Deljivost števil in izrazov

Ali je število 6 deljivo s 3? Ali je število 7 deljivo s 3? V prvem primeru se deljenje izide, v drugem pa dobimo ostanek. Deljivost števil torej pomeni, da se deljenje izide. Oglejmo si, kako dokazovati deljivost raznih števil in izrazov. 
Uvodna naloga
Preberi naslednjo pravljico.
Sklepaj, kakšen je konec pravljice za reveža; vesel ali žalosten. Odgovor utemelji.
 
Deljivost naravnih števil

Spomnimo se, kako utemeljiti, da eno naravno število deli drugo.

(3 deli 6 označimo kot 3|6)

Ker je 40=10·4, velja 4|40.

Relacijo a|b, kjer sta a in b celi števili, dokažemo tako, da b zapišemo kot produkt, v katerem je en izmed faktorjev enak a.

 
Naloga

Ali veljajo naslednje relacije:

 
Deljivost celih števil
Kako bi utemeljili, da eno celo število deli drugo?
Ker je -6=-2·3, velja 3|(-6)
Ker velja -6=2·(-3), velja -3|(-6).

Relacijo a|b, kjer sta a in b celi števili, dokažemo na enak način kot za naravni števili. Število b zapišemo kot produkt, v katerem je en izmed faktorjev enak a.

 
Naloga

Ali veljajo naslednje relacije:

 

 
Deljivost izrazov

Kako bi utemeljili, da en izraz deli drugega?

Pozorno si oglej naslednji animaciji. 

img31_5
 
img30_5

Relacijo a|b, kjer sta a in b neka izraza, dokažemo na enak način kot za naravni in celi števili:

  • izraz b zapišemo kot produkt (izraz b razstavimo)
  • en izmed faktorjev mora biti izraz a.
 
Dokažimo:
Dokažimo:
Dokažimo:
 
Dokažimo:
Dokažimo:
Dokažimo:
 
Dokažimo:
Dokažimo:
Dokažimo:
 
Naloga

Ali veljajo naslednje relacije:

 
Naloga
Ali velja ?
Naloga

Kako naj se glasi naloga?

Dokaži:

 
Naloga

Trditev: Vsota štirih potenc z osnovo 3, ki imajo za eksponente 4 zaporedna naravna števila, je vedno deljiva s 40.

a) Preveri, ali trditev velja za potence 310, 311, 312, 313.

b) Trditev dokaži.

a) Dokažimo, da trditev velja za potence 310, 311, 312, 313.

Vsota potenc:

310 + 311 + 312 + 13 =

Izpostavimo skupni faktor:

= 310 (1 + 3 + 32 + 3) =

Izračunamo, kar je v oklepaju:

= 310 ·

Torej za števila 10, 11, 12, 13 trditev drži.

  

 

b) Trditev dokažimo v splošnem.

4 zaporedna naravna števila v splošnem: n , n + 1 , + 2 , n +

Vsota štirih potenc z osnovo 3 in eksponenti n, n+1, n+2, n+3:

n+ n+1+ n+2+ n+3=

Izpostavimo skupni faktor:

=3n( + +32+33) =

Izračunamo, kar je v oklepaju.

=3n·

Torej trditev tudi v splošnem drži.

  

 
Naloga
Dokaži: Vsota treh potenc z osnovo 5, ki imajo za eksponente 3 zaporedna naravna števila, je deljiva z 31.
Naloga

Trditev: Trikratnik poljubnega števila zmanjšan za 2 deli za 8 zmanjšan osemnajstkratnik kvadrata prej izbranega poljubnega števila.

a) Preveri, ali velja trditev za število 5.

b) Trditev dokaži.

 
Preveri svoje znanje

Drži.
Ne drži.

(-4) | 68

Drži.
Ne drži.


Drži.
Ne drži.


Drži.
Ne drži.


Drži.
Ne drži.

 
Rešitev uvodne naloge
Zdaj še enkrat natančno preberi pravljico in ugotovi, ali bo revež dobil zlato ali ne.

Število grudic zlata v zadnji jami: 2n

Število grudic zlata v predzadnji jami:2n-1

Število grudic zlata v predpredzadnji jami:2n-2

Število grudic zlata v zadnjih treh jamah: 2n+2n-1+2n-2

Poglejmo, ali je ta izraz deljiv s številom žepov 9

Število grudic ni nikoli deljivo z 9.

Deljivo je le s številom 7 in potencami števila 2 ter njihovimi produkti.

Torej je bila vila zvita; reveža je le izkoristila, da ji je okopal in zalil krompir, zlata pa tako ali tako ne bi dobil v nobenem primeru.

Vila se torej vrne k revežu in revež stori, kot mu je bilo naročeno. Izkoplje zadnje tri jame, grudice zlata začne zlagati v svoje žepe ... Takrat pa opazi, da mu manjkata 2 žepa. Ko je bil svoje delo opravljal tako vztrajno in vestno, niti ni opazil, da je z motiko strgal s sebe dva žepa. Tako mu je ostalo le 7 žepov. Takrat je nekaj grdega zamomljal in naprej zlagal grudice zlata v 7 preostalih žepov. Tako je revež vendarle dobil grudice zlata. Takoj si šel kupit ocvirkove pogače, "dobra" vila pa je od jeze za vedno izginila iz tistih krajev.