Sistemi enačb

Iz kemije poznamo periodni sistem elementov. Kaj je periodni sistem elementov? Je množica kemijskih elementov, povezanih v celoto. Kaj pa bi lahko bil v matematiki sistem enačb?
img1_5
Sistem enačb je množica enačb, povezanih v celoto.
 
Naloga

Srečajo se trije važiči in se hvalijo, kdo ima več zgoščenk.

Važič 1: Če vržem dve zgoščenki vstran, imam še vedno dve več kot ti, Važič 3.

Važič 2: Če vržem 3 zgoščenke vstran, jih imam še vedno toliko kot vidva oba skupaj.

Važič 3: Imam toliko zgoščenk, da če jih vidva vidita, oba oslepita.


Ugotovi, koliko zgoščenk ima kateri važič. Pomagaj si s spodnjo konstrukcijo, tako da njihove zgoščenke (ki so na sliki) razporediš v oblačke nad važiči. Ko boš zgoščenke razporedil pravilno, boš zagledal napis.

Ne gre? Nič hudega. Predelaj tukaj obravnavano snov o sistemih enačb in se potem vrni k nalogi.
 
Kaj pomeni Reši sistem enačb?
img4_5
Reši sistem enačb pomeni, da poišči neznanke x, y ... ki nastopajo v enačbah sistema.
 
Reševanje sistema dveh enačb z dvema neznankama

Najprej skupaj rešimo naslednji sistem dveh enačb z dvema neznankama, nato pa poskušajmo razmisliti in utemeljiti, zakaj tako ravnamo.

Rešimo sistem enačb 2x + 3y = 2 in x y = 11.
  • Izberemo eno enačbo, npr. drugo, in iz nje izrazimo neznanko x.

x = 11 + y

  • V preostalo enačbo namesto neznanke x vstavimo, kar smo izrazili.
2 · (11 + y) + 3y = 2
 
  • Rešimo enačbo.

Rešitev enačbe: y = –4

  • Izračunamo še x.

x = 7

Rešitev sistema: x = 7 in y = –4.

Na koncu je priporočljivo narediti še preizkus. Dobljeni neznanki x in y vstavimo v obe enačbi.

2x + 3y = 2 · 7 + 3 · (–4) = 14 – 12 = 2

x y = 7 –(–4) = 11

 

Sistem dveh enačb z dvema neznankama rešujemo tako, da iz poljubno izbrane enačbe izrazimo eno neznanko. Nato izraženo vstavimo namesto te neznanke v preostalo enačbo.

Zakaj? Tako se znebimo izražene neznanke. Dobimo eno enačbo z eno neznanko, ki je ni težko rešiti. Nato le še izračunamo manjkajočo neznanko.

Reši sistem enačb 2x + y + 10 = 0 in 3x = 2y + 6.
Reši sistem enačb 5x – 4y = 37 in –7x = 3y + 17.
 
Naloga

Reši naslednje sisteme enačb.

a) 2x + y = 3, x – 3y + 2 = 0

b) 7x + 2y = 18, 3x y = 4

c) 2x + 3y + 5 = 13, 5y – 2x – 8 = 0

 
Koliko rešitev ima lahko sistem?
Pri reševanju sistemov smo do zdaj dobili vedno eno rešitev (npr. x = 7 in y = –4; rečemo tudi, da smo dobili en par rešitev x = 7 in y = –4). Ali je rešitev (parov) lahko več? Ali je nujno, da rešitev sploh obstaja? Oglejmo si.
Sistem ima lahko eno rešitev, lahko jih ima neskončno ali pa nobene. Več o tem pri poglavju linearna funkcija.
 
Naloga

Reši naslednje sisteme enačb.

a) 2x + 7y – 5 = 0, 10x + 35y = 12

b) x = 4y + 9, 2x – 8y – 18 = 0

c) 4x – 3y – 100 = 0, 28x = 21y + 1

 
Reševanje sistema treh enačb s tremi neznankami
img6_5
  • Če imamo sistem treh enačb s tremi neznankami (glej animacijo zgoraj), se najprej znebimo ene enačbe in ene neznanke. Tako dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama. Nato se spet znebimo ene enačbe in ene neznanke. Tako nam ostane le še ena enačba z eno neznanko, ki pa je ni težko rešiti.
  • Če bi imeli npr. sistem 100 enačb s 100 neznankami, bi se najprej znebili ene enačbe in ene neznanke. Dobili bi sistem 99 enačb in 99 neznank. Nato bi se spet znebili ene enačbe in ene neznanke. Dobili bi sistem 98 enačb z 98 neznankami. Po naslednjem koraku bi dobili sistem 97 enačb s 97 neznankami. Tako bi nadaljevali, dokler ne bi dobili le ene same enačbe, ki pa je ni težko rešiti. Tako velike sisteme rešujemo z računalniki.
 
Rešimo sistem enačb x + y + z = 6, x y + 4z = 11 in x + 2y z = 2.

Izberemo eno enačbo, npr. prvo, in izrazimo neznanko x.

x = 6 – y z

V obe preostali enačbi namesto neznanke x vstavimo 6 – y z in enačbi poenostavimo.

Dobimo –2y + 3z = 5 in y – 2z = –4.

 

Rešimo sistem dveh enačb –2y + 3z = 5 in y – 2z = –4 z dvema neznankama.

Dobimo y = 2 in z = 3.

Pogledamo, kje imamo izražen x, in ga izračunamo.

Dobimo: x = 1.

Rešitev danega sistema je x = 1, y = 2, z = 3.
 
Rešimo sistem enačb 2x – 3y = 14, 3x + 2y = 2z – 5 in 5x – 2z = 5.
Naloga

Reši naslednje sisteme enačb.

a) x + y + z = 3, x – 2y + z = 0 in 2x + 3y + 4z = 9

b) 2x + 3y + z = –11, 2x – 3y + 4z = –8 in x + y + z = –6

c) 3x + 2y = 7, 5x + 2y + 2z = 5 in 2z + 12 = 3x

 
Naloga

Ogledali si smo, kako rešujemo sisteme treh enačb s tremi neznankami. Podobno rešujemo tudi sisteme s še več neznankami in enačbami.

Rešimo sistem štirih enačb s štirimi neznankami:
Uporaba sistemov
Sisteme uporabljamo pri reševanju besedilnih nalog. Pri konkretni nalogi si izberemo neznanke in poiščemo toliko enačb, kolikor neznank smo izbrali. Nato rešimo sistem. Na koncu ne pozabimo zapisati še odgovora.
 
Naloga
V omari imam 66 zvezkov in knjig. Zvezkov je 12 manj kot knjig. Koliko zvezkov in koliko knjig imam v omari?
Naloga
Anita ima dva pajka. Mesečno jima nabere 100 črvov. Večji pajek poje 36 črvov več kot majši. Koliko črvov poje mesečno manjši in koliko večji pajek?
Naloga
Babica in dedek si razdelita 40 češenj na dva neenaka dela. Ko babica pogleda vstran, ji dedek vzame 2 češnji in ju da na svoj kup. Tako ima dedek šestnajst češenj več od babice. Koliko češenj je imel vsak izmed njiju, preden je dedek ogoljufal babico?
 
Naloga
Družina Obal (oče, mama, 1 otrok) in družina Maze (oče, mama, 3 otroci) gresta v živalski vrt. Prva družina plača za vse svoje vstopnice 6,2 €, druga pa 9,4 €. Koliko stane vstopnica za otroke in koliko vstopnica za odrasle?
Naloga
Na neki sestanek so prišli Avstrijci, Hrvati in Slovenci. Vseh skupaj je bilo 50. Hrvatov je bilo za dva več od Avstrijcev, Slovencev pa je bilo dvakrat več kot Avstrijcev. Koliko je bilo na sestanku Avstrijcev, koliko Hrvatov in koliko Slovencev?
Naloga
Za sladoled smo dali 2,4 €. Plačali smo z osemnajstimi kovanci. Nekaj kovancev je bilo po 20 stotinov, nekaj po 10 in nekaj po 5 stotinov. Kovancev za 5 stotinov je bila polovica števila kovancev za 20 stotinov. Koliko kovancev po 20, 10 in 5 stotinov smo porabili?
 
Naloga

Ugotovi, koliko so stari Žiga, Petra in Eva, če veš:

  • Eva je 5 let starejša od Žiga.
  • Čez eno leto bo Petra stara štirikrat toliko kot Žiga
  • Čez 21 let bo Petra stara 4/3 starosti Eve.
Naloga
Andreja, njena mama in babica so skupaj stare 87 let. Pred dvema letoma je bila mama 12–krat starejša od Andreje. Čez 5 let bo babica dvakrat starejša od mame. Koliko je stara vsaka izmed njih?
 
Preveri svoje znanje
Reši sistem enačb 2x + y + 12 = 0 in x + 4y = 1.

x = 0, y = –-4
x = –7, y = 2

Reši sistem enačb 2x + z = 3, x – 2y = 1, x + 2y + 3z = 4.

x = 1, y = 0, z = 1
x = 1, y = 0, z = 2

Reši sistem enačb 2x + 3y + 6z = 7, 3x + 4y + 6z = 11 in 2x + 7y + 8z = 14

x = 2, y = 2, z = –1/2
x = 2, y = 1, z = –1/2

Vsota dveh števil je 331. Drugo število je za 67 večje od dvakratnika prvega števila. Določi obe števili.
Prvo število je 85, drugo pa 246.
Prvo število je 103, drugo pa 228.
Prvo število je 88, drugo pa 243.

 
Rešitev uvodne naloge
Zdaj, ko si se naučil reševati sisteme, poskusi znova rešiti uvodno nalogo.
 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008