Podmnožice
Na visoški gimnaziji se je pred matematično učilnico vnela konstruktivna debata med prijateljema.
LUKA: Kako lahko trdiš, da je naravnih števil enako mnogo kot celih števil, če pa so vsa naravna števila hkrati tudi cela števila? Gotovo je celih števil več kot naravnih, saj cela števila vsebujejo poleg naravnih še negativna cela števila.
VID: Motiš se, Luka. Celih števil je enako mnogo kot naravnih števil.
Prešteteti elemente v množici, ki ne vsebuje končnega števila elementov, seveda ni tako lahko kot v končnih množicah. Pa gremo lepo po vrsti.
4
.
V
t
r
e
t
j
e
m
e
v
r
o
p
s
k
e
m
o
d
d
e
l
k
u
n
a
v
i
s
o
š
k
i
g
i
m
n
a
z
i
j
i
j
e
1
5
d
e
k
l
e
t
i
n
1
2
f
a
n
t
o
v
.
M
e
d
n
j
i
m
i
i
m
a
j
o
A
n
i
t
a
,
T
a
d
e
j
a
i
n
Č
r
t
r
d
e
č
e
l
a
s
e
.
M
e
d
f
a
n
t
i
j
e
č
e
t
r
t
i
n
a
b
l
o
n
d
i
n
c
e
v
,
m
e
d
d
e
k
l
i
c
a
m
i
p
a
j
e
d
v
e
p
e
t
i
n
i
b
l
o
n
d
i
n
k
.
V
m
n
o
ž
i
c
i
<
i
m
g
s
r
c
=
"
.
.
/
m
i
m
e
t
e
x
?
%
5
C
c
a
l
%
2
0
A
"
a
l
t
=
"
"
>
<
/
i
m
g
>
n
a
j
b
o
d
o
v
s
e
d
i
j
a
k
i
n
j
e
i
n
d
i
j
a
k
i
3
.
e
-
r
a
z
r
e
d
a
,
v
m
n
o
ž
i
c
i
<
i
m
g
s
r
c
=
"
.
.
/
m
i
m
e
t
e
x
?
%
5
C
c
a
l
%
2
0
B
"
a
l
t
=
"
"
>
<
/
i
m
g
>
n
a
j
b
o
d
o
v
s
e
b
l
o
n
d
i
n
k
e
,
v
m
n
o
ž
i
c
i
<
i
m
g
s
r
c
=
"
.
.
/
m
i
m
e
t
e
x
?
%
5
C
c
a
l
%
2
0
C
"
a
l
t
=
"
"
>
<
/
i
m
g
>
n
a
j
b
o
d
o
v
s
i
b
l
o
n
d
i
n
c
i
i
n
v
m
n
o
ž
i
c
i
<
i
m
g
s
r
c
=
"
.
.
/
m
i
m
e
t
e
x
?
%
5
C
c
a
l
%
2
0
D
"
a
l
t
=
"
"
>
<
/
i
m
g
>
v
s
e
d
e
k
l
i
c
e
,
k
i
n
i
m
a
j
o
r
d
e
č
i
h
l
a
s
.
M
o
č
i
m
n
o
ž
i
c
<
i
m
g
s
r
c
=
"
.
.
/
m
i
m
e
t
e
x
?
%
5
C
c
a
l
%
2
0
A
"
a
l
t
=
"
"
>
<
/
i
m
g
>
,
<
i
m
g
s
r
c
=
"
.
.
/
m
i
m
e
t
e
x
?
%
5
C
c
a
l
%
2
0
B
"
a
l
t
=
"
"
>
<
/
i
m
g
>
,
<
i
m
g
s
r
c
=
"
.
.
/
m
i
m
e
t
e
x
?
%
5
C
c
a
l
%
2
0
C
"
a
l
t
=
"
"
>
<
/
i
m
g
>
i
n
<
i
m
g
s
r
c
=
"
.
.
/
m
i
m
e
t
e
x
?
%
5
C
c
a
l
%
2
0
D
"
a
l
t
=
"
"
>
<
/
i
m
g
>
s
o
p
o
v
r
s
t
i
<
u
>
2
7
<
/
u
>
,
<
u
>
6
<
/
u
>
,
<
u
>
3
<
/
u
>
i
n
<
u
>
1
3
<
/
u
>
.
Preveri, katere od naslednjih množic so končne in katere neskončne, in jih z miško prenesi v ustrezno škatlo.
Premakni množici in
na spodnjem Vennovem diagramu tako, da bodo vsi elementi množice
hkrati tudi elementi množice
.
je PODMNOŽICA množice
natanko tedaj, ko je vsak element množice hkrati element množice
.
![]() | |
![]() | |
![]() |
![]() | |
![]() | |
![]() |
![]() | |
![]() | |
![]() |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() |
?
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() |
![]() | |
![]() | |
![]() |
Premakni množice
,
in
v spodnjem Vennovem diagramu tako, da bo množica
hkrati podmnožica množice
in množice
.
Množice, ki imajo enako moč kot množica naravnih števil, imenujemo števno neskončne množice. Njihovo moč označimo z
m() =
(beremo: "alef nič" ).
Cantor je dokazal, da množica realnih števil ni števna. Njeno moč je imenoval moč kontinuuma.
NESKONČNA MNOŽICA ima lahko enako moč kot njena prava podmnožica. Res je, da imata množici naravnih in celih števil enako moč. Da ti bo lažje razumeti to dejstvo, poglej na spodnji listek, kamor sta Luka in Vid zapisovala v prvo vrstico vsa naravna števila in v drugo vrstico vsa cela števila. Če bi nadaljevala z zapisovanjem dovolj dolgo, bi prišla do poljubnega naravnega ali do poljubnega celega števila.
. Označi pravilni odgovor.