eXe

Relacija deljivosti je v množici naravnih števil nadvse zanimiva. Seveda bomo pojasnili tudi pojem relacija.

Relacije

V Slovarju tujk Cankarjeve založbe piše, da beseda relacija izhaja iz latinske besede relatio, ki pomeni odnos, razmerje ali vračanje, ponavljanje. Prvi zapisan pomen je (pisno) poročilo (npr. poveljnika o vojaških operacijah). Drugi pomen je odnos, zveza, razmerje med dvema ali več stvarmi (npr. vzorčna, notranja relacija). Tretji pomen je razdalja, oddaljenost, proga (dolga relacija). Zadnji pomen pa je povezava med dvema množicama števil v matematiki.

Tudi pri matematiki pomeni relacija odnos, zvezo ali razmerje med dvema količinama oziroma številoma. Da sta količini a in b v relaciji R, zapišemo tako: a R b. Namesto R-ja imajo posamezne relacije tudi posebne oznake. Nekaj jih bomo spoznali malo kasneje.

Začnimo s preprostim primerom. Na sliki je družina Simpson. Mami je ime Marge, očetu Homer, sinu Bart, prvi hčeri Lisa, najmlajša pa je Maggie. V kakšni relaciji so med sabo? Marge je mama Bartu, Lisi in Maggie. Po matematično bi to lahko zapisali tako:

Marge m Bart, Marge m Lisa in Marge m Maggie, pri čemer smo relacijo 'je mama' označili z m.

Označimo relacijo 'je oče' z o in relacijo 'je brat ali sestra' z bs. Zapiši, kdo je v kakšni relaciji s kom, kot smo zapisali za relacijo 'je mama'.

Vidimo, da sta si relaciji m in o zelo podobni, relacija bs pa je drugačna. Te relacije imajo različne lastnosti. Relaciji m in o nimata kakšne posebne lastnosti, pri relaciji bs pa smo eno takoj opazili: Če je na primer Bart bs Lisa, je tudi Lisa bs Bart (iz dane relacije sledi relacija z zamenjanim vrstnim redom). Relacijo s tako lastnostjo imenujemo simetrična relacija. Relacija bs ima še eno lepo lastnost: Če vemo, da je Bart bs Lisa in Lisa bs Maggie, potem je Bart bs Maggie. Ali splošno: Če vemo, da je nekdo bs z drugo osebo in je druga oseba bs tretji osebi, potem je nekdo tudi bs tretji osebi. Drugače enostavno ne more biti. Taki relaciji rečemo tranzitivna relacija, ker se nekako prenaša (tranzicija pomeni prenos).

Še malo ostanimo pri Simpsonovih. Oglejmo si relacijo ≤, ki naj pomeni 'biti manjši ali enako visok' kot drugi. Čakata te dve nalogi: Zapiši, kako so z ≤ povezani Simpsonovi, in ugotovi, ali je nova relacija simetrična ali tranzitivna.

Ugotovili smo, da je relacija ≤ tranzitivna, simetrična pa ni. Ima pa kakšno novo lasnost: Velja, da je Maggie ≤ Maggie in podobno za ostale družinske člane. Vsi so v relaciji s samim sabo. Taki relaciji rečemo refleksivna relacija.

Ali lahko naredimo kakšen sklep, če velja, da je en ≤ drugi in hkrati drugi ≤ en? Glede na to, da so vsi Simpsonovi različno visoki, je možen le en sklep: en in drugi sta ista oseba. Relaciji, pri kateri lahko tako sklepamo, rečemo antisimetrična relacija.

Relacijo ≤ smo si v resnici sposodili. Običajno jo uporabljamo za urejanje števil, števila namreč urejamo po velikosti. Tudi pri številih ima enake lastnosti, je refleksivna, antisimetrična in tranzitivna, saj za poljubni števili a in b velja:

1. a ≤ a (a je v relaciji s samim sabo - reflektivnost)
2. Če je a ≤ b in hkrati b ≤ a, potem je a = b. (antisimetričnost)
3. Če je a ≤ b in hkrati b ≤ c, potem je a ≤ c. (tranzitivnost)

Relacija s temi tremi lastnostmi je relacija delne urejenosti. V našem primeru torej ≤ delno ureja Simpsonove, pri številih pa delno ureja števila.

Veliko smo se že naučili, zato bi morali malo utrditi nove pojme. Oglejmo si še eno relacijo, to je vzporednost. Spomnimo se, da sta premici vzporedni, če nimata skupnih točk ali če se prekrivata. Da je premica p vzporedna premici r, napišemo tako: p || r. Pozorno preberi spodnje povedi in jih dopolni.

Relacija vzporednosti je , saj je vsaka premica vzporedna sama sebi. Velja p || p. Relacija vzporednosti je tudi , saj velja: Če je p || r, je tudi r || JXUwMDI4 . Vzporednost je tudi relacija, saj velja: Če je p || r in r || s, je tudi p || JXUwMDJi . Relacija, ki je refleksivna, simetrična in tranzitivna, se imenuje ekvivalenčna relacija.

Relacija deljivosti

Deljivost je v množici naravnih števil posebej zanimiva, saj se deljenje ne izide vedno, včasih poleg količnika dobimo tudi ostanek. V množici racionalnih števil relacija deljivosti ni zanimiva, saj je vsako število deljivo z vsakim drugim številom. Preden bomo ugotovili, kdaj sta dve števili v relaciji deljivosti, se malo poigraj s spodnjo sliko. Na njej lahko premikaš oba krogca in sproti se ti bo izpisovalo, kolikšen je količnik in kolikšen je ostanek. Poskusi premisliti, kdaj bi lahko rekli, da delitelj deli deljenca.

Kdaj lahko rečemo, da delitelj deli deljenca?

Ugotovili smo, da število a deli število b, če je b večkratnik števila a. To pomeni, da b lahko zapišemo kot nekaj krat a:

b=k·a.

Oglejmo si primer: 8 deli 16, saj je 16 dvakratnik števila 8, 16=2·8. Vemo tudi, da 8 ne deli 18, saj 18 ni večkratnik števila 8. V tem primeru pri deljenju dobimo ostanek 2, 18=2·8+2. Oznaka za relacijo 'deli' je |. Zgornje ugotovitve bi tako lahko zapisali:

Splošno pa velja:

Preden rešimo še kakšno nalogo, poskusi ugotoviti, ali je relacija deljivosti refleksivna, simetrična, antisimetrična ali tranzitivna.

Tako, čas je za naloge. Za lažji začetek najprej le zapišimo vse delitelje števila 32, da si malo osvežimo spomin. Kako se lotimo take naloge? Začnemo pri 1, saj ena deli vsako naravno število, nato gremo kar po vrsti in pogledamo, če je 32 večkratnik števila, ki je na vrsti. Preveriti moramo števila do polovice danega števila, v tem primeru do 16. Na koncu ne smemo pozabiti, da je tudi 32 delitelj samega sebe. Tako dobimo:

Delitelji števila 32 so 1, 2, 4, 8, 16 in 32.

Zapišimo še delitelje števila 60. To so 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 in 60. Vidimo, da ima število 60 zelo veliko deliteljev, zato so ga nekatera ljudstva dolgo imela za osnovo številskega sistema. Pravzaprav se je ohranil do danes in sicer pri merskih enotah za čas (1 ura ima 60 minut, 1 minuta ima 60 sekund) in za merjenje kotov (1 kotna stopinja ima 60 kotnih minut, 1 kotna minuta ima 60 kotnih sekund).

Še malo ostanimo pri deliteljih. Zapiši vse delitelje števil 12, 47 in 100.

Za vsako naravno število n velja: n|n in 1|n.

Sedaj poskusimo ugotoviti, ali 144 deli 1584. Kaj naredimo pri taki nalogi? Števili preprosto zdelimo. Če je ostanek 0, potem deli, če ostanek ni enak 0, pa ne deli.

1584:144=11
To pomeni, da 144|1584, saj je 1584=11·144.

Hitro preveri, ali 13 deli 182, ali 132 deli 1454 in ali 909 deli 8181.

Oglejmo si še nekaj malce zahtevnejših primerov. Kako bi ugotovili, ali 58|(8¹⁰⁰-8⁹⁹+2·8⁹⁸)? S kalkulatorjem si v takem primeru ne moremo nič pomagati, saj so števila prevelika. Lahko pa uporabimo naše znanje o potencah. Spomnimo se, da za vsoto oziroma razliko potenc ni posebnega pravila, pomaga nam izpostavljanje skupnega faktorja. V tem primeru je to 8⁹⁸ (vedno moramo izpostaviti osnovo na najmanjši eksponent). Tako dobimo:
8¹⁰⁰-8⁹⁹+2·8⁹⁸=8⁹⁸·(8²-8¹+2)=8⁹⁸·(64-8+2)=8⁹⁸·58
Izraz 8¹⁰⁰-8⁹⁹+2·8⁹⁸ smo preoblikovali v nekaj krat 58, kar pomeni, da 58|(8¹⁰⁰-8⁹⁹+2·8⁹⁸).

Naredimo skupaj še en primer. Ali 7|(2·2ⁿ⁺²-3·2ⁿ⁺¹+2^n-1) za n=1, n=2 ali za kak drug n?
V prejšnji nalogi smo uspeli z izpostavljanjem. Pa poskusimo:
2·2ⁿ⁺²-3·2ⁿ⁺¹+2^n-1=2^n-1·(2·2³-3·2²+1)=2^n-1·(2·8-3·4+1)=2^n-1·(16-12+1)=2^n-1·5
Vidimo, da je izraz oblike 2^n-1·5. To pomeni, da je deljiv s 5 in morda z 2, 4, 8, 16... (odvisno od n-ja), nikakor pa ni deljiv s 7, zato 7 ne deli tega izraza.

Poskusi še sam.

Ugotovi, ali 18|(6²⁰¹-4·6¹⁹⁹-12·6¹⁹⁸).

Ugotovi, ali 4|(3ⁿ⁺¹-5·3ⁿ+10·3^n-1).

Ugotovi, ali 9|(4ⁿ⁺²-8·4ⁿ-23·4^n-1).

Za konec še malo razmislimo. Če a deli b, ali deli tudi večkratnike števila b?

Vemo, da 7|35 in da 7|49. Ali 7 deli (35+49)? Kaj pa (11·35+13·49)?

Zgornje ugotovitve lahko posplošimo: Recimo, da vemo, da a|b in da a|c. Ali lahko ugotovimo, ali a deli n·b+m·c? Pa razmislimo: Ker vemo, da a|b, lahko zapišemo b=k·a. Ker vemo, da a|c, lahko zapišemo c=l·a. Kaj nam to pove o n·b+m·c?

n·b+m·c=n·k·a+m·l·a=(n·k+m·l)·a,

kar je neko naravno število krat a. Torej a deli tudi n·b+m·c. V splošnem velja:

Če a deli naravni števili b in c, deli tudi njuno vsoto in vsoto njunih večkratnikov.

Dodatne naloge