Ali je število 6 deljivo s 3? Ali je število 7 deljivo s 3? V prvem primeru se deljenje izide, v drugem pa dobimo ostanek. Deljivost števil torej pomeni, da se deljenje izide. Oglejmo si, kako dokazovati deljivost raznih števil in izrazov.
Uvodna naloga
Preberi naslednjo pravljico.
Sklepaj, kakšen je konec pravljice za reveža; vesel ali žalosten. Odgovor utemelji.
Predelaj sledečo snov o deljivosti števil in izrazov in se na koncu vrni k pravljici. Takrat boš vedel napovedati usodo ubogega reveža.
Deljivost naravnih števil
Spomnimo se, kako utemeljiti, da eno naravno število deli drugo.
(3 deli 6 označimo kot 3|6)
Ker je 6=2·3, velja 3|6.
Ker je 40=10·4, velja 4|40.
Relacijo a|b, kjer sta a in b celi števili, dokažemo tako, da b zapišemo kot produkt, v katerem je en izmed faktorjev enak a.
Naloga
Ali veljajo naslednje relacije:
Deljivost celih števil
Kako bi utemeljili, da eno celo število deli drugo?
Ker je 6=(-2)·(-3), velja -3|6.
Ker je -6=-2·3, velja 3|(-6)
Ker velja -6=2·(-3), velja -3|(-6).
Relacijo a|b, kjer sta a in b celi števili, dokažemo na enak način kot za naravni števili. Število b zapišemo kot produkt, v katerem je en izmed faktorjev enak a.
Naloga
Ali veljajo naslednje relacije:
Deljivost izrazov
Kako bi utemeljili, da en izraz deli drugega?
Pozorno si oglej naslednji animaciji.
Relacijo a|b, kjer sta a in b neka izraza, dokažemo na enak način kot za naravni in celi števili:
izraz b zapišemo kot produkt (izraz b razstavimo)
en izmed faktorjev mora biti izraz a.
Dokažimo:
Izraz poskušajmo zapisati kot produkt števila 5 in še nekega izraza.
Torej moramo izraz razstaviti. Kako pa razstavljamo dvočlenik? Najprej pogledamo, če se da kaj izpostaviti. Izpostavimo število 5.
Tako smo izraz že zapisali kot produkt števila 5 in še nekega izraza.
Torej res velja:
Dokažimo:
Izraz želimo zapisati kot produkt, kjer je en faktor .
Izpostavimo:
Torej res velja
Dokažimo:
Izraz bi radi zapisali kot produkt, kjer je en izmed faktorjev
Izpostaviti ne moremo ničesar. Kako razstavimo razliko kvadratov?
Torej res velja:
Dokažimo:
Izraz bi radi zapisali kot produkt, kjer je en izmed faktorjev enak .
Najprej izpostavimo skupni faktor.
Razstavimo vsoto kubov.
Torej res velja:
Dokažimo:
Izraz bi radi zapisali kot produkt, kjer je en faktor .
Izpostaviti ne moremo ničesar. Kako razstavljamo 3 člene? Na 2 oklepaja:
Torej res velja:
Dokažimo:
Najprej izpostavimo skupni faktor (izpostavimo tisto potenco x-sa, ki ima najmanši eksponent).
Tričlenik razstavimo na 2 oklepaja.
Ker je en izmed faktorjev enak , res velja:
Dokažimo:
Izpostavimo skupni faktor (tisto potenco x-sa, ki ima najmanjši eksponent)
Tričlenik razstavimo na 2 oklepaja.
Ker je en izmed faktorjev enak , res velja
Dokažimo:
Skupnega faktorja ne moremo izpostaviti.
Kako razstavljamo štiričlenik? Združimo lahko dva po dva člena.
Dobili smo 2 člena, ki imata skupni faktor . Izpostavimo skupni faktor.
Ker je en izmed faktorjev , res velja
Dokažimo:
Združimo prvi in zadnji člen štiričlenika.
Združimo prva dva člena in druga dva člena.
Dobili smo dva člena, ki imata skupni faktor . Izpostavimo ga.
Ker je en izmed faktorjev enak , res velja
Naloga
Ali veljajo naslednje relacije:
a) Trditev velja, saj je:
b) Trditev velja, saj je
c) Trditev velja, saj je
d) Trditev ne velja, saj je
e) Trditev velja, saj je
f) Trditev velja, saj je
Naloga
Ali velja ?
Ne velja, saj izraza ne moremo zapisati kot produkt nekega izraza in izraza .
(Bi pa veljala relacija . )
Naloga
Kako naj se glasi naloga?
Dokaži:
Ker je navodilo naloge dokaži, moramo poiskati take izraze, ki delijo .
Izraz razstavimo.
Naloga bi se lahko glasila:
1. Možnost: Dokaži:
2. Možnost: Dokaži:
3. Možnost: Dokaži:
Vedno pa lahko zapišemo tudi trivialni možnosti.
4. Možnost: Dokaži:
5. Možnost: Dokaži:
Naloga
Trditev: Vsota štirih potenc z osnovo 3, ki imajo za eksponente 4 zaporedna naravna števila, je vedno deljiva s 40.
a) Preveri, ali trditev velja za potence 310, 311, 312,313.
b) Trditev dokaži.
a) Dokažimo, da trditev velja za potence 310, 311, 312,313.
Vsota potenc:
310 + 311 + 312 +
JXUwMDZi
13 =
Izpostavimo skupni faktor:
= 310 (1 + 3 + 32 +
JXUwMDZi
3) =
Izračunamo, kar je v oklepaju:
= 310 ·
JXUwMDZjJXUwMDA0
Torej za števila 10, 11, 12, 13 trditev drži.
b) Trditev dokažimo v splošnem.
4 zaporedna naravna števila v splošnem: n , n + 1 , JXUwMDM2
+ 2 , n +
JXUwMDZi
Vsota štirih potenc z osnovo 3 in eksponenti n, n+1, n+2, n+3:
Dokaži: Vsota treh potenc z osnovo 5, ki imajo za eksponente 3 zaporedna naravna števila, je deljiva z 31.
3 zaporedna naravna števila: n, n+1, n+2
Vsota potenc: 5n+5n+1+5n+2
5n+5n+1+5n+2=5n(1+5+52)=5n·31
Torej je vsota potenc res deljiva z 31.
Naloga
Trditev: Trikratnik poljubnega števila zmanjšan za 2 deli za 8 zmanjšan osemnajstkratnik kvadrata prej izbranega poljubnega števila.
a) Preveri, ali velja trditev za število 5.
b) Trditev dokaži.
a) Preverimo, ali trditev velja za število 5.
Trikratnik števila 5 zmanjšan za 2: 3·5-2=13
Za 8 zmanjšan osemnajstkratnik kvadrata števila 5: 18·52-8=442
Ali velja ?
Velja, ker je .
b) Trditev dokažimo.
Poljubno število označimo z x.
Trikratnik poljubnega števila zmanjšan za 2: 3x-2
Za 8 zmanjšan osemnajstkratnik kvadrata prej izbranega poljubnega števila: 18x2-8
Dokazati moramo:
Torej res velja .
Rešitev uvodne naloge
Zdaj še enkrat natančno preberi pravljico in ugotovi, ali bo revež dobil zlato ali ne.
1. jama: 1 grudica
2. jama: 2 grudici
3. jama: 4=22 grudice
4. jama: 8=23 grufic
5. jama: 16=24 grudic
zadnja jama: 2n grudic
predzadnja jama: 2n-1 grudic
predpredzadnja jama: 2n-2 grudic
Koliko žepov ima revež? S katerim številom mora biti deljivo število grudic zlata?
Število grudic zlata v zadnji jami: 2n
Število grudic zlata v predzadnji jami:2n-1
Število grudic zlata v predpredzadnji jami:2n-2
Število grudic zlata v zadnjih treh jamah: 2n+2n-1+2n-2
Poglejmo, ali je ta izraz deljiv s številom žepov 9
Število grudic ni nikoli deljivo z 9.
Deljivo je le s številom 7 in potencami števila 2 ter njihovimi produkti.
Torej je bila vila zvita; reveža je le izkoristila, da ji je okopal in zalil krompir, zlata pa tako ali tako ne bi dobil v nobenem primeru.
Vila se torej vrne k revežu in revež stori, kot mu je bilo naročeno. Izkoplje zadnje tri jame, grudice zlata začne zlagati v svoje žepe ... Takrat pa opazi, da mu manjkata 2 žepa. Ko je bil svoje delo opravljal tako vztrajno in vestno, niti ni opazil, da je z motiko strgal s sebe dva žepa. Tako mu je ostalo le 7 žepov. Takrat je nekaj grdega zamomljal in naprej zlagal grudice zlata v 7 preostalih žepov. Tako je revež vendarle dobil grudice zlata. Takoj si šel kupit ocvirkove pogače, "dobra" vila pa je od jeze za vedno izginila iz tistih krajev.