V koordinatnem sistemu je trikotnik podan s koordinatami svojih oglišč. Naučili se bomo izračunati njegovo ploščino.
Narišimo v koordinatnem sistemu tri točke in jih povežimo v trikotnik. Radi bi določili njegovo ploščino. Na prvi pogled je videti zapleteno, vendar bomo kmalu spoznali, da ni tako. Za začetek povlecimo iz vseh treh točk pravokotnice na os x.
Točke, v katerih te pravokotnice sekajo os, označimo po vrsti z D, E in F, da se bomo lažje pogovarjali. Če se za hip ustavimo ob zgornji sliki, bomo verjetno opazili, da na njej ni več samo trikotnik, ampak še nekaj trapezov. (Res da osnovnice niso vodoravne, kot smo vajeni, ampak navpične, pa nič zato.)
Če slučajno trapezov ne vidiš dobro, povleci z miško točko na drsniku levo zgoraj v desno.
Razmisli
Zanimali nas bodo trapezi ADFB, ADEC in CEFB. Podatki so koordinate točk A, B in C tako, kot so označene na sliki.
Izrazi in zapiši za vsakega od trapezov dolžine osnovnic in višine. Rezultate preveri s klikom na spodnji gumb.
Trapez ADFB ima osnovnici y1 in y2, njegova višina (dolžina daljice DF) pa je x2–x1 , trapez ADEC ima osnovnici y1 in y3 in višino x3–x1, trapez CEFB pa osnovnici y2 in y3 in višino x2–x3.
S temi podatki znamo izračunati ploščine trapezov. Označimo ploščino trapeza ADFB z oznako S1, ploščino trapeza ADEC kot S2 in ploščino trapeza CEFB kot S3. Poskusi izraziti ploščino trikotnika ABC s temi tremi ploščinami.
Poglejmo torej:
.
Malo računske spretnosti je treba, da ta izraz preoblikujemo v obliko, ki si jo lažje zapomnimo:
Na aktivni sliki lahko premikaš katero koli točko in opazuješ, kako se spreminjajo posamezne ploščine. Utegne se zgoditi, da bo kakšna "ploščina" negativna, ker smo dolžine definirali s koordinatami. To pomeni, da ustrezno ploščino odštejemo, ne pa prištejemo.
Pri končnem rezultatu, ki je na sliki zapisan krepko, pa je le nerodno, če je negativen. To se zgodi, če leži točka C pod zveznico točk A in B. Zato uvedemo še eno novo količino – orientacijo trikotnika.
Dogovorimo se, da je trikotnik ABCorientiran pozitivno, če si njegova oglišča sledijo v nasprotni smeri kazalcev na uri, in negativno, če si sledijo v smeri kazalcev.
Trikotnik ABC je na sliki orientiran pozitivno, trikotnik DEF pa negativno.
Vaja
Določi orientacije trikotnikov na zgornji sliki in v prazno polje za opisom trikotnika spodaj zapiši p, če je trikotnik orientiran pozitivno, in n, če je orientiran negativno. Pazi, kako si sledijo točke v opisu trikotnika.
Zato bomo uradno različico obrazca zapisali v obliki
,
pri čemer nam bo absolutna vrednost rezultata, ki ga dobimo na desni strani, predstavljala ploščino trikotnika, predznak pa orientacijo trikotnika (o=+1 ali o=–1).
Za raziskovalce
Rezultate naslednjih vaj lahko preveriš tudi s spodnjo aktivno sliko. Točke lahko poljubno premikaš po koordinatnem sistemu in opazuješ, kako se spreminjata ploščina in orientacija trikotnika. Če potrebuješ več ravnine, kot je vidiš, desno klikni na risalno površino in izberi povečavo, ki je manjša od 100 %. Elipsa v zgornjem desnem kotu slike postavi vse elemente slike spet na začetno lego.
Vaja
Izračunaj ploščino trikotnika ABC in mu določi orientacijo, če imajo njegova oglišča koordinate A(–2,1), B(3,2) in C(4,–5). Trikotnik nariši v koordinatni sistem.
S=–18, torej S=18 in o=–1 (trikotnik je orientiran negativno)
Vaja
Imamo točke s koordinatami A(1, 1), B(x, 4) in C(–1, 5). Določi neznano koordinato točke B, če veš, da ima trikotnik ABC ploščino 11. Poišči obe možnosti.
Podatke lahko vstavimo v desno stran obrazca in dobimo izraz
.
Ker orientacija ni določena v besedilu naloge, lahko levo stran nadomestimo s +11 (trikotnik bo imel pozitivno orientacijo) ali –11 (trikotnik bo negativno orientiran) in iz enačbe izračunamo vrednost x.
V prvem primeru dobimo x1=5, v drugem pa x2=–6.
Si dobil obe pravilni rešitvi? Bravo!
Vaja
Naslednja vaja je podobna prejšnjim, rezultat pa je malo nenavaden.
Izračunaj ploščino trikotnika ABC in mu določi orientacijo, če so oglišča A(–2, 2), B(2, 4) in C(4, 5).
To je trikotnik s ploščino 0.
Malo čuden trikotnik. Če še nimaš ideje, kakšen bi bil videti, si nariši oglišča v koordinatni sistem.
To v resnici sploh ni trikotnik, saj ležijo vse tri točke na isti premici.
Za tako trojico točk rečemo tudi, da so kolinearne.
Vaja
Podane so točke A(3, y), B(–1, 5) in C(2, 2). Določi neznano koordinato tako, da bodo točke ležale na isti premici. Pomagaj si najprej s spodnjo aktivno sliko, kjer lahko poljubno premikaš točke, rezultat pa preveri še računsko.
Računsko rešimo nalogo tudi tako, da v enačbo za ploščino trikotnika vstavimo koordinate vseh treh točk, v levo stran pa ploščino 0.
,
enačbo uredimo
in dobimo rešitev
.
Vaja
Reši spodnji dve nalogi računsko in rezultate zapiši v za to namenjena mesta za nalogama. Ulomke zapisuj s poševno črto.
Določi neznano koordinato točke C tako, da bodo točke kolinearne, če je A(2, 1), B(1, 1/2) in C(5, y).
y=
JXUwMDZkJXUwMDFhJXUwMDFk
Poišči koordinate točke A, če veš, da leži na osi x in so točke A, B(4, 10) in C(–1, 5) kolinearne.
A(
JXUwMDc1JXUwMDFi
,
JXUwMDY4
)
Točka A na osi x ima koordinate A(x,0).
Vaja
Za konec še ena vaja, kjer bomo videli, da je včasih mogoče ploščino izračunati tudi bolj enostavno.
Izračunaj torej ploščino trikotnika, ki ima oglišča v točkah A(–3, –2), B(4, –2), C(2, 3). Najprej si nariši ustrezno sliko in poskusi izračunati ploščino brez nove formule.
Gotovo si opazil, da je trikotniku mogoče zelo preprosto in na pamet določiti dolžino ene stranice in tudi višino nanjo. Če uporabiš ta dva podatka (c=8, vc=5), dobiš ploščino S=20.