Linearna enačba

Spoznali bomo linearno enačbo in se ukvarjali z načini njenega reševanja.
Enačbo dobimo, če povežemo z enačajem dva matematična izraza npr. ali

Oznako linearna dobi enačba po lastnosti, da neznana količina nastopa v linearni obliki (torej brez potenc).

Kadar enačbe rešujemo, iščemo vse take vrednosti neznanke x, za katere je izraz resničen.

 
Ugani

Na aktivni sliki lahko poskusiš uganiti, katero število je rešitev enačbe.

Klikni v vrstico "vnos" in vpiši t= (poljubno število). Kot decimalno ločilo uporabi piko, če pa želiš vnašati ulomke, uporabi poševno črto.

Postopek lahko večkrat ponoviš.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
t=0.75
 

Ugibanje rešitev je seveda dolgotrajno, mukotrpno in včasih brezupno početje. Zato uporabljamo za reševanje enačb bolj eksaktne metode.
Najpogostejša postopka sta:

1. Levi in desni strani enačbe lahko prištejemo ali odštejemo isto število ali izraz.

Poglejmo si enačbo

Prištejemo ali odštejemo lahko karkoli, vendar ponavadi pri linearni enačbi "ločimo števila od neznank". Poskusimo torej na obeh straneh prišteti 5 in hkrati odšteti 2x.

Dobili bomo

Ponavadi ta postopek uporabimo kot:
Posamezne člene lahko prenesemo z ene strani enačbe na drugo in jim pri tem spremenimo predznak.

Sedaj pa rešimo enačbo do konca,

 
2. Levo in desno stran enačbe lahko pomnožimo ali delimo z istim številom ali izrazom, vendar ne z 0.

Oglejmo si ta postopek na primeru

Enačbo lahko pomnožimo s čimerkoli, ponavadi pa se odločimo za najmanjši skupni večkratnik vseh imenovalcev, v tem primeru je to 6.

Množimo vsak člen posebej in sproti krajšamo imenovalce z množiteljem

Pri drugem ulomku se imenovalec in množitelj sicer okrajšata do 1, vendar vseeno uporabimo oklepaje, ker velja minus pred ulomkovo črto za cel števec.
Odpravimo sedaj oklepaje in uporabimo prejšnje pravilo, da prenesemo število na desno stran

Enačbo še delimo z 2 in dobimo rešitev

 
Preveri posamezne korake
V naslednjih vajah je potrebno narediti en korak naprej pri reševanju enačbe. Pri vsakem primeru klikni na tisti odgovor, za katerega misliš, da je pravilen.

Kaj je prav?

       
2x=10
2x=4
2x=21
Kaj je prav?
  
x-4=2
3x=10
3x=2
 
  • 2x=-8
Kaj je prav?
  
x=-10
x=-6
x=-4
x=4
x=-16
Kaj je prav?
       
x=15
x=36
x=4
x=-4
 

Enačbo razširimo s 30. Katera od možnosti je brez napak?
  
 
Tole si samo oglej
S klikom na gumb zaženi risanko in si oglej reševanje enačbe, ki si jo srečal že na začetku.


 
To pa rešiva skupaj
Pri tej vaji poskusi reševati enačbo tako, da slediš navodilom. Delne rešitve (in včasih navodila za nadaljevanje) so skrite za gumbom z vprašajem.

Poišči najprej skupni imenovalec.


Pomnoži enačbo s tem imenovalcem in sproti okrajšaj ulomke. V naslednjem koraku (ali pa tudi hkrati) odpravi še oklepaje.

Prenesi člene z neznanko na levo stran in sama števila na desno ter uredi vsako stran posebej.


Želiš preveriti, če si enačbo pravilno rešil? Rešitev vstavi posebej v levo in posebej v desno stran enačbe. Če imata obe strani enako vrednost, je rešitev v redu, sicer pa si se nekje zmotil - primerjaj s postopkom na začetni sliki.

Poskusi to narediti s pravkar rešeno enačbo - vstavi v vsako stran posebej -8.


 
Sedaj pa sam
Reši spodnje enačbe. Rešitve vpiši v prazna okenca za enačbami. Pri tem ne uporabljaj presledkov in zapiši ulomke s poševno črto.

2(x-4)-3=5x-2(3x+1)

x=
4(1-2x)-1=5-2(x+3) x=
y=
z=
(a-2)2-(5a+4)=(a-5)(a+1)+3a-7 a=
(2m-3)(2m+3)-(m-1)2=3m(m+4)-(m+2)

m=

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 
Posebni primeri
Pri reševanju enačb pa naletimo včasih tudi na probleme. Oglejmo si dva primera.

Poskusi rešiti enačbo

(x+1)2-4x+2=x2-2x+3

Na prvi pogled to sploh ne bo linearna enačba, saj nastopa v njej tudi kvadrat neznanke. Vseeno jo poskusi urediti. 


Poskusi rešiti enačbo


 
Tu te čaka še ducat  dodatnih nalog.
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008