Kvadrat in kub dvočlenika

Že iz osnovne šole vemo, kako izračunati kvadrat in kub števila ali enočlenika. Kako pa izračunati kvadrat in kub dvočlenika, si bomo ogledali zdajle.
Kvadrat dvočlenika

Pozorno si oglej domačo nalogo na spodnji sliki in poskušaj odgovoriti na vprašanja pod sliko.

img2_5

1. Kako dobiš enega izmed rdeče podčrtanih členov?

2. Kakšna sta člena, podčrtana z rdečo barvo, v posameznem izrazu?

3. Kaj narediš s členoma, ki sta podčrtana z rdečo barvo?

4. Kako torej dobiš srednji člen rezultata?

5. Kako pa dobiš prvi in tretji člen rezultata?

 

Kako torej na krajši način izračunamo kvadrat dvočlenika?

(a+b)2=a2+2ab+b2

 

Prvi člen kvadriramo in prištejemo

produkt prvega in drugega člena, pomnoženega z 2; nato prištejemo

kvadrat drugega člena.

Get the Flash Player to see this player.


 
Naloga

Kvadriraj naslednje dvočlenike (kvadriraj=izračunaj kvadrat).

a) (a+3)2

b) (5+b)2

c) (a–2b)2

d) (a3b–3a6b2) 2

e) (xn+1yx2n+3yn)2

 
Dokaz obrazca za kvadrat dvočlenika z rezanjem kvadrata

Dijakinji računata ploščino kvadrata s stranico x+y. Vsaka se naloge loti na svoj način (glej spodnji video).

  • Dijakinja na desni zapiše ploščino kvadrata tako, da za stranico vzame kar x+y in izračuna ploščino celotnega kvadrata naenkrat.
  • Dijakinja na levi kvadrat najprej razreže na manjše dele, nato pa sešteje njihove ploščine.
Pri tem dijakinji upoštevata, da ploščino kvadrata izračunamo tako, da kvadriramo stranico, ploščino pravokotnika pa tako, da pomnožimo njegovi stranici.

Get the Flash Player to see this player.


 

Upoštevala je, da je ploščina kvadrata s stranico x+y enaka (x+y)2.

Seštela je naslednje ploščine:

ploščino kvadrata s stranico x : x2,

ploščino dveh pravokotnikov s stranicama x in y: 2xy,

ploščino kvadrata s stranico y : y2.

(x+y)2=x2+2xy+y2.
 
Kub dvočlenika
Pozorno si oglej domačo nalogo na spodnji sliki in poskušaj odgovoriti na naslednja vprašanja.
img13_5

1. Kako dobiš prvi in zadnji člen pri kubu dvočlenika?

2. Kaj je označeno z rdečo barvo?

3. Kaj je označeno z modro barvo?

4. Kako dobiš drugi člen?

5. Kako dobiš tretji člen?

1. Prvi člen pri kubu dvočlenika dobim tako, da kubiram prvi člen dvočlenika. Zadnji člen v kubu dvočlenika je kub drugega člena dvočlenika.

2. Z rdečo barvo je v obeh izrazih označen najprej kvadrat prvega člena dvočlenika, nato pa še prvi člen dvočlenika.

3. Z modro barvo je v obeh izrazih označen najprej drugi člen dvočlenika, nato pa še njegov kvadrat.

4. Drugi člen kuba dvočlenika je 3 · (prvi člen)2 · (drugi člen).

5. Tretji člen kuba dvočlenika je 3 · (prvi člen) · (drugi člen)2.

 

Kako torej na krajši način izračunam kub dvočlenika?


(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Prvi člen dvočlenika kubiram in mu prištejem

trikratnik produkta kvadrata prvega in drugega člena, nato

trikratnik produkta prvega in kvadrata drugega člena in na koncu še

kub tretjega člena.

Get the Flash Player to see this player.


 
Naloga

Kubiraj naslednje dvočlenike (kubiraj=izračunaj kub).

a) (a+2)3

b) (2a+1)3

c) (2x–1)3

d) (x2yx6y2)3

e) (x2n+1y4–2xn+1ym)3

a) (a+2)3=a3+3·a2·2+3·a·4+8=a3+6a2+12a+8

b) (2a+1)3=(2a)3+3·(2a)2·1+3·2a·12+13=

=8a3+3·4a2·1+3·2a·1+1=8a3+12a2+6a+1

c) (2x–1)3=(2x)3+3·(2x)2·(–1)+3·2x·(–1)2+(–1)3=

=8x3+3·4x2·(–1)+3·2x·1–1=8x3–12x2+6x–1

d) (x2yx6y2)3=(x2y)3+3·(x2y)2·(–x6y2)+3·(x2y)·(–x6y2)2+(–x6y2)3=

=x6y3+3·x4y2·(–x6y2)+3·(x2yx12y4x18y6=x6y3–3x10y4+3x14y5x18y6

e) (x2n+1y4–2xn+1ym)3=

=(x2n+1y4)3+3·(x2n+1y4)2·(–2xn+1ym)+3·x2n+1y4·(–2xn+1ym)2+(–2xn+1ym)3=

=x6n+3y12+3·x4n+2y8·(–2xn+1ym)+3·x2n+1y4·4x2n+2y2m–8x3n+3y3m=

=x6n+3y12–6x5n+3ym+8+12x4n+3y2m+4–8x3n+3y3m

 
Dokaz obrazca za kub dvočlenika z rezanjem kocke

Podobno kot sta dijakinji izračunali ploščino kvadrata na dva načina, poskusi izračunati volumen kocke s stranico x+y na dva različna načina tako, da boš dobil obrazec za kub dvočlenika.

Pomagaj si z naslednjo konstrukcijo. S premikanjem rdečih točk razstavi kocko in razmisli, na katera telesa razpade.

1. način: volumen celotne kocke je V=(x+y)3.

2. način: kocko razrežemo na 8 manjših delov, kot lahko vidiš na konstrukciji.

Celotna kocka je sestavljena iz ene rdeče in ene modre kocke ter treh zelenih in treh rjavih kvadrov. Volumen celotne kocke je zato enak

V=x3+3x2y+3xy2+y3

Sklep: Ker sta volumna enakih kock enaka, dobimo

(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3.
 
Preveri svoje znanje
(x–6y)2 je enako:

x2–6xy+36y2,
x2–12xy–36y2,
x2–12xy+36y2.

(x2xy)3 je enako:

x6–3x5y+3x4y2x3y3,
x6–3x5y–3x4y2x3y3,
x5–3x5y+3x4y2x3y3.

Če izraz (x+2y)3–(x–2y)2 poenostavimo, dobimo:
x3+6x2y+12xy2+8y3x2+4xy+4y2,
x3+6x2y+12xy2+8y3x2+4xy–4y2,
x3+6x2y+6xy2+8y3x2–4xy–4y2.

Če od kvadrata razlike števil x in 2y odštejemo štirikratnik kvadrata števila x, dobimo:
–3x2+4y2,
5x2–4xy+4y2,
–3x2–4xy+4y2.

 
 Dodatne naloge