Kartezični produkt

V življenju za natančne opise velikokrat potrebujemo dva ali več povezanih podatkov, ki jih na kratko predstavimo kot urejene pare. Lego točke v ravnini opišemo z dvema koordinatama (x, y), pravokotnik je določen z dvema stranicama (a, b), lega na zemeljski obli je določena z geografsko širino in geografsko dolžino ... Spoznali bomo množico, ki ima za svoje elemente urejene pare.
Šah
Kako bi na kratko opredelili lego figure na šahovnici? Premakni točko na pozicijo .
 

René Descartes du Perron Cartesius (1596–1650) je znan francoski matematik in filozof, po katerem se imenuje kartezični koordinatni sistem. René je bil kot otrok izredno šibkega zdravja in je večkrat ves dan ostal v postelji, od koder je nekoč opazoval muho, ki je krožila po zraku. Prišel je do ideje, da bi lahko njen položaj v vsakem trenutku opisal z določitvijo koordinatnega sistema v prostoru (tri med seboj pravokotne osi, ki se sekajo v skupni točki–izhodišču koordinatnega sistema). Položaj muhe je določil s tremi koordinatami.

Koordinatni sistem v ravnini določata dve koordinatni osi, ki sta med seboj pravokotni. Izhodišče koordinatnega sistema je njuno presečišče. Točke v ravnini z določenim koordinatnim sistemom natančno opišemo z dvema koordinatama .

KARTEZIČNI PRODUKT množic in je množica urejenih parov, pri čemer je prvi element iz prve množice, drugi element pa iz druge množice.

Primer

Dani sta množici in . Določi elemente kartezičnega produkta . (Pomagaj si s šahovnico zgoraj.)

OPOZORILO

urejenem paru, ki je element kartezičnega produkta, je pomemben vrstni red elementov. Na prvem mestu je element iz prve množice, na drugem mestu urejenega para pa element iz druge množice.

 
Točka na ravnini
Premikaj piki na x osi in y osi ter opazuj, kaj se dogaja s koordinatama točke A.
 
Pravokotnik
Premikaj točke A, B, C in D ter opazuj, kaj se dogaja s pravokotnikom in kaj s koordinatami točk, zapisanimi pod abscisno osjo.

Razlika je v tem, da pri zapisu množice ni pomemben vrstni red elementov znotraj zavitih oklepajev. To pomeni, da sta množici in enaki.

Pri urejenem paru je pomemben vrstni red elementov. To pomeni, da urejen par ni enak urejenemu paru . Urejena para predstavljata dve različni točki.

 
Primeri
1. Dani sta množici in . Zapiši elemente kartezičnega produkta .   
2. Dani sta množici in . Zapiši elemente kartezičnega produkta .   

Premislimo, ali je kartezični produkt komutativen. Ali sta množici in enaki? Pomagaj si z zgornjima primeroma.

Kartezični produkt ni komutativen.

3. Zapiši kartezični produkt , pri čemer je .   
 
Moč kartezičnega produkta

Kolikšna je moč kartezičnega produkta , če poznamo moči množic in in ?

Prešteti moramo vse urejene pare v množici . Urejen par sestavimo tako, da najprej izberemo prvi element urejenega para (vseh možnosti za izbiro prvega elementa je , kolikor je elementov v množici ). Pri poljubni izbiri prvega elementa v urejenem paru lahko izberemo kateri koli element iz množice za drugi element v urejenem paru. Število vseh izbir za drugi element urejenega para je enako številu vseh elementov v množici , torej .

 

img13_3
Vseh urejenih parov v množici je .

Moč kartezičnega produkta je enaka produktu moči množic.

 
Naloge
1. Množica ima 4 elemente, množica pa 6 elementov. Koliko elementov ima kartezični produkt ?   
10 elementov
6 elementov
24 elementov
2. Dane so množice , in .

Zapiši elemente množice .

       
 
3. Poišči tako množico , da bo veljalo .
4. Kolikšna je moč potenčne množice kartezičnega produkta, če ima množica 3 elemente in množica 5 elementov?

m( ) = m()·m() = 3·5 = 15

m(P( )) = 2moč( ) = 215

5. Koliko elementov ima množica , če je in ?

Števila 4, 6 in 8 so vsebovana v obeh množicah in (glej presek). Zaradi vseh zapisanih pogojev je in .

 
Premakni in opazuj

Kakšno množico točk predstavlja kartezični produkt , kjer sta in intervala in . Pomagaj si s spodnjim prikazom, kjer lahko premikaš točke A, B, C in D.

Po tem prikazu boš gotovo pravilno rešil naslednjo nalogo.

Zapiši kartezični produkt še na drugačen način.

  
 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008