Podmnožice

Množice primerjamo glede na elemente, ki jih vsebujejo. O množici nam veliko pove tudi število njenih elementov. Glede na število elementov razlikujemo končne in neskončne množice.

Na visoški gimnaziji se je pred matematično učilnico vnela konstruktivna debata med prijateljema.

LUKA: Kako lahko trdiš, da je naravnih števil enako mnogo kot celih števil, če pa so vsa naravna števila hkrati tudi cela števila? Gotovo je celih števil več kot naravnih, saj cela števila vsebujejo poleg naravnih še negativna cela števila.

VID: Motiš se, Luka. Celih števil je enako mnogo kot naravnih števil.

Prešteteti elemente v množici, ki ne vsebuje končnega števila elementov, seveda ni tako lahko kot v končnih množicah. Pa gremo lepo po vrsti.

Število vseh elementov v množici imenujemo moč množice in označimo z m(). Glede na moč množice ločimo KONČNE in NESKONČNE MNOŽICE.
Zapiši moči množic
V okvirček vpiši ustrezno število.
1. Moč množice, ki vsebuje vse črke slovenske abecede, je . Moč množice, ki vsebuje vse samoglasnike, je , moč množice, ki vsebuje vse soglasnike, pa .
  

2. Moč množice, ki vsebuje vse delitelje števila 15, je . Moč množice, ki vsebuje vse delitelje števila 6, je . Moč množice, ki vsebuje vse skupne delitelje števil 25 in 15, je .
  

3. Moč množice črk, ki jih vsebuje beseda BANANA, je , moč množice, ki vsebuje vse črke besede MATEMATIKA, pa je .
  

4. V tretjem evropskem oddelku na visoški gimnaziji je 15 deklet in 12 fantov. Med njimi imajo Anita, Tadeja in Črt rdeče lase. Med fanti je četrtina blondincev, med deklicami pa je dve petini blondink. V množici <img src="../mimetex?%5Ccal%20A" alt=""></img> naj bodo vse dijakinje in dijaki 3.e-razreda, v množici <img src="../mimetex?%5Ccal%20B" alt=""></img> naj bodo vse blondinke, v množici <img src="../mimetex?%5Ccal%20C" alt=""></img> naj bodo vsi blondinci in v množici <img src="../mimetex?%5Ccal%20D" alt=""></img> vse deklice, ki nimajo rdečih las. Moči množic <img src="../mimetex?%5Ccal%20A" alt=""></img>, <img src="../mimetex?%5Ccal%20B" alt=""></img>, <img src="../mimetex?%5Ccal%20C" alt=""></img>in <img src="../mimetex?%5Ccal%20D" alt=""></img> so po vrsti <u>27</u> , <u>6</u> , <u>3</u> in <u>13</u> .
  

Množica, ki ne vsebuje nobenega elementa, ima moč 0 in jo imenujemo PRAZNA MNOŽICA. Prazno množico označimo z ali {}.
Končne in neskončne množice

Preveri, katere od naslednjih množic so končne in katere neskončne, in jih z miško prenesi v ustrezno škatlo.

Moč množic
Številke na desni strani predstavljajo moč množic. Množice poveži z ustrezno močjo množic.
PODMNOŽICE
Poskusi sam

Premakni množici in na spodnjem Vennovem diagramu tako, da bodo vsi elementi množice hkrati tudi elementi množice .

(Množici premikaš tako, da z miško premikaš središča krožnic.)

je PODMNOŽICA množice natanko tedaj, ko je vsak element množice hkrati element množice .

Lastnosti podmnožic
Prazna množica je podmnožica vsake množice.
1. Kateri od spodnjih zapisov s simboli označuje zgornjo trditev?
  
Vsaka množica je podmnožica same sebe.
2. Kateri od spodnjih zapisov s simboli označuje zgornjo trditev?
  
Vsaka množica je podmnožica univerzalne množice.
3. Kateri od spodnjih zapisov s simboli označuje zgornjo trditev?
  
4. Kaj lahko sklepaš o moči poljubnih končnih množic in , za kateri velja, da je množica podmnožica množice ?
  
5. Kaj lahko sklepaš, če velja in ?
       
nič posebnega
= in
Reši, saj znaš!
1. Katera od spodnjih množic ni podmnožica množice ?
  
2. Kateri od naslednjih zapisov je pravilen?
  
3. Zapiši vse podmnožice množice .
       
4. Katere elemente vsebuje neprazna množica , če je hkrati podmnožica množic in ?
       
Poskusi sam

Premakni množice , in v spodnjem Vennovem diagramu tako, da bo množica hkrati podmnožica množice in množice .

(Množici premikaš tako, da z miško premikaš središča krožnic.)
Za radovedne še o moči neskončnih množic
Se spomniš, kako sta se Luka in Vid pred učilnico spraševala, ali je naravnih in celih števil enako mnogo? Pomagajmo jima odgovoriti na vprašanje.

Množice, ki imajo enako moč kot množica naravnih števil, imenujemo števno neskončne množice. Njihovo moč označimo z

m() = (beremo: "alef nič" ).

Cantor je dokazal, da množica realnih števil ni števna. Njeno moč je imenoval moč kontinuuma.

NESKONČNA MNOŽICA ima lahko enako moč kot njena prava podmnožica. Res je, da imata množici naravnih in celih števil enako moč. Da ti bo lažje razumeti to dejstvo, poglej na spodnji listek, kamor sta Luka in Vid zapisovala v prvo vrstico vsa naravna števila in v drugo vrstico vsa cela števila. Če bi nadaljevala z zapisovanjem dovolj dolgo, bi prišla do poljubnega naravnega ali do poljubnega celega števila. 

Poskusi podobno razmišljati pri spodnji nalogi in s pomočjo animacije primerjaj moč množice vseh naravnih števil in moč množice vseh sodih naravnih števil . Označi pravilni odgovor.
  
Za utrditev vsega, kar si se naučil, reši še
dodatne naloge.