Potenčna množica

Spoznali smo že, da so lahko elementi množic zelo različne stvari. V zanimivi množici, ki jo bomo spoznali, bodo elementi kar podmnožice dane množice.

Jana ima tri sošolce, ki so ji všeč: Žiga, Gala in Naceta. Ugiba, kateri od fantov je zaljubljen vanjo. Ugotovila je, da je veliko možnosti. Lahko so vsi trije, lahko sta Žiga in Gal, ali Žiga in Nace, ali Gal in Nace, ali samo Žiga, ali samo Gal, ali samo Nace in čisto na koncu je ugotovila, da je možno, da ni vanjo zaljubljen nihče.

Če naštejemo vse možnosti,

Žiga
Gal
Nace
Žiga
Gal
Žiga
Nace
Gal
Nace
Žiga Gal Nace nihče

smo dobili ravno množico, ki ima za svoje elemente vse podmnožice "treh fantov".

img28_5
 

Kako bi zapisali množico vseh podmnožic množice ?

img2_3
Zapišimo množico vseh podmnožic množice .
img3_3

POTENČNA MNOŽICA množice je množica vseh njenih podmnožic.

 
Moč potenčne množice

Kolikšna je moč potenčne množice množice ?
Prešteti moramo vse podmnožice množice , kar je isto, če preštejemo elemente .

Kolikšna je moč potenčne množice množice , ki ima 4 elemente?
 

Poskusimo skupaj določiti, kolikšna je moč potenčne množice , ki ima n elementov.

Kako sestavimo poljubno podmnožico množice ? Za elemente množice se zaporedoma odločamo, ali jih izberemo ali ne.

Katere podmnožice množice sestavimo s posameznimi odločitvami?

img12_3
 
Preizkusi se

Množice na desni strani nesi z miško na ustrezna mesta na drevesu.

 

Tako dobimo vse možne podmnožice in po različnih poteh med seboj različne podmnožice. Število vseh podmnožic je tako enako številu poti.

img15_3

Če ima množica n elementov, se drevo razveja n-krat:

img16_3
 

Če ima množica n elementov, je moč njene potenčne množice 2n.

Od kod izvira ime POTENČNA množica?

Obravnavano množico imenujemo potenčna množica, ker je njena moč potenca števila 2.

Oglejmo si številske množice.

  • množica naravnih števil:
  • množica celih števil:
  • množica racionalnih števil:
  • množica realnih števil:
Očitno velja, da so podmnožice:
 
Preveri svoje znanje
1. Kakšna je moč potenčne množice za množico ?   
2. Zapiši vse elemente množice , njeno potenčno množico in ugotovi moč .