Praštevila
Kaj si predstavljamo pod besedami prababica, pračlovek, prazgodovina, prasnov, pradelec? Predpona "pra" pomeni, da se je zgodilo nekaj prej, predstavlja nekaj starega, nekaj iz česar je sestavljeno novo. Prazgodovina je bila pred zgodovimo, prababica je bila prej kot babica, delci so sestavljeni iz pradelcev.
Števila izhajajo, so sestavljena iz praštevil.
| Sestavimo število 6 iz števil 2 in 3: 6=2·3 Sestavimo število 10 iz števil 2 in 5: 10=2·5 Števili 6 in 10 smo sestavili kot produkt dveh naravnih števil večjih od 1. Ali lahko tudi število 7 sestavimo kot produkt dveh naravnih števil večjih od 1? Ne. |
| se jih ne da sestaviti | se jih da sestaviti | ||||
| število | delitelji | št. deliteljev | število | delitelji | št. deliteljev |
| 3 | 1, 3 | 2 | 6 | 1, 2, 3, 6 | 4 |
| 5 | 1, 5 | 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | ||
| 11 | 1,
| 20 | 1, 2, 4, , 10, 20 | ||
| 17 |
, 17 | 2 | 9 | 1, 3,
|
|
| 31 | 1,
| 1, 5, 7, 35 | |||
Koliko deliteljev imajo števila, ki se jih ne da sestaviti kot produkt dveh od 1 večjih naravnih števil? .
SESTAVLJENA ŠTEVILA so števila, ki jih lahko sestavimo kot produkt dveh od 1 večjih naravnih števil. Imajo več kot dva delitelja (torej 3 delitelje, 4 delitelje,...).
PRAŠTEVILA so števila, ki se ji ne da sestaviti kot produkt dveh od 1 večjih naravnih števil. Imajo natanko 2 delitelja; število 1 in samega sebe.
ŠTEVILO 1 ima en sam delitelj (število 1) in ni ne sestavljeno število ne praštevilo.
Na naslednji konstrukciji razvrsti števila od 1 do 30 na praštevila, sestavljena števila ter števila z enim samim deliteljem. Ko boš vsa števila razvrstil pravilno, boš zagledal napis.
| Eratostenovo sito je pripomoček za iskanje praštevil. Koraki iskanja praštevil do 100: V tabelo zapišemo vsa naravna števila do 100.
|
| Zapišimo število 6 kot produkt praštevil: 6=2·3 Zapišimo število 40 kot produkt praštevil: 40=2·2·2·5=23·5 Števili 6 in 40 smo zapisali kot produkt praštevil = razstavili na praštevila = razcepili na praštevila. Zato takšen zapis števila imenujemo praštevilski razcep. |
Praštevilski razcep naravnega števila n:

kjer so
praštevila,
pa naravna števila, ki nastopajo v eksponentih.
Za vsako število lahko zapišemo praštevilski razcep na en sam način (če ne upoštevamo vrstnega reda praštevil).
Praštevilski razcep števila določamo s pomočjo tabele, oziroma navpične črte (glej animacijo spodaj):
Postopek ponovimo.
Postopek nadaljujemo dokler ne dobimo na levi strani števila 1. Praštevilski razcep danega števila je produkt vseh praštevil na desni strani črte. |
Zdaj si na animaciji oglejmo, kako določimo praštevilski razcep števila 3080.
| 9945 | 3 |
| 3315 | 3 |
| 5 | |
| 13 | |
| 17 | 17 |
| 1 |
Odgovor: 9945=32 · 5 · 13 ·
Praštevila: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...
V takem vrstnem redu se sprašujmo:
| 2142 | 2 |
| 1071 | 3 |
| 357 | |
| 7 | |
Odgovor: 2142 = 2 · 32 · 7 ·
Zapiši praštevilske razcepe naslednjih števil:
a) 150
b) 120
c) 700
Izraz najprej razstavimo:
4n+4=4(n+1)
Ker je n naravno število (1,2,3,..), je n+1 lahko enako 2, 3, 4,...
Vrednost izraza je tako produkt števila 4 in števila večjega ali enakega 2 in je zato sestavljeno število.