Besedilne naloge II

Sisteme linearnih enačb smo se že naučili rešavati tako računsko kot grafično. Napočil je čas, ko lahko začnemo reševat problemske situacije, ki jim do sedaj (brez tega znanja) nismo bili kos.

1. primer

Pastirja modrujeta. Prvi pravi: «Prodaj mi 6 ovac, pa bom imel dvakrat večjo čredo kot ti.« Drugi mu odgovori: »Če kupim tri tvoje ovce, bova imela enako veliki čredi.« Kolikšni sta čredi?

Označimo število ovc v čredi prvega pastirja s P1, število ovc v čredi drugega pastirja pa s P2.

Zapišimo z enačbo stavek, ki ga izreče prvi pastir: P1+6 = 2 * (P2-6). ----(Pri drugi čredi smo morali odvzet tistih 6 ovc, ki bi jih želel imet pastir prve črede)

In kako bi zapisali enačbo za izjavo drugega pastirja? P2+3 = P1-3

Iz druge enačbe sedaj izrazino število ovc v prvi čredi: P1 = P2+6

in to upoštevamo v prvi enačbi: P2+6+6 = 2*(P2-6) .... Tako smo dobili navadno linearno enačbo enačbo. njena rešitev pa je P2 = 24.

Število P1 = 24 + 6 = 30.

Prva čreda šteje 30 ovc, druga pa 24.

 

Preerimo prvilnost rezultata:

Če bi premaknili 6 ovc iz druge v prvo čredo, bi bolo v prvi čredi P1 = 36 v drugi pa P2 = 18 ovc. Vidimo, da je prva čreda dvakrat večja od druge.

Če pa bi premaknili 3 ovce iz prve v drugo čredo, bi imeli v prvi P1 = 27 in v drugi P2 = 27ovc. Čredi bi bili enako veliki.

2. primer:

Cena, ki jo mehanik Bine zaračuna za servisni pregled avtomobila, je sestavljena iz fiksnega dela 40 € za osnovni pregled, in dodatnega dela za ostala potrebna popravila. Dodatno delo Bine računa po 10 € na uro. Samo 2 km stran pa ima delavnico Cene, ki ima ceno fiksnega dela 30 €, za vsako dodatno uro popravil pa računa po 12 €.

a) Koliko bi plačali pri enem in koliko pri drugem mehaniku, če bi bile za dodatna popravila potrebne tri ure dela? Koliko pa, če bi bile potrebne štiri ure in koliko če bi za dodatna popravila potreboval 5 dodatnih ur dela?

Če bi bilo potrebno opraviti tri dodatne ure, bi pri Binetu plačali €, pri Cenetu pa €.

Za servisnni pregled in štiri dodatne ure dela bi pri Binetu plačali €, pri Cenetu pa €.

Če bi mehanika opravila poleg osnovnega preglada še pet dodatnih ur, bi Bine zaračunal €, Cene pa €.

  

b) Dopolni tabeli in iz njiju preberi, pri katerem mehaniku je cena nižja.

čas dodatnih popravil

(v urah)

plačilo servisnega pregleda

in ostalih del pri Binetu

(v evrih)

 

čas dodatnih popravil

(v urah)

plačilo servisnega pregleda

in ostalih del pri Cenetu

(v evrih)

0   0
1   1
2   2
3   3
4   4
5   5
6   6
7   7
8   8

 

Na spodnji vprašanji odgovarjaj z DA ali NE.

c) Ali je cena vedno nižja pri istem mehaniku, neglede na število ur dodatnega dela?

č) Ali se lahko zgodi, da bosta imela oba mehanika enako ceno za enako mnogo ur dodatnih popravil?

Če je bil tvoj odgovor na drugo vprašanje da, dopolni spodnji povedi z ustreznimi številskimi vrednostmi. (Pomagaj si s tabelo.)

Oba mehanika bosta imela enako ceno, če bosta opravila ur dodatnih popravilin. Tedaj bo cena pri obeh mehanikih znašala €.

  

Nasrtavimo enačbo B(t) = C(t).

vstavimo znana predpisa 10t+40 = 12t+30

ine rešimo enačbo ... x = 5.

Sedaj vemo, da bosta ceni enaki po petih urah dela B(5) = C(5), ne vemo pa še koliko bo znašal račun.

Izračunajmo še to:

B(5) = 10*5+40

B(5) = 90

Pri odgovarjanju na spodnja vprašanja si pomagaj z zgornjo tabelo.

d) Komu in zakaj se cena hireje spreminja? Od česa je to odvisno?

Binetu, ker ima višjo ceno za fiksni del.
Cenetu, ker ima nižjo ceno za fiksni del.
Binetu, ker ima nižjo ceno a dodatne ure dela.
Cenetu, ker ima višjo ceno a dodatne ure dela.
e) Največ koliko ur dodatnega dela, je lahko narejenih, da bo Cenetov račun nižji kot Binetov?

Manj kot pet.
Več kot pet.
Točno pet.
Interaktivno besedilo I

Nastaviti moramo neenačbo in poiskat interval rešitev.

Cenetova cena je nižja od Binetove. To bi z matematičnimi znako napisali: C(t) < B(t)

Sedaj vstavimo predpisa, in dobimo 12t+30 < 10t+40.

Neenačbo rešimo po klasični poti in v nekaj korakih pridemo do rešitve t < 5.

Torej je cenetova cena nižja od Binetove le, če je potrebnih manj kot 5 ur dodatnih popravil.

3. primer:

Jože in Mitja imata popolnoma enaka bazena. Jože ima v bazenu že 30m3 vode, Mitja pa le 20m3. Vendar Mitja polni svoj bazen hitreje od Jožeta. V Mitjev bazen se vsakih 20 minut natočijo 4m3, v Jožetov pa le 3m3.

a) Dopolni predpis, ki bi določil, kako se količine vode v bazenu spreminjanja v odvisnosti od časa (t) polnjenja. Upoštevaj, začetno stanje.

Kako se s časom (t) spreminja količina vode v Jožetovem bazenu, opisuje enačba VJ(t) = +( / )*t . Spreminjanje količine vode v Mitjevem bazenu pa VM(t) = +( / )*t.

  

b) Nariši grafa, ki prikazujeta spreminjanje količine vode v bazenu.

Na spodnjem apletu sta grafa, ki prikazujeta, kako se s časom spreminja količina vode v bazenu pri Jožetu in kako pri Mitji že narisana.

c) Koliko vode držita bazena, če vemo, da sta oba bazena polna v istem trenutku? Koliko časa sta se bazena polnila? (Ne pozabi, da imata oba bazena enako prostonin.)

č) Kje na grafu bomo odčitali, kdaj bosta oba bazena polna in koliko vode gre v bazen?

c) Bazena držita 60m3 vode, polnila pa sta se 120 minut. (Samo za predstavo, če je globina vode 1,5m. potem je dno veliko 40m2. Dolžina bi lahko bila 4 m, širina pa 10 m.)

d) Na grafu odčitamo koordinati presečišča P(200, 60). Abscisa 200 nam pove čas polnjenja v minutah, ordinata 60 pa količino vode v m3.

4. primer:

Peter ima mobi račun pri Minibilu, in za minuto pogovora potroši 0,25 €. Miha pa pri Maksibilu in minuto pogovora plača po 0,35 €. Peter ima na računu 4 €, Miha pa 5 €. Ko govorita po telefunu enako dolgo, pa začudena ugotovita da imata na računu enak znesek. Koliko minut sta govorila in kakšno je stanje na računu sedaj?

Slika je v javni lasti na spletnem naslovu: http://www.microsoft.com/windowsmobile/devices/reviews/ppc6700.mspx

5. primer:

Anja ima deset let več kot Miša. Pred sedmimi leti pa je bila Anja trikrat starejša od Miše. Koliko sta stari Anja in Miša?

Označimo Anjina leta z A in Mišina z M.

Vemo da je Anja 10 starejša od Miše A = M+10

Pred sedmimi leti (ko je imala Anja A-7 in Miša M-7) pa je veljalo: A-7 = 3*(M-7)

V drugo enačbo ustavimo A = M+10 in dobimo. M+10-7 = 3*(M-7). Rešitev te enačbe pa M = 12. Ko imamao ta podatek, pa lahko izračunamo še A = 22.

Anja ima torej 22, Miša pa 12 let.

 

Preverimo pravilnost:

Pred sedmimi leti je bila Anja stara 15, Miša pa 5. Torej je bila Anja res trikrat starejše.