Iz kemije poznamo periodni sistem elementov. Kaj je periodni sistem elementov? Je množica kemijskih elementov, povezanih v celoto. Kaj pa bi lahko bil v matematiki sistem enačb?
Sistem enačb je množica enačb, povezanih v celoto.
Naloga
Srečajo se trije važiči in se hvalijo, kdo ima več zgoščenk.
Važič 1: Če vržem dve zgoščenki vstran, imam še vedno dve več kot ti, Važič 3.
Važič 2: Če vržem 3 zgoščenke vstran, jih imam še vedno toliko kot vidva oba skupaj.
Važič 3: Imam toliko zgoščenk, da če jih vidva vidita, oba oslepita.
Ugotovi, koliko zgoščenk ima kateri važič. Pomagaj si s spodnjo konstrukcijo, tako da njihove zgoščenke (ki so na sliki) razporediš v oblačke nad važiči. Ko boš zgoščenke razporedil pravilno, boš zagledal napis.
Ne gre? Nič hudega. Predelaj tukaj obravnavano snov o sistemih enačb in se potem vrni k nalogi.
Kaj pomeni Reši sistem enačb?
Reši sistem enačb pomeni, da poišči neznanke x, y ... ki nastopajo v enačbah sistema.
Reševanje sistema dveh enačb z dvema neznankama
Najprej skupaj rešimo naslednji sistem dveh enačb z dvema neznankama, nato pa poskušajmo razmisliti in utemeljiti, zakaj tako ravnamo.
Rešimo sistem enačb 2x + 3y = 2 in x – y = 11.
Izberemo eno enačbo, npr. drugo, in iz nje izrazimo neznanko x.
x = 11 + y
Druga enačba: x – y = 11
Izrazimo x: x = 11 + y
V preostalo enačbo namesto neznanke x vstavimo, kar smo izrazili.
2 · (11 + y) + 3y = 2
Preostala enačba: 2x + 3y = 2
Namesto neznanke x vstavimo 11 + y. Potreben je oklepaj.
2 · (11 + y) + 3y = 2
Rešimo enačbo.
Rešitev enačbe: y = –4
2 · (11 + y) + 3y = 2
22 + 2y + 3y = 2
5y = –20
y = –4
Izračunamo še x.
x = 7
Pogledamo, kje smo izrazili x: x = 11 + y.
Zdaj vstavimo namesto neznanke y število –4.
x = 11 + y = 11 – 4 = 7
Rešitev sistema: x = 7 in y = –4.
Na koncu je priporočljivo narediti še preizkus. Dobljeni neznanki x in y vstavimo v obe enačbi.
2x + 3y = 2 · 7 + 3 · (–4) = 14 – 12 = 2
x – y = 7 –(–4) = 11
Sistem dveh enačb z dvema neznankama rešujemo tako, da iz poljubno izbrane enačbe izrazimo eno neznanko. Nato izraženo vstavimo namesto te neznanke v preostalo enačbo.
Zakaj? Tako se znebimo izražene neznanke. Dobimo eno enačbo z eno neznanko, ki je ni težko rešiti. Nato le še izračunamo manjkajočo neznanko.
Reši sistem enačb 2x + y + 10 = 0 in 3x = 2y + 6.
Recimo, da izberemo prvo enačbo in izrazimo y: y = –2x – 10
Zakaj pa ni pametno izbrati npr. druge enačbe in izraziti neznanke x?
Takrat bi dobili:
Torej bi dobili ulomke. Zato preden začnemo reševati, raje premislimo, kje začeti, da si poenostavimo računanje.
V preostalo, torej drugo enačbo, namesto neznanke y vstavimo –2x – 10:
3x = 2 · (–2x – 10) + 6
Rešimo dobljeno enačbo:
3x = –4x – 20 + 6
3x + 4x = –14
7x = –14
x = –2
Pogledamo, kje imamo izraženo neznanko y, in jo izračunamo:
y = –2x – 10 = –2 · (–2) – 10 = 4 – 10 = –6
Rešitev sistema: x = –2, y = –6
Reši sistem enačb 5x – 4y = 37 in –7x = 3y + 17.
Recimo, da izberemo prvo enačbo in izrazimo x:
Tukaj se nismo mogli izogniti ulomkom.
V drugo enačbo namesto neznanke x vstavimo:
Rešimo enačbo:
Celotno enačbo pomnožimo s 5, da se znebimo ulomkov.
Pogledamo, kje imamo izražen x, in ga izračunamo:
Rešitev sistema: x=1, y=-8
Naloga
Reši naslednje sisteme enačb.
a) 2x + y = 3, x – 3y + 2 = 0
b) 7x + 2y = 18, 3x – y = 4
c) 2x + 3y + 5 = 13, 5y – 2x – 8 = 0
a) x = 1, y = 1
b) x = 2, y = 2
c) x = 1, y = 2
Koliko rešitev ima lahko sistem?
Pri reševanju sistemov smo do zdaj dobili vedno eno rešitev (npr. x = 7 in y = –4; rečemo tudi, da smo dobili en par rešitev x = 7 in y = –4). Ali je rešitev (parov) lahko več? Ali je nujno, da rešitev sploh obstaja? Oglejmo si.
Rešimo sistem enačb: 3x + 3y = 7 in x = 5 – y.
V drugi enačbi imamo izražen x. Vstavimo ga v prvo enačbo:
3 · (5 – y) + 3y = 7
15 – 3y + 3y = 7
15 = 7
Kar pa ni res. Torej neglede na to, kakšna sta x in y, dobimo enakost, ki ne velja (x in y izgineta, sploh ne vplivata na enačbo, vedno dobimo 15 = 7).
Ta sistem nima rešitve.
Rešimo sistem enačb 3x + 3y = 9 in y = 3 – x.
V drugi enačbi je izražen y. Vstavimo ga v prvo enačbo.
3 · (x + 3) – 3x = 9
3x + 9 – 3x = 9
9 = 9
To pa vedno drži. Torej neglede na to, kakšna sta x in y, dobimo enakost, ki velja (x in y izgineta, sploh ne vplivata na enačbo, vedno dobimo 9 = 9).
Ta sistem ima zato neskončno rešitev.
Sistem ima lahko eno rešitev, lahko jih ima neskončno ali pa nobene. Več o tem pri poglavju linearna funkcija.
Naloga
Reši naslednje sisteme enačb.
a) 2x + 7y – 5 = 0, 10x + 35y = 12
b) x = 4y + 9, 2x – 8y – 18 = 0
c) 4x – 3y – 100 = 0, 28x = 21y + 1
a) Iz prve enačbe izrazimo npr. x,
x vstavimo v preostalo enačbo,
enačbo preoblikujemo,
enačbo pomnožimo z 2
in dobimo
.
Dobljena enakost seveda ne velja, ne glede na to, kakšna sta x in y (x in y izgineta, sploh ne vplivata na enačbo, vedno dobimo 50 = 12). Torej sistem nima rešitve.
b) V prvi enačbi imamo že izražen x, zato ga kar vstavimo v drugo enačbo
enačbo preoblikujemo
in dobimo
.
Dobljena enakost vedno velja, ne glede na to, kakšna sta x in y (x in y izgineta, sploh ne vplivata na enačbo, vedno dobimo 0 = 0). Torej ima sistem neskončno rešitev.
c) Iz prve enačbe izrazimo x
in ga vstavimo v drugo enačbo,
enakost preoblikujemo,
jo pomnožimo s 4
in dobimo
.
Dobljena enakost ne velja, ne glede na to, kakšna sta x in y. Torej sistem nima rešitve.
Reševanje sistema treh enačb s tremi neznankami
Če imamo sistem treh enačb s tremi neznankami (glej animacijo zgoraj), se najprej znebimo ene enačbe in ene neznanke. Tako dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama. Nato se spet znebimo ene enačbe in ene neznanke. Tako nam ostane le še ena enačba z eno neznanko, ki pa je ni težko rešiti.
Če bi imeli npr. sistem 100 enačb s 100 neznankami, bi se najprej znebili ene enačbe in ene neznanke. Dobili bi sistem 99 enačb in 99 neznank. Nato bi se spet znebili ene enačbe in ene neznanke. Dobili bi sistem 98 enačb z 98 neznankami. Po naslednjem koraku bi dobili sistem 97 enačb s 97 neznankami. Tako bi nadaljevali, dokler ne bi dobili le ene same enačbe, ki pa je ni težko rešiti. Tako velike sisteme rešujemo z računalniki.
Premisliti moramo dve stvari:
Kako zmanjšati število enačb in neznank za 1.
Kako končati.
1. Kako zmanjšamo število enačb in neznank za 1?
- Iz poljubno izbrane enačbe sistema si izrazimo eno neznanko.
- Namesto te neznanke v vse preostale enačbe vstavimo, kar smo izrazili.
Koliko enačb ostane? Ostane ena enačba manj kot na začetku, saj smo eno enačbo porabili, ko smo izrazili izbrano neznanko.
Koliko neznank ostane? Ker smo v vseh drugih enačbah namesto izbrane neznanke vstavili nekaj drugega, ta neznanka več ne nastopa v nobeni izmed teh enačb. Torej smo se znebili ene neznanke.
2. Kako končati?
Z zgoraj predstavljenim postopkom znamo število enačb zmanjšati na eno samo enačbo z eno neznanko. Ali znamo rešiti enačbo z eno neznanko? Da. Iz zadnje enačbe dobimo torej eno izmed neznank. Potem z njeno pomočjo izračunamo še druge.
Rešimo sistem enačb x + y + z = 6, x – y + 4z = 11 in x + 2y – z = 2.
Izberemo eno enačbo, npr. prvo, in izrazimo neznanko x.
x = 6 – y – z
Prva enačba: x + y + z = 6
Izrazimo x: x = 6 – y – z
Zakaj ni pametno izbrati recimo druge enačbe in izraziti neznanke z? Če bi izrazili z, bi dobili ulomke, ker bi morali deliti s 4 (številko, ki je pred njo).
V obe preostali enačbi namesto neznanke x vstavimo 6 – y – z in enačbi poenostavimo.
Dobimo –2y + 3z = 5 in y – 2z = –4.
V drugo enačbo vstavimo 6-y-z namesto neznanke x:
x – y + 4z = 11
6 – y – z – y + 4z = 11
–2y + 3z = 5
V tretjo enačbo vstavimo 6 –y – z namesto neznanke x:
x + 2y – z = 2
6 – y – z + 2y – z = 2
y – 2z = –4
Rešimo sistem dveh enačb –2y + 3z = 5 in y – 2z = –4 z dvema neznankama.
Dobimo y = 2 in z = 3.
Rešujemo sistem enačb –2y + 3z = 5 in y – 2z = –4.
Recimo, da iz druge enačbe izrazimo y: y = 2z – 4.
Recimo, da izberemo prvo enačbo in izrazimo neznanko y:
V drugo enačbo vstavimo namesto neznanke y in enačbo poenostavimo:
Obe strani enačbe pomnožimo s 3, da se znebimo ulomkov.
Zdaj bi bilo treba v tretjo enačbo namesto y vstaviti . Ker pa tretja enačbe ne vsebuje neznanke y, tega ne moremo storiti; torej tretje enačbe ne spreminjamo.
Dobili smo sistem dveh enačb z dvema neznankama: in . Rešimo ga.
Recimo, da izberemo prvo enačbo in izrazimo x.
V drugo enačbo namesto neznanke x vstavimo .
Obe strani enačbe pomnožimo s 13.
Pogledamo, kje imamo izražen x, in ga izračunamo.
Pogledamo, kje imamo izražen y, in ga izračunamo.
Rešitev sistema je torej x = 1, y = –4, z = 0.
Naloga
Reši naslednje sisteme enačb.
a) x + y + z = 3, x – 2y + z = 0 in 2x + 3y + 4z = 9
b) 2x + 3y + z = –11, 2x – 3y + 4z = –8 in x + y + z = –6
c) 3x + 2y = 7, 5x + 2y + 2z = 5 in 2z + 12 = 3x
a) x = 1, y = 1, z = 1
b) x = 1, y = –4, z = 0
c) x = 2, y = 0.5, z = –3
Naloga
Ogledali si smo, kako rešujemo sisteme treh enačb s tremi neznankami. Podobno rešujemo tudi sisteme s še več neznankami in enačbami.
Rešimo sistem štirih enačb s štirimi neznankami:
Rešujemo sistem štirih enačb s štirimi neznankami.
Iz četrte enačbe izrazimo u,
u vstavimo v prvo enačbo.
Enačbo uredimo.
u vstavimo v drugo enačbo.
Enačbo uredimo.
V tretji enačbi ne nastopa neznanka u, zato tretje enačbe ne spreminjamo.
Dobili smo sistem treh enačb s tremi neznankami.
Iz prve enačbe izrazimo x.
x vstavimo v drugo enačbo.
Enačbo poenostavimo.
x v tretji enačbi ne nastopa, zato je ne spreminjamo.
Dobili smo sistem dveh enačb z dvema neznankama:
Iz prve enačbe izrazimo z,
z vstavimo v drugo enačbo.
Enačbo poenostavimo.
Dobimo y = –1.
Izračunamo z = –7y – 4 = 3.
Izračunamo x = –3y – z + 2 = 2.
Izračunamo u = –2y + 2 = 4.
Rešitev sistema: x = 2, y = –1, z = 3, u = 4.
Uporaba sistemov
Sisteme uporabljamo pri reševanju besedilnih nalog. Pri konkretni nalogi si izberemo neznanke in poiščemo toliko enačb, kolikor neznank smo izbrali. Nato rešimo sistem. Na koncu ne pozabimo zapisati še odgovora.
Naloga
V omari imam 66 zvezkov in knjig. Zvezkov je 12 manj kot knjig. Koliko zvezkov in koliko knjig imam v omari?
Najprej izberemo neznanke. Kaj ni znano? Število knjig in število zvezkov.
Število knjig: x
Število zvezkov: y
Ker smo izbrali dve neznanki, potrebujemo 2 enačbi.
Vemo, da je obojih skupaj 66: x + y = 66
Zvezkov je 12 manj kot knjig. Kako dobim število zvezkov?
Koliko je zvezkov, če je knjig recimo 100? 100 – 12 = 88
Koliko je zvezkov, če je knjig x? x – 12
Torej y = x – 12.
Dobili smo enačbi: x + y = 66 in y = x – 12. Zdaj rešimo sistem.
V drugi enačbi imamo že izražen y, ki ga vstavimo v prvo enačbo.
x + y = 66
x + x – 12 = 66
2x = 78
x = 39
Pogledamo, kje imamo izražen y, in ga izračunamo.
y = x – 12 = 39 – 12 = 27
V omari imam 39 knjig in 27 zvezkov.
Naloga
Anita ima dva pajka. Mesečno jima nabere 100 črvov. Večji pajek poje 36 črvov več kot majši. Koliko črvov poje mesečno manjši in koliko večji pajek?
Najprej izberemo neznanke. Kaj ni znano? Število črvov, ki jih mesečno poje manjši pajek, in število črvov, ki jih mesečno poje večji pajek.
Število črvov, ki jih mesečno poje manjši pajek: m Število črvov, ki jih mesečno poje večji pajek: v
Ker smo izbrali dve neznanki, potrebujemo 2 enačbi.
Vemo, da oba skupaj mesečno pojesta 100 črvov: m + v = 100
Vemo še, da večji pajek poje 36 črvov več kot manjši: v = m + 36
Dobili smo enačbi:m + v = 100 in v = m + 36. Zdaj rešimo sistem.
V drugi enačbi imamo že izražen v, ki ga vstavimo v prvo enačbo.
m + m + 36 = 100
2m = 100 – 36
2m = 64
m = 32
Pogledamo, kje imamo izražen v, in ga izračunamo.
v = m + 36 = 32 + 36 = 68
Odgovor: Manjši pajek poje mesečno 32 črvov, večji pa 68.
Naloga
Babica in dedek si razdelita 40 češenj na dva neenaka dela. Ko babica pogleda vstran, ji dedek vzame 2 češnji in ju da na svoj kup. Tako ima dedek šestnajst češenj več od babice. Koliko češenj je imel vsak izmed njiju, preden je dedek ogoljufal babico?
d . . . število dedkovih češenj b . . . število babičinih češenj
Oba skupaj imata 40 češenj: d + b = 40
Ko dedek vzame babici 2 češnji, jih ima dedek 16 več od babice.
Dedek ima takrat: d + 2 češenj.
Babica ima takrat: b – 2 češnji.
dedek = babica + 16
d + 2 = b − 2 + 16
Dobili smo torej sistem: d + b = 40, d + 2 = b − 2 + 16.
Rešitev sistema je d = 26, b = 14.
Dedek je imel 26 češenj, babica pa 14.
Naloga
Družina Obal (oče, mama, 1 otrok) in družina Maze (oče, mama, 3 otroci) gresta v živalski vrt. Prva družina plača za vse svoje vstopnice 6,2 €, druga pa 9,4 €. Koliko stane vstopnica za otroke in koliko vstopnica za odrasle?
x . . . cena vstopnice za odraslega
y . . . cena vstopnice za otroka
Družina Obal: 2x + y = 6,2
Družina Maze: 2x + 3y = 9,4
Rešimo sistem in dobimo x = 2,3 in y = 1,6.
Vstopnica za otroke stane 1,6 €, za odrasle pa 2,3 €.
Naloga
Na neki sestanek so prišli Avstrijci, Hrvati in Slovenci. Vseh skupaj je bilo 50. Hrvatov je bilo za dva več od Avstrijcev, Slovencev pa je bilo dvakrat več kot Avstrijcev. Koliko je bilo na sestanku Avstrijcev, koliko Hrvatov in koliko Slovencev?
Najprej izberemo neznanke. Česa ne poznamo? Števila Avstrijcev, Hrvatov in Slovencev.
Število Avstrijcev: x
Število Hrvatov: y
Število Slovencev: z
Ker smo izbrali 3 neznanke, moramo najti 3 enačbe.
Vseh skupaj je 50: x + y + z = 50.
Hrvatov je bilo za dva več od Avstrijcev.
Koliko je bilo Hrvatov, če je bilo recimo Avstrijcev 100? 100 + 2
Koliko je bilo Hrvatov, če je bilo Avstrijcev x? x + 2
Torej y = x + 2
Slovencev pa je bilo dvakrat več kot Avstrijcev.
Koliko je bilo Slovencev, če je bilo Avstrijcev recimo 100? 100 · 2
Koliko je bilo Slovencev, če je bilo Avstrijcev x? x · 2
Torej z=x·2, kar lepše zapišemo kot z = 2x.
Dobili smo sistem treh enačb s tremi neznankami: x + y + z = 50, y = x + 2 in z = 2x. Rešimo ga.
V drugi enačbi imamo že izražen y, ki ga vstavimo v preostali enačbi; torej le v prvo enačbo, saj v drugi ni neznanke y.
Dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama: x + x + 2 + z = 50 in z = 2x.
V drugi enačbi imamo že izražen z, ki ga vstavimo v prvo enačbo.
x + x + 2 + 2x = 50
4x = 48
x = 12
z = 2x = 2 · 12 = 24
y = x + 2 = 12 + 2 = 14
Na sestanku je bilo 12 Avstrijcev, 14 Hrvatov in 24 Slovencev.
Naloga
Za sladoled smo dali 2,4 €. Plačali smo z osemnajstimi kovanci. Nekaj kovancev je bilo po 20 stotinov, nekaj po 10 in nekaj po 5 stotinov. Kovancev za 5 stotinov je bila polovica števila kovancev za 20 stotinov. Koliko kovancev po 20, 10 in 5 stotinov smo porabili?
Kovancev za 5 stotinov je polovica števila kovancev za 20 stotinov: x = z : 2
Rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami:
Rešitev: x = 4, y = 6, z = 8
Za sladoled smo porabili 4 kovance po 5 stotinov, 6 kovancev po 10 stotinov in 8 kovancev po 20 stotinov.
Naloga
Ugotovi, koliko so stari Žiga, Petra in Eva, če veš:
Eva je 5 let starejša od Žiga.
Čez eno leto bo Petra stara štirikrat toliko kot Žiga
Čez 21 let bo Petra stara 4/3 starosti Eve.
Pomagajmo si s tabelo.
Vpišimo vsa imena, ki nastopajo: Žiga, Petra, Eva.
Vpišimo vse čase, ki so omenjeni: zdaj, čez 1 leto, čez 21 let.
Zanima nas, koliko so zdaj stari Žiga, Petra in Eva, zato izberemo naslednje neznanke:
Žigova starost: x
Petrina starost: y
Evina starost: z
Čez eno leto bodo vsi stari za 1 več; torej x + 1, y + 1, z + 1.
Čez 21 let bodo vsi stari za 21 več: x + 21, y + 21, z + 21.
Zdaj
Čez 1 leto
Čez 21 let
Žiga
x
x + 1
x + 21
Petra
y
y + 1
y + 21
Eva
z
z + 1
z + 21
Zdaj upoštevamo še trditve:
Eva je 5 let starejša od Žiga. Kdaj? Zdaj. Gledamo 1. stolpec.
Eva = Žiga + 5
z = x + 5
Čez eno leto bo Petra stara štirikrat toliko kot Žiga. Gledamo stolpec čez eno leto.
Petra = 4 · Žiga
y + 1 = 4 · (x + 1)
Čez 21 let bo Petra stara 4/3 starosti Eve. Gledamo stolpec čez 21 let.
Petra = 4/3 · Eva
y + 21 = 4/3 · (z + 21)
Dobili smo sistem treh enačb s tremi neznankami:
Rešitev: x = 4, y = 19, z = 9.
Žiga je star 4 leta, Petra 19 in Eva 9 let.
Naloga
Andreja, njena mama in babica so skupaj stare 87 let. Pred dvema letoma je bila mama 12–krat starejša od Andreje. Čez 5 let bo babica dvakrat starejša od mame. Koliko je stara vsaka izmed njih?
Pomagamo si lahko s tabelo.
Zdaj
Pred 2 letoma
Čez 5 let
Andreja
x
x – 2
x + 5
Mama
y
y– 2
y + 5
Babica
z
z– 2
z + 5
Zdaj so skupaj stare 87 let:
Andreja + mama + babica = 87 (vstavimo iz prvega stolpca)
x + y + z = 87
Pred dvema letoma je bila mama dvanajstkrat starejša od Andreje:
mama = 12 · Andreja (vstavimo iz drugega stolpca)
y − 2 = 12 · (x − 2)
Čez pet let bo babica dvakrat starejša od mame:
babica = 2 · mama (vstavimo iz tretjega stolpca)
z + 5 = 2 · (y + 5)
Rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami in dobimo x = 4, y = 26 in z = 57.
Andreja je stara 4 leta, njena mama 26 let, babica pa 57 let.
Rešitev uvodne naloge
Zdaj, ko si se naučil reševati sisteme, poskusi znova rešiti uvodno nalogo.
Določimo neznanke:
Število zgoščenk, ki jih ima Važič 1: x
Število zgoščenk, ki jih ima Važič 2: y
Število zgoščenk, ki jih ima Važič 3: z
Upoštevamo trditve:
Važič 1: Če vržem dve zgoščenki vstran, imam še vedno dve več kot ti, Važič 3.
x – 2 = z + 2
Važič 2: Če vržem 3 zgoščenke vstran, jih imam še vedno toliko kot vidva oba skupaj.
y – 3 = x + z
Kje dobimo tretjo enačbo? Na sliki preštejemo, koliko zgoščenk imajo vsi trije skupaj.
x + y + z = 43
Tretja enačba je bila torej zvito skrita na sliki. Ni izrecno pisalo, da imajo skupaj 43 zgoščenk. Pisalo je le, da moramo njihove zgoščenke (ki so na sliki), torej 43 zgoščenk, razporediti ...
Rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami: x – 2 = z + 2, y – 3 = x + z in x + y + z = 43 in dobimo x = 12, y = 23 in z = 8.
Važič 1 ima 12 zgoščenk, Važič 2 ima 23 zgoščenk in Važič 3 ima 8 zgoščenk.