Racionalne enačbe

Veščino računanja z algebrskimi ulomki lahko s pridom uporabimo pri reševanju različnih nalog. V gradivu bomo reševali enačbe, v katerih nastopajo algebrski ulomki.
Počitnice

Maja se odpravlja na počitnice. Turistična agencija ponuja počitnice po različnih cenah, za vse ponudbe pa velja, da pri nakupu sedem in večdnevnega paketa dva dneva počitnic podarijo. Če se Maja odpravi na n dnevni dopust (n je vsaj 7), plača le n–2 dni. Izhodiščna cena enega dneva je odvisna od kraja bivanja in izbire hotela. Maja je izbrala hotel za 50 € na dan. Maja bo za n dni počitnic plačala 50(n–2), se pravi, da bo za vsak dan počitnic v resnici plačala le . Po temeljitem razmisleku je Maja sklenila, da bo za vsak dan počitnic namenila točno 40 €. Koliko dni počitnic si bo Maja privoščila?

Rešiti moramo enačbo .

V dobljeni enačbi nastopa algebrski ulomek.

Poskusi rešiti to enačbo.

Lahko bi poiskali še veliko podobnih primerov, vendar moramo prej izpopolniti znanje o reševanju enačb. Pri reševanju enačb, v katerih nastopajo algebrski ulomki, upoštevamo enaka pravila kot pri reševanju navadnih enačb.

Pri reševanju enačb poskušamo izraziti neznanko. Največkrat enačbo preuredimo tako, da neznanka nastopi le enkrat, in sicer na svoji strani enačaja. Pri tem ne smemo vplivati na rešitev enačbe, zato upoštevamo naslednja pravila.

  • Člene enačbe smemo prenašati na drugo stran enačaja, pri čemer jim moramo spremeniti predznak.
  • Obe strani enačbe smemo pomnožiti ali deliti z istim neničelnim številom ali izrazom.
  • Na obeh straneh enačbe smemo prišteti ali odšteti isto število ali izraz.
Primer 1

Imenovalec ulomka ne sme biti 0. Enačba ima pomen le, če je x neničelno število. V tem primeru smemo enačbo pomnožiti z 2x.

Člene s spremenljivko prenesemo na levo, druge pa na desno stran.

Obe strani delimo z –7 in dobimo rešitev . Rešitev ni v nasprotju s pogojem, da je x neničelno število.

Kdaj je enačba nesmiselna?

Ugotovi, za katere vrednosti spremenljivke x enačba

ni smiselna. V okvirčke vpiši dobljene vrednosti po velikosti od najmanjše do največje.

Enačba ni smiselna za , , , , in .
  

Reši enačbo

Možnih je več poti. Oglejmo si eno od njih. Enačba je smiselna le, če je x različen od . Najprej enačbo preuredimo.

Obe strani pomnožimo z 2x+1.

Člene z neznanko prenesemo na levo, druge pa na desno stran enačaja.

Rešitev je , kar ni v nasprotju z začetnim pogojem.

Primer 2

Enačba ima pomen le v primeru, ko imenovalec ulomka ni enak 0, torej ko x ni –4.

Ulomek zavzame vrednost 0, ko je 0 njegov števec. Do enakega rezultata pridemo, če enačbo pomnožimo z x+4.

Izraz na levi razstavimo in upoštevamo, da je produkt dveh faktorjev enak 0 natanko tedaj, ko je 0 eden od faktorjev.

ali

Možnosti sta torej dve:

ali

kar da rešitvi ali . Nobena od rešitev ni v nasprotju z začetnim pogojem.

Reši enačbo

Enačba ni smiselna, če je x=–3. Sicer lahko enačbo pomnožimo z x+3.

Odpravimo oklepaj in dobljen izraz razstavimo:

,

,

ali .

Dobimo dve rešitvi ali . Rešitvi nista v nasprotju z začetnim pogojem.

Primer 3

Enačba ima smisel le, če sta oba imenovalca različna od nič, torej če x ni 3 ali 4.

V tem primeru lahko obe strani pomnožimo z , s čimer se znebimo ulomkov. Po krajšanju dobimo:

.

Odpravimo oklepaj na levi in enačbo preuredimo:

,

,

, kar da rešitev , ki ni v protislovju z začetnim pogojem.
Reši enačbo

Enačba ima smisel, če je x različen od –3. Če razstavimo imenovalec ulomka na desni, dobimo

.

Obe strani enačbe pomnožimo s 3(x+3) in dobimo

.

Odpravimo oklepaje in enačbo preuredimo:

,

,

.

Rešitev ni v nasprotju z začetnim pogojem.

Primer 4

Imenovalec ulomka lahko razstavimo . Imenovalec bo nič v primeru, ko bo x=1 ali x=–1. V teh primerih je enačba nesmiselna.

Če enačbo pomnožimo z , dobimo

.

Enačbo preuredimo in levo stran razstavimo.

Rešitev x=–1 ni možna, saj je v nasprotju z začetnimi omejitvami. Enačba nima rešitve.

Reši enačbo

Da ugotovimo, kdaj enačba ni smiselna, moramo razstaviti imenovalce.

Enačba ni smiselna za x=2 in x=3.

Enačbo pomnožimo z .

Preuredimo:

,

.

Rešitev bi bila x=3, vendar zaradi začetnih pogojev ni možna. Enačba nima rešitve.

Reši enačbe
Reši enačbe na levi. Na desni poišči pravo rešitev, primi jo za zeleno piko in jo prenesi k rdeči piki ob enačbi. Če je rešitev prava, se nariše znak.
Obravnavanje enačb

Včasih v enačbi poleg neznanke nastopa še eden ali več parametrov. V teh primerih je rešitev po navadi odvisna od parametrov. Pri reševanju takšnih enačb je največkrat potrebna obravnava. Oglejmo si primer.

Za m=1 in m=–1 enačba ni smiselna, saj imenovalci ne smejo biti enaki 0. Sicer pa enačbo pomnožimo z (m–1)(m+1), da se znebimo ulomkov.

Odpravimo oklepaje in enačbo preuredimo.

Če hočemo izraziti neznanko, moramo obe stani enačbe deliti z 2m. Tega ne smemo storiti, če je m=0. V tem primeru imamo v resnici enačbo

.

Ta enačba nima rešitve.

Če je m neničelno število, pa lahko enačbo delimo z 2m in dobimo rešitev.

Če strnemo vse ugotovitve, dobimo:

  • za in enačba ni smiselna;
  • za enačba nima rešitve;
  • v drugih primerih je rešitev enačbe .
Obravnavaj enačbe

V vseh enačbah je neznanka x.

1)
2)

3)

1) Najprej enačbo preuredimo.

Izpostavimo neznanko.

  • Če je a=3, dobimo . Vsako število x je rešitev te enačbe.
  • Če je a=–3, dobimo . Enačba nima rešitve.
  • Če in , pa lahko enačbo delimo z in dobimo rešitev .

2) Enačba ni smiselna za a=2 in a=0. Najprej seštejemo člena na vsaki strani.


Ker smo predpostavili, da a ni 2, enačbo pomnožimo z (a–2), razstavimo imenovalec na desni in na levi izpostavimo x.

  • Če je a=1, dobimo enačbo in je rešitev vsako število x.
  • Če a ni 1, na obeh straneh delimo z a–1 in dobimo rešitev .

3) Enačba je smiselna le, če sta a in b različna od nič. V tem primeru enačbo pomnožimo z ab.

Na levi izpostavimo neznanko in dobimo .

  • Če je a=b, dobimo . Ta enačba nima rešitve, saj je produkt ab različen od 0 (zahtevali smo, da sta a in b različna od 0).
  • Če , dobimo rešitev .
Preveri svoje znanje
1. Za kateri x enačba ni smiselna?

Za .
Za .
Za .

2. Reši enačbo .

Rešitev te enačbe je:


,
,
.

3. Reši enačbo .

Rešitev je:


,
,
.

4. Reši enačbo .

Rešitev te enačbe je:


enačba nima rešitve;
enačbo rešijo vsa realna števila;
.

5. Reši enačbo .

Rešitev te enačbe je:


,
,
.

6. Reši enačbo .

Katera od naštetih možnosti ni rešitev te enačbe?


7. Obravnavaj enačbo .

Med spodnjimi trditvami označi nepravilno.


Za a=3 enačba ni smiselna.
Za a=–4 enačba nima rešitve.
Če in , je rešitev .
Natisni in reši še
dodatne naloge.