Ogledali si bomo, kako brez kalkulatorja in dolgotrajnega deljenja ugotoviti deljivost z nekaterimi števili.
Na spodnjih dveh konstrukcijah ugotovi, ali sta dani števili deljivi z naštetimi števili. Ko boš vse rdeče točke postavil pravilno v polja DA/NE, se bo izpisalo obvestilo.
Dano število deliš z 2, 3, 4, ...
Če pri deljenju ne dobiš ostanka, označiš DA, če pa dobiš ostanek, označiš NE.
Pomagaš si lahko tudi s kalkulatorjem. Če količnik vsebuje decimalke, dano število ni deljivo z izbranim številom.
Če dano število delimo z 2, 3, 4, ..., imamo z deljenjem kar nekaj dela. Poleg tega se lahko še hitro zmotimo, ...
Tudi kalkulator nas pri tem številu pusti na cedilu. Na njegovem zaslonu se ponavadi lahko izpišejo le do 10-mestna števila. V tem primeru pa imamo kar 21-mestno število.
Predelaj naslednjo snov o kriterijih deljivosti in se kasneje vrni k nalogi. Spoznal boš, kako brez kalkulatorja in hudega računanja pravilno rešiš zastavljeno nalogo.
Kriterij za deljivost s števili 2, 4, 8, ...
Zapišemo:
3674=4+7·10+6·100+3·1000
Števila 10, 100, 1000 so vsa tri deljiva z 2, zato lahko 2 izpostavimo:
3674=4+2(7·5+6·50+3·500)=4+2·nekaj
Ostale so enice in število, deljivo z 2. Kdaj je torej število deljivo z 2? Takrat, ko so njegove enice deljive z 2. Kdaj so enice deljive z 2? Ko so enake 0, 2, 4, 6, 8.
Število 3674je deljivo z 2, saj so enice 4 deljive z 2.
Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti, ali je neko število deljivo z 2.
Kdaj je torej število deljivo s 4? Ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4.
Število 6783674 ni deljivo s 4, saj 74 ni deljivo s 4.
Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti deljivost nekega števila s številom 4.
Ugotovili smo, da je število deljivo z 2, ko so njegove enice deljive z 2. Število je deljivo s 4, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4. Poskusi ugotoviti, ali je število 6783840 deljivo z 8 ter kakšen je kriterij za deljivost s številom 8.
Kdaj je torej število deljivo z 8? Ko je njegov trimestni konec deljiv z 8.
Število 6783840 je deljivo z 8, saj je 840 deljivo z 8.
Število je deljivo z 2, ko so njegove enice deljive z 2.
Število je deljivo s 4, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4.
Število je deljivo z 8, ko je njegov trimestni konec deljiv z 8.
Naloga
V številu 5620563a določi števko a tako, da bo to število deljivo:
a) z 2,
b) s 4,
c) z 8.
a) z 2
Kdaj je število deljivo z 2? Ko so njegove enice deljive z 2. Enice danega števila pa so enake a, torej je a lahko eno izmed števil 0, 2, 4, 6, 8.
b) s 4
Kdaj je število deljivo s 4? Ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4. Dvomestni konec danega števila je enak 3a. Katera izmed števil 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 so deljiva s 4? Števili 32 in 36. V tem primeru mora biti števka a enaka 2 ali 6.
c) z 8
Kdaj je število deljivo z 8? Ko je njegov trimestni konec deljiv z 8. Trimestni konec danega števila je enak 63a. Katera izmed števil 630, 631, 632, 633, 634, 635, 636, 637, 638, 639 so deljiva z 8? Le število 632. V tem primeru mora biti števka a enaka 2.
Naloga
V številu 12673a4a določi števko a tako, da bo to število deljivo:
a) z 2,
b) s 4,
c) z 8.
a) z 2
Kdaj je število deljivo z 2? Ko so njegove enice deljive z 2. Enice danega števila pa so enake a, torej je a lahko eno izmed števil 0, 2, 4, 6, 8.
b) s 4
Kdaj je število deljivo s 4? Ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4. Dvomestni konec danega števila je enak 4a. Katera izmed števil 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 so deljiva s 4? Števila 40, 44 in 48. V tem primeru mora biti števka a enaka 0, 4 ali 8.
c) z 8
Kdaj je število deljivo z 8? Ko je njegov trimestni konec deljiv z 8. Trimestni konec danega števila je enak a4a. Katera izmed števil 040, 141, 242, 343, 444, 545, 646, 747, 848, 949 so deljiva z 8? Le števili 040 in 848. V tem primeru mora biti števka a enaka 0 ali 8.
Ostal je dvomestni konec in število, deljivo s 25.
Kdaj je število deljivo s 25? Takrat, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 25.
Število 6200375 je deljivo s 25, saj je dvomestni konec 75 deljiv s 25.
Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti deljivost nekega števila s številom 25.
Število je deljivo s 5, ko so njegove enice deljive s 5.
Število je deljivo s 25, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 25.
Naloga
V številu 42286a določi števko a tako, da bo to število deljivo:
a) s 5
b) s 25
a) Kdaj je število deljivo s 5? Ko so njegove enice deljive s 5. Enice danega števila pa so enake a, torej je a lahko eno izmed števil 0 ali 5.
b) Kdaj je število deljivo s 25? Ko je njegov dvomestni konec deljiv s 25. Dvomestni konec danega števila je enak 6a. Katero izmed števil 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69 je deljivo s 25? Nobeno. Torej taka števka a ne obstaja.
Kriterij za deljivost s številoma 3 in 9
Zapišemo: 7224=4+2·10+2·100+7·1000
Preoblikujmo: 7224=4+2·(9+1)+2·(99+1)+7·(999+1)
Pomnožimo: 7224=4+2·9+2+2·99+2+7·999+7
Števila 9, 99, 999 so deljiva s 3, zato iz njih 3 izpostavimo:
7224=4+2+2+7+3(2·3+2·33+7·333)=4+2+2+7+3·nekaj
Kaj pa je ravno 4+2+2+7?
To je ravno vsota števk.
7224=vsota števk+3·nekaj
Kdaj je torej število deljivo s 3?
Ko je vsota njegovih števk deljiva s 3.
Vsota števk števila 7224 je enaka 4+2+2+7=15 in je deljiva s 3.
Zato je število 7224 deljivo s 3.
Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti, ali je neko število deljivo s 3.
Vsota števk števila 4880123 je enaka 3+2+1+0+8+8+4=26 in ni deljiva z 9.
Zato število 44880123 ni deljivo z 9.
Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti deljivost nekega števila s številom 9.
Število je deljivo s 3, ko je vsota njegovih števk deljiva s 3.
Število je deljivo z 9, ko je vsota njegovih števk deljiva z 9.
Naloga
V številu 46670a določi števko a tako, da bo to število deljivo:
a) s 3,
b) z 9.
Število je deljivo s 3, ko je vsota njegovih števk deljiva s 3.
Število je deljivo z 9, ko je vsota njegovih števk deljiva z 9.
Zato izračunajmo vsoto števk:
vsota števk = 4+6+6+7+0+a=23+a
Ker je a števka, mora biti eno izmed števil 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Zapišimo vse možne vsote števk in za vsako posebej komentirajmo deljivost s 3 in z 9.
Števka a
Vsota števk = 23+a
Je število deljivo s 3?
Je število deljivo z 9?
0
23+0=23
ne
ne
1
23+1=24
da
ne
2
23+2=
JXUwMDZhJXUwMDA3
ne
ne
3
23+3=
JXUwMDZhJXUwMDA0
ne
ne
JXUwMDZj
23+4=
JXUwMDZhJXUwMDA1
da
JXUwMDNjJXUwMDA1
JXUwMDZk
23+5=28
JXUwMDM2JXUwMDBi
JXUwMDM2JXUwMDBi
JXUwMDZl
23+6=29
JXUwMDM2JXUwMDBi
JXUwMDM2JXUwMDBi
7
23+7=30
JXUwMDNjJXUwMDA1
JXUwMDM2JXUwMDBi
8
23+8=31
JXUwMDM2JXUwMDBi
JXUwMDM2JXUwMDBi
9
23+9=32
JXUwMDM2JXUwMDBi
JXUwMDM2JXUwMDBi
a) Da je število 46670a deljivo s 3, mora biti števka a eno izmed števil 1, 4,
JXUwMDZm
.
b) Da je število 46670a deljivo z 9, mora biti števka a enaka
JXUwMDZj
.
Naloga
V številu 2a3a4a5a00 določi števko a tako, da bo to število deljivo:
a) s 3,
b) z 9.
Število je deljivo s 3, ko je vsota njegovih števk deljiva s 3.
Število je deljivo z 9, ko je vsota njegovih števk deljiva z 9.
Zato izračunajmo vsoto števk:
vsota števk = 2+a+3+a+4+a+5+a+0+0=4a+14
Ker je a števka, mora biti eno izmed števil 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Števka a
Vsota števk = 14+4a
Je število deljivo s 3?
Je število deljivo z 9?
0
14+4·0=14
ne
ne
1
14+4·1=18
da
ne
2
14+4·2= 22
ne
ne
3
14+4·3= 26
ne
ne
4
14+4·4= 30
da
ne
5
14+4·5=34
ne
ne
6
14+4·6=38
ne
ne
7
14+4·7=42
da
ne
8
14+4·8=46
ne
ne
9
14+4·9=50
ne
ne
a) Da je število 2a3a4a5a00 deljivo s 3, mora biti števka a eno izmed števil 1, 4, 7.
b) Taka števka a, da je število 2a3a4a5a00 deljivo z 9, ne obstaja.
Naloga
Koliko je takih parov števk a in b, da je število 33ab89b4 deljivo:
a) s 3,
b) z 9.
Vsota števk = 3+3+a+b+8+9+b+4=27+a+2b.
Ker je a števka, je lahko eno izmed števil 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Oglejmo si, kolikšna je lahko v tem primeru števka b, da je število deljivo s 3 oziroma 9.
Števka a
Vsota števk = 27+a+2b
Kolikšen je lahko b,
da je vsota deljiva s 3?
Kolikšen je lahko b,
da je vsota deljiva z 9?
0
27+0+2b=27+2b
0, 3, 6, 9
0, 9
1
27+1+2b=28+2b
1, 4, 7
4
2
27+3+2b=29+2b
2, 5, 8
8
3
27+3+2b=30+2b
0, 3, 6, 9
3
4
27+3+2b=31+2b
1, 4, 7
7
5
27+5+2b=32+2b
2, 5, 8
2
6
27+6+2b=33+2b
0, 3, 6, 9
6
7
27+7+2b=34+2b
1, 4, 7
1
8
27+8+2b=35+2b
2, 5, 8
5
9
27+9+2b=36+2b
0, 3, 6, 9
0, 9
a) Da je število deljivo s 3, dobimo 34 možnih parov števk a in b.
b) Da je število deljivo z 9, dobimo 12 možnih parov števk a in b.