Ploščina trikotnika

V koordinatnem sistemu je trikotnik podan s koordinatami svojih oglišč. Naučili se bomo izračunati njegovo ploščino.
img2_5
Narišimo v koordinatnem sistemu tri točke in jih povežimo v trikotnik. Radi bi določili njegovo ploščino. Na prvi pogled je videti zapleteno, vendar bomo kmalu spoznali, da ni tako. Za začetek povlecimo iz vseh treh točk pravokotnice na os x.
 

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Točke, v katerih te pravokotnice sekajo os, označimo po vrsti z D, E in F, da se bomo lažje pogovarjali.
Če se za hip ustavimo ob zgornji sliki, bomo verjetno opazili, da na njej ni več samo trikotnik, ampak še nekaj trapezov. (Res da osnovnice niso vodoravne, kot smo vajeni, ampak navpične, pa nič zato.)

Če slučajno trapezov ne vidiš dobro, povleci z miško točko na drsniku levo zgoraj v desno.

 
Razmisli
Zanimali nas bodo trapezi ADFB, ADEC in CEFB. Podatki so koordinate točk A, B in C tako, kot so označene na sliki.
Izrazi in zapiši za vsakega od trapezov dolžine osnovnic in višine. Rezultate preveri s klikom na spodnji gumb.

S temi podatki znamo izračunati ploščine trapezov. Označimo ploščino trapeza ADFB z oznako S1, ploščino trapeza ADEC kot S2 in ploščino trapeza CEFB kot S3.
Poskusi izraziti ploščino trikotnika ABC s temi tremi ploščinami.

img8_5
Poglejmo torej:

.

Malo računske spretnosti je treba, da ta izraz preoblikujemo v obliko, ki si jo lažje zapomnimo:


 

Na aktivni sliki lahko premikaš katero koli točko in opazuješ, kako se spreminjajo posamezne ploščine. Utegne se zgoditi, da bo kakšna "ploščina" negativna, ker smo dolžine definirali s koordinatami. To pomeni, da ustrezno ploščino odštejemo, ne pa prištejemo.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
Pri končnem rezultatu, ki je na sliki zapisan krepko, pa je le nerodno, če je negativen. To se zgodi, če leži točka C pod zveznico točk A in B. Zato uvedemo še eno novo količino – orientacijo trikotnika.
 
Dogovorimo se, da je trikotnik ABC orientiran pozitivno, če si njegova oglišča sledijo v nasprotni smeri kazalcev na uri, in negativno, če si sledijo v smeri kazalcev.
img17_5
Trikotnik ABC je na sliki orientiran pozitivno, trikotnik DEF pa negativno.
 
img19_5
Vaja
Določi orientacije trikotnikov na zgornji sliki in v prazno polje za opisom trikotnika spodaj zapiši p, če je trikotnik orientiran pozitivno, in n, če je orientiran negativno.
Pazi, kako si sledijo točke v opisu trikotnika.

trikotnik ACB
trikotnik FED
trikotnik GHI
trikotnik DEF
trikotnik LKJ
trikotnik NOM  

  

 

Zato bomo uradno različico obrazca zapisali v obliki

,

pri čemer nam bo absolutna vrednost rezultata, ki ga dobimo na desni strani, predstavljala ploščino trikotnika, predznak pa orientacijo trikotnika (o=+1 ali o=–1).

 
Za raziskovalce

Rezultate naslednjih vaj lahko preveriš tudi s spodnjo aktivno sliko. Točke lahko poljubno premikaš po koordinatnem sistemu in opazuješ, kako se spreminjata ploščina in orientacija trikotnika.
Če potrebuješ več ravnine, kot je vidiš, desno klikni na risalno površino in izberi povečavo, ki je manjša od 100 %. Elipsa v zgornjem desnem kotu slike postavi vse elemente slike spet na začetno lego.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
 
Vaja

Izračunaj ploščino trikotnika ABC in mu določi orientacijo, če imajo njegova oglišča koordinate A(–2,1), B(3,2) in C(4,–5).
Trikotnik nariši v koordinatni sistem.

Vaja
Imamo točke s koordinatami A(1, 1), B(x, 4) in C(–1, 5). Določi neznano koordinato točke B, če veš, da ima trikotnik ABC ploščino 11. Poišči obe možnosti.
 
Vaja
Naslednja vaja je podobna prejšnjim, rezultat pa je malo nenavaden.

Izračunaj ploščino trikotnika ABC in mu določi orientacijo, če so oglišča A(–2, 2), B(2, 4) in C(4, 5).

Malo čuden trikotnik. Če še nimaš ideje, kakšen bi bil videti, si nariši oglišča v koordinatni sistem.

 
Vaja
Podane so točke A(3, y), B(–1, 5) in C(2, 2). Določi neznano koordinato tako, da bodo točke ležale na isti premici.
Pomagaj si najprej s spodnjo aktivno sliko, kjer lahko poljubno premikaš točke, rezultat pa preveri še računsko.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Računsko rešimo nalogo tudi tako, da v enačbo za ploščino trikotnika vstavimo koordinate vseh treh točk, v levo stran pa ploščino 0.

,

enačbo uredimo

in dobimo rešitev

.

 
Vaja
Reši spodnji dve nalogi računsko in rezultate zapiši v za to namenjena mesta za nalogama. Ulomke zapisuj s poševno črto.
  • Določi neznano koordinato točke C tako, da bodo točke kolinearne, če je A(2, 1), B(1, 1/2) in C(5, y).

y=

  • Poišči koordinate točke A, če veš, da leži na osi x in so točke A, B(4, 10) in C(–1, 5) kolinearne.

A( , )

  

 
Vaja

Za konec še ena vaja, kjer bomo videli, da je včasih mogoče ploščino izračunati tudi bolj enostavno.

Izračunaj torej ploščino trikotnika, ki ima oglišča v točkah A(–3, –2), B(4, –2), C(2, 3). Najprej si nariši ustrezno sliko in poskusi izračunati ploščino brez nove formule.

 
Pa še nekaj
 dodatnih nalog
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008