Razdalja med točkama

Točke v koordinatnem sistemu že znamo predstaviti. Tu bomo spoznali, kako izračunamo dolžino daljice, če poznamo koordinati njenih krajišč.
img2_5

Kako daleč je od A do B? Razdalja med dvema točkama je dolžina najkrajše poti med njima, torej moramo poiskati dolžino daljice AB.

Poskusimo nalogo rešiti v nekaj korakih.

 
Oglej si spodnjo sliko in poskusi izračunati dolžine vseh treh narisanih daljic.
img4_5

Si dobil dolžine?

Če tega nisi storil že prej, zapiši koordinate krajišč vseh daljic.

Kako so dolžine daljic povezane s koordinatami krajišč?

 
Dogovorimo se, da bomo razdalje med točkami v koordinatnem sistemu označevali s črko d, za katero bomo v oklepaj dodali točki, med katerima iščemo razdaljo, npr. d(A, B) ali d(C, D).
Pri računanju v koordinatnem sistemu ponavadi ne uporabljamo enot, zato bi zgornji rezultat zapisali d(A, B)=4.
S črko d se začenjajo latinska beseda distantia (razdalja) in njene izpeljanke v mnogih jezikih. Zato se ta črka uporablja za označevanje razdalje.
 

Verjetno si ne bo težko zapomniti, da dobimo razdaljo med točkama, če je njuna zveznica vzporedna eni od koordinatnih osi, kar z odštevanjem različnih koordinat.
Če je ena od koordinat negativna, moramo paziti, da pravilno odštevamo: d(E,F)=2–(–4)=6.
Lahko pa točki med seboj tudi zamenjamo. Da v tem primeru ne bi dobili negativne razdalje, uporabimo še absolutno vrednost d(F,E)=|–4–2|=6

Premaknimo sedaj točke v drugačno lego.
Oglej si spodnjo sliko.

img12_5
Znaš ugotoviti razdaljo med točkama A in B na sliki?
Si uporabil Pitagorov izrek in dobil d(A,B)=5?
Čestitam.
 

Sedaj poznamo vsa orodja in bomo razdaljo lahko izračunali za poljuben par točk v koordinatnem sistemu.
Na spodnji sliki smo skozi točki A in B potegnili pravokotnici na obe koordinatni osi. Tako smo dobili pravokotni trikotnik, ki ima za dolžini katet razliko koordinat danega para točk oz. njegovo absolutno vrednost. Razdaljo med točkama predstavlja dolžina hipotenuze in to znamo izračunati po Pitagorovem izreku.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
Pozoren bralec lahko na sliki premika točki A in B v poljubno lego in sam ugotovi, da se način izračuna katet pri tem nič ne spremeni.
Za dani točki je na sliki vedno izračunana tudi razdalja med točkama, zaokrožena na eno decimalko.
 
Ikona ucSredstva Vaja

Izračunajmo razdaljo med točkama A(1, –3) in B(4, 3).

Podatke vstavimo v formulo, malo poračunamo

in rezultat je tu.


Matematiki bomo presrečni, če boste tudi dijaki rezultate, ki niso cela števila, delno korenili, ne pa računali s kalkulatorji.
 
Vaja

Izračunaj razdaljo med pari točk in rezultate zapiši na prazna mesta spodaj. Ulomke piši s poševno črto (/) in ne uporabljaj presledkov.

  • A(1,–3), B(–3,0)
  • ,
  • ,
d(A,B)= , d(C,D)= , d(E,F)=
  

 
Vaja
Naslednja naloga je malo težja. Vseeno jo poskusi najprej rešiti sam, če pa boš obupal, klikni na gumb za rešitev.

Podani sta točki A(–2, 1) in B(1, y). Točki B določi neznano koordinato tako, da bo imela daljica AB dolžino 5 enot.



Rešitev si lahko ogledaš tudi na spodnji aktivni sliki. Dolžina daljice AB je 5 enot. Premikaj točko B po koordinatnem sistemu in ugotovi, v katerih legah ustreza pogoju iz naloge.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
Vprašanje za razmislek
Odgovori še na vprašanje, po kateri krivulji se premika točka B na zgornji sliki.
 
Utrdi snov s klikom na
 dodatne naloge
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008