Kriteriji deljivosti

Ogledali si bomo, kako brez kalkulatorja in dolgotrajnega deljenja ugotoviti deljivost z nekaterimi števili.
Na spodnjih dveh konstrukcijah ugotovi, ali sta dani števili deljivi z naštetimi števili. Ko boš vse rdeče točke postavil pravilno v polja DA/NE, se bo izpisalo obvestilo.

Dano število deliš z 2, 3, 4, ...

Če pri deljenju ne dobiš ostanka, označiš DA, če pa dobiš ostanek, označiš NE.

Pomagaš si lahko tudi s kalkulatorjem. Če količnik vsebuje decimalke, dano število ni deljivo z izbranim številom.

 

Če dano število delimo z 2, 3, 4, ..., imamo z deljenjem kar nekaj dela. Poleg tega se lahko še hitro zmotimo, ...

Tudi kalkulator nas pri tem številu pusti na cedilu. Na njegovem zaslonu se ponavadi lahko izpišejo le do 10-mestna števila. V tem primeru pa imamo kar 21-mestno število.

Predelaj naslednjo snov o kriterijih deljivosti in se kasneje vrni k nalogi. Spoznal boš, kako brez kalkulatorja in hudega računanja pravilno rešiš zastavljeno nalogo.

 
Kriterij za deljivost s števili 2, 4, 8, ...

Zapišemo:

3674=4+7·10+6·100+3·1000

Števila 10, 100, 1000 so vsa tri deljiva z 2, zato lahko 2 izpostavimo:

3674=4+2(7·5+6·50+3·500)=4+2·nekaj

Ostale so enice in število, deljivo z 2. Kdaj je torej število deljivo z 2? Takrat, ko so njegove enice deljive z 2. Kdaj so enice deljive z 2? Ko so enake 0, 2, 4, 6, 8.

Število 3674 je deljivo z 2, saj so enice 4 deljive z 2.

Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti, ali je neko število deljivo z 2.
img9_5
 

Zapišemo:

6783674=4+7·10+6·100+3·1.000+8·10.000+7·100.000+6·1.000.000

Števila 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 so vsa deljiva s 4, zato lahko 4 izpostavimo:

6783674=4+7·10+4(6·25+3·250+8·2.500+7·25.000+6·250.000)=

=4+7·10+4·nekaj=74+4·nekaj

Ostal je dvomestni konec in število, deljivo s 4.

Kdaj je torej število deljivo s 4? Ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4.

Število 6783674 ni deljivo s 4, saj 74 ni deljivo s 4.
Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti deljivost nekega števila s številom 4.
img8_5
 
Ugotovili smo, da je število deljivo z 2, ko so njegove enice deljive z 2. Število je deljivo s 4, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4. Poskusi ugotoviti, ali je število 6783840 deljivo z 8 ter kakšen je kriterij za deljivost s številom 8.
  • Število je deljivo z 2, ko so njegove enice deljive z 2.
  • Število je deljivo s 4, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4.
  • Število je deljivo z 8, ko je njegov trimestni konec deljiv z 8.
 
Naloga

V številu 5620563a določi števko a tako, da bo to število deljivo:

a) z 2,

b) s 4,

c) z 8.

Naloga

V številu 12673a4a določi števko a tako, da bo to število deljivo:

a) z 2,

b) s 4,

c) z 8.

 
Kriterij za deljivost s števili 5, 25, ...

Zapišemo:

7352799=9+9·10+7·100+2·1.000+5·10.000+3·100.000+7·1.000.000

Števila 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 so vsa deljiva s 5, zato lahko 5 izpostavimo:

7352799=9+5(9·2+7·20+2·200+5·2.000+3·20.000+7·200.000)=9+5·nekaj

Ostale so enice in število, deljivo s 5.

Kdaj je število deljivo s 5? Takrat, ko so njegove enice deljive s 5.

Število 7352799 ni deljivo s 5, saj enice 9 niso deljive s 5.

Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti, ali je neko število deljivo s 5.
img15_5
 

Zapišemo:

6200375=5+7·10+3·100+0·1.000+0·10.000+2·100.000+6·1.000.000

Števila 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 so vsa deljiva s 25, zato lahko 25 izpostavimo:

6200375=5+7·10+25(3·4+0·40+0·400+2·4.000+6·40.000)=5+7·10+25·nekaj=75+25·nekaj

Ostal je dvomestni konec in število, deljivo s 25.

Kdaj je število deljivo s 25? Takrat, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 25.

Število 6200375 je deljivo s 25, saj je dvomestni konec 75 deljiv s 25.
Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti deljivost nekega števila s številom 25.
img17_5
  • Število je deljivo s 5, ko so njegove enice deljive s 5.
  • Število je deljivo s 25, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 25.
 
Naloga

V številu 42286a določi števko a tako, da bo to število deljivo:

a) s 5

b) s 25

Kriterij za deljivost s številoma 3 in 9

Zapišemo: 7224=4+2·10+2·100+7·1000

Preoblikujmo: 7224=4+2·(9+1)+2·(99+1)+7·(999+1)

Pomnožimo: 7224=4+2·9+2+2·99+2+7·999+7

Števila 9, 99, 999 so deljiva s 3, zato iz njih 3 izpostavimo:

7224=4+2+2+7+3(2·3+2·33+7·333)=4+2+2+7+3·nekaj

Kaj pa je ravno 4+2+2+7?

To je ravno vsota števk.

7224=vsota števk+3·nekaj

Kdaj je torej število deljivo s 3?

Ko je vsota njegovih števk deljiva s 3.

Vsota števk števila 7224 je enaka 4+2+2+7=15 in je deljiva s 3.

Zato je število 7224 deljivo s 3.

 
Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti, ali je neko število deljivo s 3.
img22_5

Zapišemo: 4880123=3+2·10+1·100+0·1.000+8·10.000+8·100.000+4·1.000.000

Preoblikujmo: 4880123=3+2·(1+9)+1·(1+99)+0·(1+999)+8·(1+9.999)+8·(1+99.999)+4·(1+999.999)

Pomnožimo: 4880123=3+2·1+2·9+1·1+1·99+0·1+0·999+8·1+8·9.999+8·1+8·99.999+4·1+4·999.999

Števila 9, 99, 999, 9.999, 99.999, 999.999 so deljiva z 9, zato iz njih 9 izpostavimo:

4880123=3+2+1+0+8+8+4+4+9(2·1+1·11+0·111+8·1.111+8·11.111+4·111.111)=

=3+2+1+0+8+8+4+4+9·nekaj

Kaj pa je ravno 3+2+1+0+8+8+4?

To je ravno vsota števk.

4880123=vsota števk+9·nekaj

Kdaj je torej število deljivo z 9?

Ko je vsota njegovih števk deljiva z 9.

Vsota števk števila 4880123 je enaka 3+2+1+0+8+8+4=26 in ni deljiva z 9.

Zato število 44880123 ni deljivo z 9.
 
Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti deljivost nekega števila s številom 9.
img24_5

Število je deljivo s 3, ko je vsota njegovih števk deljiva s 3.

Število je deljivo z 9, ko je vsota njegovih števk deljiva z 9.

 
Naloga

V številu 46670a določi števko a tako, da bo to število deljivo:

a) s 3,

b) z 9.

Število je deljivo s 3, ko je vsota njegovih števk deljiva s 3.

Število je deljivo z 9, ko je vsota njegovih števk deljiva z 9.

Zato izračunajmo vsoto števk:

vsota števk = 4+6+6+7+0+a=23+a

Ker je a števka, mora biti eno izmed števil 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Zapišimo vse možne vsote števk in za vsako posebej komentirajmo deljivost s 3 in z 9.

Števka a Vsota števk = 23+a Je število deljivo s 3? Je število deljivo z 9?
0 23+0=23 nene
1 23+1=24 dane
2 23+2= nene
3 23+3= nene
23+4= da
23+5=28
23+6=29
7 23+7=30
8 23+8=31
9
23+9=32

 

a) Da je število 46670a deljivo s 3, mora biti števka a eno izmed števil 1, 4, .

b) Da je število 46670a deljivo z 9, mora biti števka a enaka .

  

 
Naloga

V številu 2a3a4a5a00 določi števko a tako, da bo to število deljivo:

a) s 3,

b) z 9.

 
Naloga

Koliko je takih parov števk a in b, da je število 33ab89b4 deljivo:

a) s 3,

b) z 9.

 
Kriterij za deljivost s številom 11

Zapišemo:

291038=8+3·10+0·100+1·1.000+9·10.000+2·100.000

Preoblikujemo:

291038=8+3·(11–1)+0·(99+1)+1·(1.0011)+9·(9.999+1)+2·(100.0011)

Pomnožimo:

291038=8+3·113·1+0·99+0·1+1·1.0011·1+9·9.999+9·1+2·100.0012·1

Preoblikujemo:

291038=83·1+0·11·12·1+9·1+3·11+0·99+1·1.001+9·9.999+2·100.001

Števila 99, 9999, 999999, ... so vedno deljiva z 11.

Števila 11, 1001, 100001, ... so vedno deljiva z 11.

Izpostavimo 11:

291038=8-3+012+9+11(3·1+0·9+1·91+9·909+2·9091)=83+01+92+11·nekaj

Kaj pa je 83+0-1+92?

Je ravno zadnja števkapredzadnja + prepredzadnja...

Kdaj je torej število deljivo z 11?

Takrat, ko je število: zadnja števkapredzadnja + prepredzadnja... deljivo z 11.

V našem primeru: 83+01+92=11

Dobili smo 11. Ker je 11 deljivo z 11, je tudi število 291038 deljivo z 11.
Na naslednji animaciji si oglejmo, kako brez dolgotrajnega deljenja preveriti deljivost nekega števila s številom 11.
img31_5
Naloga
Določi števko m tako, da bo število 687m52 deljivo z 11.
 
Še nekaj kriterijev
Ali je 2337222 deljivo s 6?

Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in s 3 hkrati.

  • Ali je 2337222 deljivo z 2? Je, ker so enice deljive z 2.
  • Ali je 2337222 deljivo s 3? Je, ker je vsota števk 21 deljiva s 3.

Torej je število 2337222 deljivo s 6.

Ali je 366295 deljivo z 10?

Število je deljivo z 10, če je deljivo z 2 in s 5 hkrati.

  • Da je deljivo s 5, morajo biti enice 0 ali 5.
  • Če pa je število deljivo še z 2, morajo biti enice 0.

Torej število 366295 ni deljivo z 10, saj njegove enice niso enake 0.

 

Kriterij za deljivost z 10: enice števila morajo biti enake 0.

Naloga: Utemelji kriterij za deljivost s številom 10 na podoben način, kot smo ga utemeljili za števili 2 in 5.

 
Ali je število 42552 deljivo z 18?

Število je deljivo z 18, če je deljivo z 2 in z 9 hkrati.

  • 42552 je deljivo z 2, saj so enice 2 deljive z 2.
  • 42552 je deljivo z 9, saj je vsota števk 18 deljiva z 9.

Ker je število 42552 deljivo z 2 in z 9, je deljivo tudi z 18.

 

Zakaj pa nismo začeli takole: število je deljivo z 18, če je deljivo s 6 in s 3 hkrati?

Npr. število 12 je deljivo s 6 in s 3 hkrati, ni pa deljivo z 18.

Števili ne smeta biti deljivi z istim številom, večjim od 1!

2 in 9 nista deljivi z istim številom, večjim od 1.

6 in 3 sta obe deljivi s 3.

Pravilen sklep: Če je neko število deljivo z 2 in z 9, je deljivo z 18.

Napačen sklep: Če je neko število deljivo s 3 in s 6, je deljivo z 18.

 
Preveri svoje znanje
S katerimi od naštetih števil je deljivo število 360024?
S števili 4, 5 in 6.
S števili 3, 6 in 9.
S števili 2, 3, 4 in 6.

Določi števko a tako, da bo število 123456a8 deljivo s 4.

Števka a mora biti eno imed števil 0, 2, 4, 6, 8.
Števka a mora biti enaka 8.

Taka števka a ne obstaja.


Določi števko b tako, da bo število 27719b3 deljivo z 9.
b=7
b=4
b=0

Določi števko a tako, da bo število 56133a deljivo s 6.

a=5
a=6
a1=0 in a2=6

 
Rešitev uvodne naloge
Še enkrat poskusi rešiti uvodno nalogo.