Iva, Jan, Tim, Tea, Miha in Janja potrebujejo hrano za piknik. Ker nihče noče prostovoljno v trgovino, se dogovorijo, da naj izštevanka določi "srečnega izbranca". Izštevanko začnejo šteti pri Ivi v smeri proti Janu (glej spodnjo sliko). Izštevanka se ustavi pri Mihi. Točno tedaj zazvoni telefon. Miha, Tim in Janja morajo nujno takoj domov. Zdaj Iva, Jan in Tea ponovijo isto izštevanko. Spet začnejo pri Ivi in nadaljujejo proti Janu. Kdo bo moral v trgovino? Razloži.
Predelaj snov o osnovnem izreku o deljenju, ki je pred teboj, in se kasneje vrni k nalogi.
Delimo karte
Na spodnji konstrukciji razdeli karte tako, da vsak igralec dobi enako število kart. Karte, ki ti ostanejo, daj v okvirček za ostanek. Igralci naj dobijo največje možno število kart. Ko boš karte razporedil pravilno, se bo izpisalo obvestilo.
Najprej daj vsakemu igralcu 1 karto: porabiš 5 kart.
Vsakemu igralcu dodaj še eno karto: porabiš skupno 10 kart.
Vsakemu igralcu dodaj še eno karto: porabiš skupno 15 kart.
Ostaneta ti še 2 karti, zato ne moreš več dati vsakemu igralcu po eno karto. Ti dve karti daj v okvirček za ostanek.
19:5 = 3, ost. 4
Vsak igralec dobi 3 karte, ostanejo 4 karte.
20:5 = 4, ost. 0
Vsak igralec dobi 4 karte, nobena ne ostane.
Ne. Če imamo namreč še sedem kart, jih odvzamemo 5 in damo vsakemu igralcu še eno karto. Tako nam ostaneta 2 karti.
Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, 4
Če bi bil ostanek 5 ali več, bi lahko odvzeli 5 kart in zmanjšali ostanek.
Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Če nam ostane 8 kart ali več, lahko vsakemu igralcu damo vsaj še 1 karto in tako zmanjšamo ostanek.
Predstavljajmo si, da karte delimo igralcem po vrsti takole:
vsakemu igralcu damo 1 karto,
vsakemu igralcu damo še 1 karto,
vsakemu igralcu damo še 1 karto ...
Pri takem postopku imamo zagotovo po nekem koraku v rokah manj kart, kot je igralcev. Te karte damo v ostanek.
Takšen postopek točno določa, koliko kart dobi posamezen igralec in kolikšen je ostanek.
Računsko pa to pomeni, da sta pri deljenju dveh števil količnik in ostanek točno določena.
Število kart = 5·4+2 = 22
Razdelili smo 22 kart.
Osnovni izrek o deljenju
Delimo 7 s 3. Kaj dobimo? (Predstavljaj si karte.)
7:3 = 2, ost. 1, kar je zapisano z enačbo 7 = 3·2+1.
Pri tem sta ostanek = 1 in količnik = 2 točno določena.
Ostanek mora biti manjši od 3, torej števila, s katerim delimo.
Možni ostanki: 0, 1, 2
Delimo 13 s 5. Kaj dobimo? Dopolni.
13:5 = 2, ost. 3, kar je zapisano z enačbo
JXUwMDY5JXUwMDAy
= 5·
JXUwMDZh
+
JXUwMDZi
.
Pri tem sta ostanek =
JXUwMDZi
in količnik =
JXUwMDZh
točno določena.
Ostanek mora biti manjši od 5, torej števila, s katerim delimo.
Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, 4
To pa je že točno to, kar pravi osnovni izrek o deljenju. Povejmo ga še splošno.
Naj bosta a in in b naravni števili. Če delimo število a s številom b, dobimo točno določen količnik k in ostanek o.
a:b = k, ost. o, kar je zapisano z enačbo a = b·k+o.
Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, ... b–1
Naloge
Zapiši osnovni izrek o deljenju za števili 14 in 3.
14:3 = 4, ost. 2
Enačba: 14 = 3·4+2
Zapiši osnovni izrek o deljenju za števili 59 in 9.
59:9 = 6, ost. 5
Enačba: 59 = 9·6+5
Katero število moramo deliti z 10, da dobimo količnik 3 in ostanek 4?
x:10 = 3, ost. 4
Enačba: x = 10·3+4 = 30+4 = 34
Deliti moramo število 34.
S katerim številom moramo deliti 50, da dobimo količnik 8 in ostanek 2?
50:x = 8, ost. 2
Enačba: 50 = x·8+2
Rešimo enačbo:
50 = 8x+2
50–2 = 8x
48 = 8x
x = 6
Deliti moramo s številom 6.
Če število 6a+4 delimo s številom a–1, dobimo količnik 7 in ostanek 1. Določi število a.
(6a+4):(a–1) = 7, ost.1
Enačba: 6a+4 = (a–1)·7+1
Rešimo enačbo:
6a+4 = 7a–7+1
10 = a
a = 10
Naloga
Kateri so možni ostanki pri deljenju s številom 7?
Namig
Ostanek je vedno manjši od števila s katerim delimo; torej 7. Najmanjši možen ostanek je 0.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Narobe
Pravilno
Narobe
Zapis števila po osnovnem izreku o deljenju
Zapiši prvih 5 naravnih števil, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 2.
Pozorno si oglej račun na spodnji sliki. Razmisli, kolikšen je ostanek pri deljenju števila x z 20 in kolikšen pri deljenju s 5.
Ker je x = 20k+9, je ostanek pri deljenju števila x s številom 20 enak 9.
Ker je x = 5(4k+1)+4, je ostanek pri deljenju števila x s številom 5 enak 4.
Naloga
Če delimo neko število s 40, dobimo ostanek 12. Kolikšen je ostanek, če to število delimo s 5? Pomagaj si z računom, podobnim tistemu na sliki iz prejšnje naloge.
Namig
n:40 = k, ost. 12
enačba: n = 40k+12
Radi bi dobili n = 5·nekaj+ostanek, kjer je ostanek manjši od 5
12
2
3
Nepravilno, saj ostanek pri deljenju s 5 mora biti eno izmed števil 0, 1, 2, 3, 4.
Pravilno.
n = 40k+12 = 40k+10+2 = 5·(8k+2)+2
Če dano število delimo s 5, dobimo ostanek 2.
Nepravilno.
Rešitev uvodne naloge
Še enkrat poskusi rešiti nalogo z izštevanko.
Besedilo izštevanke določa, do koliko moramo pri izštevanki šteti.
Npr. pri uvodu izštevanke Am(1) bam(2) pet pod(3)gan(4) štejemo do 4.
Recimo, da pri naši izštevanki (ki je sploh ne poznamo) štejemo do n. S koliko moramo deliti število n v prvem primeru, ko je 6 ljudi, in koliko v drugem primeru, ko so 3 ljudje?
Kolikšen je ostanek v prvem primeru? Kolikšen mora biti zato v drugem?
Izštevanka za 6 ljudi
Recimo, da pri izštevanki štejemo do n.
Ker je 6 ljudi, n delimo s 6.
Ker je Miha peti po vrsti, je ostanek pri deljenju števila n s 6 enak 5.
Torej je n oblike n = 6k+5.
Izštevanka za 3 ljudi
Ker so 3 ljudje, n delimo s 3.
Kolikšen je ostanek pri deljenju števila n s številom 3?
n = 6k+5 = 6k+3+2 = 3·(2k+1)+2
Ostanek pri deljenju števila n s 3 je enak 2.
Ker je Jan drugi po vrsti, bo moral v trgovino.
Dobro premisli, kako lahko svoje znanje uporabiš tudi v "koristne" namene!
(Kje začeti izštevanko, da se bo končala ravno pri ...)