Množice točk v ravnini

Ko vemo, kaj je koordinatni sistem in znamo v njem opisati lego posameznih točk, se lahko lotimo naslednjega izziva. Naučili se bomo opisovati nekatere posebne primere množic točk ali te množice predstaviti v koordinatnem sistemu.

Oglejmo si najprej, kaj dobimo, če določimo eno od koordinat, drugi pa dovolimo, da zavzame poljubne vrednosti.

Najenostavnejši primer je zahteva (ali pogoj) x=0. Ta nam da vse točke na ordinatni osi (y). Zato lahko imenujemo enačbo x=0 kar enačbo osi y.
Analogno nam zahteva y=0 opisuje točke na osi x.

Tudi zahteve x=a ali y=b, kjer predstavljata a in b poljubni števili, opisujejo premice.

Če bi hoteli biti zelo natančni, ne bi smeli pisati samo neznane koordinate, ampak bi morali opisati celotno množico bolj na dolgo.

Ne torej x=a, ampak

,

vendar se bomo držali krajšega zapisa.

 
Razmisli
Nariši v koordinatni sistem nekaj točk, za katere velja x=3. Kje ležijo vse točke, ki ustrezajo temu predpisu?
Ta primer je prikazan na spodnji sliki. Na njej je narisana premica, ki predstavlja množico točk x=3, poleg nje pa še množica, ki je podana z enačbo y=–2.
img3_5
 
Polravnine

Od množice točk lahko zahtevamo, da je ena od njenih koordinat pozitivna.
Zahteva x>0 nam bo dala vse točke, ki ležijo desno od osi y. Tako množico imenujemo polravnina – v tem primeru desna polravnina.
Če zahtevamo, da je koordinata negativna, dobimo drugo polravnino.

Na spodnji sliki lahko vidiš vse 4 polravnine, ki jih določata koordinatni osi.

img25_3
Dopolni

Na prazna mesta v besedilu vpiši pogoje, ki jim morajo ustrezati koordinate točk vsake od polravnin.

Piši brez presledkov.

leva polravnina x<0

desna polravnina

zgornja polravnina

spodnja polravnina

  

 

Polravnino lahko omejuje tudi kakšna druga premica, npr. y<2 ali . To bodo v prvem primeru točke, ki ležijo pod premico y=2, v drugem pa tiste, ki so desno od premice x=–1 in vse točke na tej premici.

Verjetno ste opazili razliko. V prvem primeru je znak samo "manjši", torej premica določa mejo, vendar ne sodi v množico. V drugem primeru pa je znak "večji ali enak" in točke, ki so na meji, sodijo v množico rešitev. Da bomo med tema dvema možnostma opazili razliko, se dogovorimo, da bomo premico v prvem primeru risali s prekinjeno črto, v drugem pa s polno.

Ikona ucSredstva Vaja
Nariši obe množici iz zgornjega odstavka in nato primerjaj svojo sliko s spodnjo.

Prikaži y<2 Sliko
y<2
Prikaži x>=-1 Sliko
x>=-1
 
Kvadranti
 
img13_5

Obe koordinatni osi razdelita celo ravnino na 4 dele. Imenujemo jih kvadranti. Poimenujemo jih tako, kot je označeno na zgornji sliki.
Prvi kvadrant lahko dobimo tudi kot presek desne in zgornje polravnine, torej sta obe koordinati vseh točk, ki v njem ležijo, pozitivni. Kako je s koordinatami točk v ostalih, si lahko ogledaš na sliki.

Seveda lahko postavimo tudi več pogojev. V tem primeru sestavljajo množico rešitev vse tiste točke, ki so v preseku vseh delnih rešitev.
 
Ikona ucSredstva Vaja

Nariši v koordinatnem sistemu množice točk, ki ustrezajo pogojem

a) ,

b) ,

c) ,

d) .

 

Ko si narisal ustrezne slike, lahko v spodnji galeriji še preveriš, če so pravilne.
Posamezno sliko lahko povečaš, če klikneš nanjo.


Prikaži a) Sliko
a)
Prikaži b) Sliko
b)
Prikaži c) Sliko
c)
Prikaži d) Sliko
d)

Prvo množico, ki smo jo dobili, bomo imenovali pas.

V primeru c) je rešitev samo poltrak desno od presečišča premic.

 
Ikona ucSredstva Vaja
Sedaj pa poskusimo obratno pot. V spodnji galeriji je v koordinatnem sistemu označenih nekaj množic. Zapiši predpise, ki jim točke ustrezajo, in nato preveri odgovor s klikom na ustrezen gumb.
Če si pozabil: s klikom na sliko se ta poveča, da bolje vidiš podrobnosti. Pozoren bodi tudi na črtkane in neprekinjene premice.

Prikaži 2a) Sliko
2a)
Prikaži 2b) Sliko
2b)
Prikaži 2c) Sliko
2c)
Prikaži 2d) Sliko
2d)

a)

b)

c)

d)  

 
Vaja

Na spodnji aktivni sliki izberi množico točk, za katere velja

.

Meje območja lahko premikaš tako, da vlečeš točki A in B po osi.
Ko bosta obe točki v pravi legi, se ti bo na sliki pokazal napis.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
Premisli, kateri dve števili določata ravno mejo območja, kdaj je torej |x–2|=3.
 
 Dodatne naloge
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008