Osnovni izrek o deljenju

Iz osnovne šole se spomnimo:

Račun: 7:3 = 2, ostanek 1

Preizkus: 7 = 3·2+1
Naloga

Iva, Jan, Tim, Tea, Miha in Janja potrebujejo hrano za piknik. Ker nihče noče prostovoljno v trgovino, se dogovorijo, da naj izštevanka določi "srečnega izbranca". Izštevanko začnejo šteti pri Ivi v smeri proti Janu (glej spodnjo sliko). Izštevanka se ustavi pri Mihi. Točno tedaj zazvoni telefon. Miha, Tim in Janja morajo nujno takoj domov. Zdaj Iva, Jan in Tea ponovijo isto izštevanko. Spet začnejo pri Ivi in nadaljujejo proti Janu. Kdo bo moral v trgovino? Razloži.

img30_5

Predelaj snov o osnovnem izreku o deljenju, ki je pred teboj, in se kasneje vrni k nalogi.

 
Delimo karte
Na spodnji konstrukciji razdeli karte tako, da vsak igralec dobi enako število kart. Karte, ki ti ostanejo, daj v okvirček za ostanek. Igralci naj dobijo največje možno število kart. Ko boš karte razporedil pravilno, se bo izpisalo obvestilo.
  • Najprej daj vsakemu igralcu 1 karto: porabiš 5 kart.
  • Vsakemu igralcu dodaj še eno karto: porabiš skupno 10 kart.
  • Vsakemu igralcu dodaj še eno karto: porabiš skupno 15 kart.
Ostaneta ti še 2 karti, zato ne moreš več dati vsakemu igralcu po eno karto. Ti dve karti daj v okvirček za ostanek.
 

19:5 = 3, ost. 4

Vsak igralec dobi 3 karte, ostanejo 4 karte.

20:5 = 4, ost. 0

Vsak igralec dobi 4 karte, nobena ne ostane.

Ne. Če imamo namreč še sedem kart, jih odvzamemo 5 in damo vsakemu igralcu še eno karto. Tako nam ostaneta 2 karti.

Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, 4

Če bi bil ostanek 5 ali več, bi lahko odvzeli 5 kart in zmanjšali ostanek.

Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Če nam ostane 8 kart ali več, lahko vsakemu igralcu damo vsaj še 1 karto in tako zmanjšamo ostanek.

Predstavljajmo si, da karte delimo igralcem po vrsti takole:

  • vsakemu igralcu damo 1 karto,
  • vsakemu igralcu damo še 1 karto,
  • vsakemu igralcu damo še 1 karto ...

Pri takem postopku imamo zagotovo po nekem koraku v rokah manj kart, kot je igralcev. Te karte damo v ostanek.

Takšen postopek točno določa, koliko kart dobi posamezen igralec in kolikšen je ostanek.

Računsko pa to pomeni, da sta pri deljenju dveh števil količnik in ostanek točno določena.

Število kart = 5·4+2 = 22

Razdelili smo 22 kart.

 
Osnovni izrek o deljenju

Delimo 7 s 3. Kaj dobimo? (Predstavljaj si karte.)

7:3 = 2, ost. 1, kar je zapisano z enačbo 7 = 3·2+1.

Pri tem sta ostanek = 1 in količnik = 2 točno določena.

Ostanek mora biti manjši od 3, torej števila, s katerim delimo.

Možni ostanki: 0, 1, 2

Delimo 13 s 5. Kaj dobimo? Dopolni.

13:5 = 2, ost. 3, kar je zapisano z enačbo = 5· + .

Pri tem sta ostanek = in količnik = točno določena.

Ostanek mora biti manjši od 5, torej števila, s katerim delimo.

Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, 4

  

 
To pa je že točno to, kar pravi osnovni izrek o deljenju. Povejmo ga še splošno.

Naj bosta a in in b naravni števili. Če delimo število a s številom b, dobimo točno določen količnik k in ostanek o.

a:b = k, ost. o, kar je zapisano z enačbo a = b·k+o.

Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, ... b–1

img41_5
 
Naloge
Zapiši osnovni izrek o deljenju za števili 14 in 3.
Zapiši osnovni izrek o deljenju za števili 59 in 9.
Katero število moramo deliti z 10, da dobimo količnik 3 in ostanek 4?
 
S katerim številom moramo deliti 50, da dobimo količnik 8 in ostanek 2?
Če število 6a+4 delimo s številom a–1, dobimo količnik 7 in ostanek 1. Določi število a.
 
Naloga
Kateri so možni ostanki pri deljenju s številom 7?
       
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Zapis števila po osnovnem izreku o deljenju
Zapiši prvih 5 naravnih števil, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 2.
Števila: , , , ,
  

 
Dopolni osnovne izreke o deljenju za pravkar našteta števila.
2:5 = 0, ost. 2,
kar je zapisano z enačbo:
2 = 5·0+2.
7:5 = 1, ost. 2, kar je zapisano z enačbo: 7 = 5· + .
12:5 = 2 ost. 2,
kar je zapisano z enačbo: = ·2+2.
:5 = ost. 2, kar je zapisano z enačbo: =5·3+ .
: = ost. 2, kar je zapisano z enačbo: = ·4+ .
  

Zdaj dopolni osnovni izrek o deljenju za poljubno število x, ki da pri deljenju s 5 ostanek 2.
x:5 = k, ost 2, kar je zapisano z enačbo = ·k+ .
  

 
Naloga

V kakšni obliki lahko zapišemo vsa števila x, ki dajo pri deljenju

a) s 5 ostanek 4?

x:5 = k, ost. 4, torej lahko število x zapišemo kot x = 5k+4.

b) z 8 ostanek 5?

x:8 = k, ost. , torej lahko število x zapišemo kot x = 8k+ .

c) z 10 ostanek 2?

: = k, ost. , torej lahko število x zapišemo kot = + .

  

Naloga
Dokaži, da je vsota dvakratnika števila, ki da pri deljenju s 7 ostanek 2, in štirikratnika števila, ki da pri deljenju s 7 ostanek 6, deljiva s 7.
 
Naloga

Pozorno si oglej račun na spodnji sliki. Razmisli, kolikšen je ostanek pri deljenju števila x z 20 in kolikšen pri deljenju s 5.

img43_5

Ker je x = 20k+9, je ostanek pri deljenju števila x s številom 20 enak 9.

Ker je x = 5(4k+1)+4, je ostanek pri deljenju števila x s številom 5 enak 4.

Naloga
Če delimo neko število s 40, dobimo ostanek 12. Kolikšen je ostanek, če to število delimo s 5? Pomagaj si z računom, podobnim tistemu na sliki iz prejšnje naloge.        
12
2
3
 
Preveri svoje znanje
Osnovni izrek za deljenje števila 35 z 2 se zapiše kot:
35:2 = 15+5.
35:2 = 17+1.
35:2 = 17, ost. 1

Katero število moramo deliti z 11, da dobimo količnik 4 in ostanek 5?
39
49

Če število a delimo z a–11, dobimo količnik 2 in ostanek a–20. Določi število a.

a = 21
a = 121

V kakšni obliki lahko zapišemo število n, ki da pri deljenju s 3 ostanek 2?
n = 2k+3
n = 3k+2

 
Rešitev uvodne naloge
Še enkrat poskusi rešiti nalogo z izštevanko.

Izštevanka za 6 ljudi

Recimo, da pri izštevanki štejemo do n.

  • Ker je 6 ljudi, n delimo s 6.
  • Ker je Miha peti po vrsti, je ostanek pri deljenju števila n s 6 enak 5.

Torej je n oblike n = 6k+5.

Izštevanka za 3 ljudi

  • Ker so 3 ljudje, n delimo s 3.
  • Kolikšen je ostanek pri deljenju števila n s številom 3?

n = 6k+5 = 6k+3+2 = 3·(2k+1)+2

Ostanek pri deljenju števila n s 3 je enak 2.

Ker je Jan drugi po vrsti, bo moral v trgovino.

 


Dobro premisli, kako lahko svoje znanje uporabiš tudi v "koristne" namene!

(Kje začeti izštevanko, da se bo končala ravno pri ...)

 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008