Naučili se bomo enačbo premice zapisati v različnih oblikah in iz družine premic poiskati tisto, ki ustreza določenemu pogoju. Ogledali si bomo tudi nekaj grafov z absolutnimi vrednostmi.
Vse premice, ki predstavljajo graf kakšne linearne funkcije, lahko zapišemo v obliki y=kx+n. Toda, ali je vsaka premica v koordinatnem sistemu graf kakšne linearne funkcije?
Nariši v koordinatnem sistemu premice, ki potekajo skozi pare točk, in razmisli, ali vsaka predstavlja kakšno linearno funkcijo. A(–2, 1), B(–4, –3) C(1, 1), D(3, 0) E(–1, 2), F(–1, 5) G(–2, 3), H(1, 3)
Prva, druga in četrta premica pripadajo linearnim funkcijam, tretja pa ne, saj imamo pri istem x različne vrednosti y.
Zapiši enačbe vseh štirih premic.
y=2x+5
x=–1
y=3
Eksplicitna oblika
Enačbo y=kx+n imenujemo eksplicitna oblika enačbe premice. V tej obliki lahko zapišemo vse premice razen tistih, ki so vzporedne osi y.
Vaja
Poišči enačbo premice, ki poteka skozi točki A(–3, –2) in B(5, 2). Nalogo najprej reši računsko, nato pa rezultat preveri še s pomočjo spodnje slike tako, da premakneš točko B na pravo mesto.
Implicitna oblika
S pomočjo zgornje slike lahko tudi malo raziskuješ, saj lahko prestaviš točko B, kamor hočeš, in opazuješ spreminjanje enačbe. Poskusi jo premakniti tako, da bo ležala natančno nad A. Kaj se zgodi s smernim koeficientom premice?
Ker je z 0 prepovedano deliti, smo ostali brez njega in tudi brez eksplicitne oblike enačbe. Edini način, da zapišemo enačbo te premice, je x=c oz. x–c=0.
Da bi lahko v enotni obliki zapisali enačbe vseh premic, torej potrebujemo novo obliko enačbe.
Enotna oblika, v kateri zapišemo vse premice, je ax+by+c=0, kjer so a, b in c tri poljubna realna števila, vendar niso hkrati enaka 0. To obliko imenujemo implicitna oblika.
Vaja
Poišči enačbo premice, ki poteka skozi točki in . Njeno enačbo zapiši najprej v eksplicitni in nato še v implicitni obliki.
Eksplicitna oblika je .
To preoblikujemo v implicitno obliko tako, da najprej odpravimo vse ulomke (v našem primeru pomnožimo enačbo s 5), nato pa enačbo preoblikujemo tako, da jo enačimo z 0: .
Implicitna oblika seveda ni natanko določena, saj lahko enačbo pomnožimo s poljubnim številom. Navada je, da se znebimo ulomkov in začnemo s pozitivnim vodilnim koeficientom.
Vaja
Izračunaj premici začetno vrednost in ničlo in nato na aktivni sliki postavi točki N (začetna vrednost) in M (ničla) na ustrezno mesto v koordinatnem sistemu. Ko bosta obe točki na pravem mestu, boš dobil na sliki sporočilo in navodila za risanje premice.
n=2, m=5
Odsekovna oblika
Enačbe nekaterih premic lahko zapišemo še v tretji obliki.
Odsekovna oz. segmentna oblika enačbe se glasi
.
Razmisli
Zakaj je ta oblika koristna? Vstavi najprej v enačbo x=0. Tako izračunaš, kje premica seka os y (začetno vrednost). Nato pa vstavi še y=0. Dobil boš ničlo oz. podatek, kje premica seka os x.
Premica seka ordinatno os v točki s koordinatama (0, n), abscisno os pa v točki (m, 0). Torej nam konstanti m in n v odsekovni obliki povesta, kje premica seka osi. Od tod tudi njeno ime.
Mimogrede ste verjetno tudi opazili, da nam n pove enako v eksplicitni in odsekovni obliki.
Zapiši enačbo premice, ki je na zgornji sliki najprej v odsekovni obliki in nato še v ostalih dveh.
Odsekovna oblika je .
To preoblikujemo v eksplicitno obliko tako, da izrazimo spremenljivko y in v našem primeru dobimo .
Implicitno obliko dobimo s preoblikovanjem enačbe tako, da na eni strani nastopa število 0:
Minus v odsekovni obliki lahko postavimo tudi pred ulomkovo črto: .
Razmisli
Katere premice nimajo odsekovne oblike?
Za to obliko morata biti m in n "smiselni" števili. Torej ne moremo zapisati tistih premic, ki so vzporedne kateri koli osi (ne obstaja m ali n), in tistih, ki potekajo skozi koordinatno izhodišče (m=n=0).
Družine premic
Spoznali smo že dve družini premic. Snop premic tvorijo vzporedne premice (imajo isti smerni koeficient), šop pa tvorijo vse premice, ki potekajo skozi isto točko. Obstajajo tudi drugačne družine, ki jih povezuje kakšna skupna lastnost–ponavadi oblika enačbe.
Družino, recimo, tvorijo premice, ki imajo enačbo y=(a2+1)x+2a–1. Za vsako vrednost števila a dobimo drugačno premico.
Zapiši premice iz zgornje družine za a=–1, a=0, a=1, a=2 in jih nariši v isti koordinatni sistem.
Premice lahko tudi "narišeš" v spodnjo aktivno sliko. Klikni v okence za napisom vnos in zapiši enačbo (npr. y=2x–3), vnos vsake premice pa potrdi s pritiskom na enter.
Vaja
Dana je družina premicy=(2a–1)x+a–2. K vsaki od spodnjih zahtev poišči tak a, da bo premica ustrezala pogoju in ga vpiši v ustrezno mesto v tabelo. Ulomke piši s poševno črto, ne uporabljaj presledkov.
Določi a tako, da bo premica
vzporedna osi x
a=
JXUwMDY5JXUwMDFlJXUwMDFk
;
imela začetno vrednost –1
a=
JXUwMDY5
;
sekala os x pri x=–1/5
a=
JXUwMDZi
;
vzporedna premiciy=x+4
a=
JXUwMDY5
;
vzporedna premici x–3y+5=0
a=
JXUwMDZhJXUwMDFkJXUwMDFj
.
Rezultate lahko preveriš tudi z aktivno sliko (spreminjaj vrednost a tako, da premikaš točko a po daljici levo in desno). Če želiš preveriti vzporednost, lahko v polje vnos vpišeš tudi enačbo premice, ki ji mora biti iskana premica vzporedna.
Vaja
Spodnja slika je po obliki in delovanju enaka prejšnji, pomagala pa ti bo pri reševanju naslednjega testa. Seveda pa je prav, da naloge najprej rešiš računsko in rešitve s sliko samo preveriš.
Dana je družina premic (m–2)x+(2m+3)y+m+2=0. Določi za vsakega od primerov m tako, da bo premica
vzporedna osi x
m=
JXUwMDZh
;
vzporedna osi y
m=
JXUwMDc1JXUwMDFlJXUwMDFjJXUwMDFk
;
vzporedna premici
m=
JXUwMDY5
;
vzporedna premici 4x+y+7=0
m=
JXUwMDc1JXUwMDFm
;
potekala skozi točko A(1,–4)
m=
JXUwMDc1JXUwMDFm
;
imela začetno vrednost –1
m=
JXUwMDc1JXUwMDFj
.
Grafi z absolutnimi vrednostmi
Nariši graf y=|2x–3|.
Nariši najprej graf premice brez absolutne vrednosti in nato pomisli, kaj absolutna vrednost naredi s števili.
Preveri svoj graf na spodnji sliki. Če v spodnji vrstici klikneš na gumb desno od oznake 0/2, se nariše najprej graf y=2x–3, ob naslednjem kliku pa še končni graf.
Če je celoten izraz med absolutnimi oklepaji, se del grafa, ki leži na spodnji polravnini (negativni ipsiloni), prezrcali preko osi x na zgornjo polravnino.
Nariši graf y=2|x|–3.
Na katero spremenljivko vpliva tokrat absolutna vrednost?
Tudi tu lahko animiraš risanje z istim gumbom kot prej.
Kadar je samo spremenljivka v absolutnem oklepaju, se graf pri negativnih x obnaša enako kot pri pozitivnih. Torej moramo del, ki je na desni polravnini, prezrcaliti še na levo polravnino.
Nariši še graf .
Poskusi kombinirati znanje iz zadnjih dveh primerov.
Tokrat bo animacija potekala v treh korakih. Najprej se izriše graf y=2x–3, nato y=2|x|–3 in končno y=|2·|x|–3|. Seveda pa poskusi najprej risati samostojno.
Zadnjo nalogo reši popolnoma samostojno in na koncu preveri rešitev pod gumbom. Nariši torej graf y=|–|x|+3|