Implikacija in ekvivalenca

Spoznali smo izjavne povezave, in sicer negacijo, konjunkcijo in disjunkcijo. V nadaljevanju bomo govorili o novih oblikah sestavljenih izjav.

IMPLIKACIJA je izjava oblike A B (beremo: "iz A sledi B" oz. "če A, potem B"). Izjavo A imenujemo pogoj ali hipoteza, izjavo B pa posledica ali sklep.

Implikacija je nepravilna, če iz pravilnega pogoja sledi nepravilna posledica.

Implikacija je pravilna v vseh ostalih primerih.

Dopolni pravilnostno tabelo za implikacijo:

A B
A => B
p
p

p
n

n
p

n
n

  

 

Poglejmo si primer implikacije iz vsakdanjega življenja. Učitelj svojim dijakom obljubi:

Če boste vsi naredili maturo, potem vas peljem na pico.

Kdaj je ta izjava pravilna?

Če vsi dijaki maturo opravijo

  • in jih učitelj pelje na pico, je izjava pravilna; učitelj je "mož beseda".
  • in jih učitelj ne pelje na pico, je izjava nepravilna; učitelj je "figa mož".

V primeru, da mature ne opravijo vsi dijaki,

  • učitelj pa jih vseeno pelje na pico, je izjava vseeno pravilna; le učitelj je "nedosleden".
  • učitelj pa jih ne pelje na pico, je izjava spet pravilna; učitelj je tokrat "dosleden".
Pri implikaciji je A zadostni, ne pa potrebni pogoj za posledico B.
 

EKVIVALENCA je izjava oblike A B (beremo: "izjava A velja natanko tedaj, ko velja izjava B" oz. "izjava A velja, če in samo če velja izjava B").

Ekvivalneca je pravilna, če imata izjavi A in B enako logično vrednost (če sta obe pravilni ali obe nepravilni). Ekvivalenca je nepravilna, če imata izjavi A in B različno logično vrednost.

Dopolni pravilnostno tabelo za ekvivalenco:
B
A <=> B
p
p
p
n
n
p
n
n
  

Pri ekvivalenci je A (B) potrebni in zadostni pogoj za B (A).
 
Strnimo vse pravilnostne tabele v eno:
AB
A
A Λ B
A V B
A B
A B
pp
n
p
p
p
p
p
n
n
n
p
n
n
n
p
p
n
p
p
n
n
n
p
n
n
p
p
 
Vrstni red izvajanja izjavnih povezav

Podobno kot pri računskih operacijah v številskih množicah tudi pri operacijah med izjavam z oklepaji določimo vrstni red izvajanja operacij. Če oklepajev ni, je prioritetni vrstni red naslednji: najvišjo prioriteto ima negacija, po vrsti sledijo konjunkcija, disjunkcija, implikacija in ekvivalenca. Pri hkratnem izvajanju enake izjavne povezave velja pravilo združevanja od leve proti desni.

V sestavljeni izjavi z oklepaji nakažimo vrstni red izjavnih povezav:

A B A B C A BA
img11_3
 
Naloge

1. S pomočjo pravilnostne tabele določi logične vrednosti sestavljene izjave:

(BA)(BA)

B
¬A
B => ¬A
¬(B => ¬A)
B Λ ¬A
¬(B => ¬A)v(B Λ ¬A)
p
p

p
n
n
p
n
n
  

 

2. S pomočjo pravilnostne tabele ugotovi, kdaj je sestavljena izjava

(AB) (CB)

pravilna in kdaj nepravilna.

B
C
¬B
A Λ ¬B
C v B
¬(C v B)
(A Λ ¬B) <=> ¬(C v B)
p
p
p
p
p
n
p
n
p
n
p
p
p
n
n
n
p
n
n
n
p
n
n
n
  

3. Z oklepaji določi vrstni red operacij:

a) A B A B

b) A BC ACB AC

 

4. Dane so izjave.

A: 1 je praštevilo.

B: Najmanjše naravno število je 0.

C: Sodih števil ni končno mnogo.

Določi pravilnost sestavljene izjave: (AB) C C .

       
Sestavljena izjava je pravilna.
Sestavljena izjava je nepravilna.
5. Kakšna mora biti logična vrednost izjave A, da bo sestavljena izjava A (BC) nepravilna, če veš, da je izjava B pravilna, izjava C pa nepravilna.
       
Izjava A je pravilna.
Izjava A je nepravilna.