcije poiščemo tako, da v funkcijskem predpisu med seboj zamenjamo odvisno ($y$) in neodvisno ($x$) spremenljivko. Graf inverzne funkcije narišemo tako, da dano funkcijo zrcalimo preko simetrale lihih kvadrantov.

Zgled

Vzemimo realni funkciji $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Med njima lahko izvajamo naslednje računske operacije:

• Vsota in razlika funkcij: $(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)$
  
  
• Produkt funkcij: $(f \cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$
  
  
• Kvocient funkcij: $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, kjer $g(x)\neq 0$
  
  
• Produkt funkcije s številom: $(k\cdot f)(x)=k\cdot f(x)$
  
  
• Kompozitum funkcij: Vzemimo funkciji $f:A \rightarrow B$ in $g:B \rightarrow C$. Kompozitum je funkcija podana s predpisom $g\circ f:A \rightarrow C$ oziroma $(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)$.
  Zgled

Limita funkcije v točki $a$ je število, ki se mu vrednost funkcije $f$ približuje, ko se vrednost spremenljivke $x$ približuje danemu številu $a$. Torej limita funkcije v točki $a$ je $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=b$, če za vsak $\varepsilon > 0$ obstaja tak $\delta > 0$, da iz $|x-a| < \delta$ ($x\neq a$) sledi $|f(x)-b| < \varepsilon$.

1. $\displaystyle\lim_{x\to a}\left(f(x)+g(x)\right)=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)$

2. $\displaystyle\lim_{x\to a}\left(f(x)-g(x)\right)=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)-\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)$

3. $\displaystyle\lim_{x\to a}\left(f(x)\cdot g(x)\right)=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\cdot \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)$

4. $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$, kjer $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

Limita v neskončnosti: $\displaystyle\lim_{x\to \infty} f(x)=b$, če za vsak $\varepsilon > 0$ obstaja tak $M > 0$, da za $x > M$ velja $|f(x)-b| < \varepsilon$. V tem primeru je premica $f(x)=b$ vodoravna asimptota grafa funkcije $f$.

Neskončna limita: $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\infty$, če za vsak $N > 0$ obstaja tak $\delta > 0$, da iz $|x-a| < \delta$ ($x\neq a$) sledi $f(x) > N$. V tem primeru ima graf funkcije $f$ v točki $a$ navpično asimptoto.