Računanje z ulomki

Lastnosti računanja z ulomki že poznamo. Razmislili bomo, kaj te lastnosti pomenijo za racionalna števila.
Nasprotna in obratna vrednost

Preden se lotimo osnovnih računskih operacij, se spomnimo, kaj sta nasprotna in obratna vrednost nekega števila.

Na spodnji sliki točka B predstavlja nasprotno vrednost števila, ki ga predstavlja točka A, točka D pa obratno vrednost števila, ki ga predstavlja točka C. Točki A in C lahko premikaš. Opazuj, kaj se dogaja z nasprotno oziroma obratno vrednostjo.

 

Nasprotna vrednost števila a je -a. Na številski premici sta sliki števil a in -a simetrični glede na koordinatno izhodišče.

Obratna vrednost števila a je a-1=1/a. Ničla nima obratne vrednosti. 

Če je število večje od ena, je njegova obratna vrednost manjša od ena. Večje kot je število, bližje ničli je njegova obratna vrednost, vendar ničle nikoli ne doseže. Obratna vrednost števila 1 je 1. Če je število pozitivno in manjše od ena, je njegova obratna vrednost večja od ena. Ko število približujemo ničli, se njegova obratna vrednost hitro veča. Ko pridemo v nič, obratna vrednost izgine, saj 1/0 nima pomena. Včasih rečemo, da je obratna vrednost ničle neskončno. To ustreza ugotovitvi, da je obratna vrednost vedno večja, ko se bližamo ničli. Obratna vrednost pozitivnega števila je vedno pozitivno število.

Za negativna števila je slika ravno zrcalna glede na izhodišče. Obratna vrednost števila -1 je -1. Obratna vrednost negativnega števila je vedno negativno število.


Premislimo še, kako je v množici racionalnih števil. Racionalno število predstavlja celoštevilsko razmerje (lahko ga zapišemo z ulomkom s celim števcem in imenovalcem). Njegova nasprotna vrednost predstavlja isto razmerje s spremenjenim predznakom. Torej je tudi nasprotna vrednost racionalno število. Kaj pa obratna vrednost? Če racionalno število predstavlja celoštevilsko razmerje a : b, potem njegova obratna vrednost predstavlja razmerje b : a, ki je prav tako celoštevilsko. Torej je tudi obratna vrednost racionalnega števila racionalno število.

Čas je za prvo nalogo. Zapiši nasprotno in obratno vrednost danih racionalnih števil:

 
Množenje in deljenje

Od osnovnih računskih operacij se bomo najprej lotili množenja in deljenja. Se še spomniš, kako se množi in deli ulomke? Izračunajmo produkt in kvocient ulomkov 3/4 in 5/7:


Tako smo se spomnili: 

 

Ali sta produkt in količnik dveh racionalnih števil racionalni števili? Dovolj je, da preverimo za množenje, saj je deljenje definirano kot množenje deljenca z obratno vrednostjo delitelja. Spomnimo se, da je vsako racionalno število lahko zapisano z ulomkom, katerega števec in imenovalec sta celi števili. Pri množenju dveh ulomkov zmnožimo števca in imenovalca. Ker je produkt dveh celih števil celo število, sta tudi produkt in količnik dveh racionalnih števil racionalni števili. Naredimo primer:

Na koncu rezultat seveda vedno okrajšamo. Pri množenju in deljenju, ki ga pretvorimo v množenje, ulomke običajno že prej okrajšamo, da računamo z manjšimi števili. Oglej si dva primera:

img12_5
img13_5
 

Izračunaj:


Vidimo, da je lahko produkt racionalno število, tudi če niso vsi faktorji racionalni. V zadnjih dveh primerih so bili vsi ulomki iracionalni, rezultat pa racionalen. To se zgodi, če se vsi koreni v računu okrajšajo.
 
Seštevanje in odštevanje

Sledita še drugi dve osnovni računski operaciji, to sta seštevanje in odštevanje. Se spomniš, kako se sešteva in odšteva ulomke? Izračunajmo vsoto in razliko ulomkov 3/4 in 5/7:

Tako smo se spomnili: 

 

 

Ali sta vsota in razlika dveh racionalnih števil racionalni števili? Števec in imenovalec vsote (razlike) dveh ulomkov sta sestavljena iz produkta in vsote (razlike). Če ulomka predstavljata racionalno število, sta števec in imenovalec celi števili. Produkt in vsota (razlika) celih števil je celo število, torej je tudi vsota (razlika) dveh racionalnih števil racionalno število.

Ponovimo: Dva ulomka seštejemo (odštejemo) tako, da ju razširimo na skupni imenovalec in nato seštejemo (odštejemo) števca. Izračunaj:

Vidimo, da se tudi pri seštevanju in odštevanju lahko zgodi, da iz iracionalnih števil dobimo racionalen rezultat. To se zgodi, če se vsi koreni uničijo.
 
Dvojni ulomki

Za konec omenimo še dvojne ulomke, saj tudi ti lahko predstavljajo racionalna števila. Običajno jih prav hitro poenostavimo, da vidimo, kaj sploh predstavljajo. Oglejmo si, kako to naredimo:

Torej velja:


Zgornje pravilo velja za vse dvojne ulomke. In kdaj dvojni ulomek predstavlja racionalno število? Kadar sta števec in imenovalec v okrajšanem ulomku celi števili. Rešimo nekaj primerov:

Odpravi dvojne ulomke in zapiši, ali dani dvojni ulomek predstavlja racionalno število:

 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008