Korenjenje

Katero število moramo kvadrirati, da dobimo 25? Odgovor je enostaven: 5. Če korenimo 25, dobimo 5. Korenjenje je nasprotna operacija kvadriranju.
Mihec je opazoval očeta pri polaganju ploščic. Ugotovil je, da je oče za kvadrat porabil 81 ploščic. Ali lahko Mihec v vsako vrsto postavi en avtomobilček, če ima na voljo 10 avtomobilčkov?
img2_3
Kvadrat ima 9 vrstic, saj je . Torej ima Mihec dovolj avtomobilčkov.
 
Koreni nekaterih števil
V spodnjem apletu so izračunani koreni nekaterih števil. Premikaj rdečo točko in opazuj korenjenje teh števil ter razlago.
 
Kvadratni koren pozitivnega števila a je tako pozitivno število x, da velja:


Kvadratni koren števila a označimo s .
Pri pozitivnih številih je korenjenje obratna operacija kvadriranju.
img8_3

 
Opis korena
Znak imenujemo korenski znak, število pod korenskim znakom pa korenjenec.
img7_3
Preberemo: kvadratni koren od 9. Včasih rečemo tudi kvadratni koren iz 9 ali še krajše koren 9.
 
Kaj že znam?
Poskusi izračunati naslednje kvadratne korene.
1.

2.

3.

4.

 
Iz drugega primera si zapomni, da je kvadratni koren od 0 enak 0: .
Vsa števila, ki niso negativna, lahko imenujemo nenegativna. Torej je koren mogoče izračunati za nenegativna števila.
 
Reševanje enačb
Enačbo bi zagotovo znal rešiti.
Rešitev je tako število x, da velja: , to pa je seveda 4.

Kaj pa pomeni enačba ? Rešitve te enačbe so števila, katerih kvadrat je enak 4. Lahko se vprašamo še malo drugače: „Katero število moramo kvadrirati, da dobimo 4?”

S premikanjem obeh točk levo in desno poišči rešitvi enačbe kar na številski premici. Ko boš našel obe rešitvi, se bo izpisalo Pravilno!.
Vidiš, da ima enačba res dve rešitvi, in . Napravimo še preizkus. Naprej vzemimo prvo rešitev in jo kvadrirajmo: , kar pomeni, da je rešitev prava. S kvadriranjem druge rešitve dobimo: . Torej je tudi ta rešitev dobra.

Razmisli, kakšni rešitvi ima kvadratna enčba: .
Vsaka enačba oblike , kjer je pozitivno število, ima dve rešitvi: in .
 
Preveri svoje znanje
1. Izračunaj .
11 in –11
11
–11

2. Izračunaj .
1
–1
–1 in 1

3. Izračunaj .
20
–20
–20 in 20

4. Reši enačbo .
6
–6
6 in –6

5. Reši enačbo .
3
–3
Enačba nima rešitve.
3 in –3

 
je na nekoliko drugačen način zapisano število 6, zato ima koren samo eno vrednost.

Pri računanju korena nenegativnega števila dobimo eno nenegativno število.
Kadar pa govorimo o enačbi , pa iščemo števila, katerih kvadrat je enak 36. Temu ustrezata števili 6 in –6. Torej imajo podobne enačbe vedno dve rešitvi.

Pri reševanju enačbe , kjer je pozitivno število, dobimo dve rešitvi: eno pozitivno in eno negativno.

Enačbe , kjer je negativno število, ne znamo rešiti.
 
Pravila za korenjenje
Pri naslednjih primerih bomo računali na dva načina. Prvi način bo krajši in neposreden, pri drugem načinu pa bomo korenjenec zapisali kot produkt ali kvocient dveh števil.

, saj je . Lahko pa zapišemo takole: . V tem primeru je drugi način zamudnejši.

Poskusi sam na oba načina izračunati .

, saj je .

Ali pa:  

Koren produkta nenegativnih števil je produkt korenov: .
 
Poskusimo izračunati na dva načina.

Jasno je, da velja , saj je .
Lahko pa korenjenec zapišemo kot ulomek: .

Bi znal sam izračunati na dva načina ?
, ker je ali




Koren ulomka nenegativnih števil je ulomek korenov: .

Koren količnika nenegativnih števil je količnik korenov: .
Za nenegativna števila velja: korenjenje in kvadriranje sta nasprotni operaciji:.
 
Uporabi pravila
Izračunaj naslednje račune.
1.

2.

3.

4.

 
Koliko si si zapomnil?
1. Izračunaj .
–1100
1100
Ne obstaja.

2. Izračunaj .
–0,012
0,012
Ne obstaja.

3. Izračunaj .
-1300
Ne obstaja.
1300

4. Izračunaj .
in


5. Reši enačbo: .
Enačba nima rešitve.
0

6. Reši enačbo: .
90 in –90
90
–90
Enačba nima rešitve.

 
Delno korenjenje
Poskusimo koreniti . Število 27 ni popolni kvadrat, saj ni kvadrat nobenega naravnega števila. Oglej si spodnjo animacijo.
img66_5
27 lahko zapišemo kot produkt 9 in 3 in korenimo vsak faktor posebej, kakor je prikazano na animaciji. Seveda ostane, ker 3 ni popolni kvadrat.

Tako poenostavimo mnoge korene in temu rečemo delno korenjenje.
Delno korenjenje uporabljamo pri številih, ki niso popolni kvadrati, se pa popolni kvadrati pojavljajo kot faktor v njihovem razcepu.
 
Na spodnji animaciji je prikazan še en primer delnega korenjenja, ki je nekoliko težji kot zgornji.
img67_5
Še nekaj primerov delnega korenjenja:

 
Reši sam
1. Izračunaj .   
2. Izračunaj .   
3. Izračunaj .   
 
Racionaliziranje ulomkov
Kako bi delili 1 s ? Pomagamo si z ulomkom , vendar nismo zadovoljni, ker je v imenovalcu koren. Na spodnji animaciji je prikazano, kako ga odpravimo.
img68_5
Števec in imenovalec pomnožimo z istim številom, tako da v imenovalcu odpravimo koren.  Pri deljenju korenov velikokrat naletimo na podobne primere. Postopek, kjer v imenovalcu odpravimo koren, imenujemo racionalizacija ulomka.
Kadar imamo v imenovalcu ulomka kvadratni koren nepopolnega kvadrata, moramo ta ulomek racionalizirati. Najprej poskusimo to število delno koreniti. Nato si pomagamo z razširjanjem ulomka, tako da števec in imenovalec pomnožimo s kvadratnim korenom, ki nam ostane v imenovalcu.
 

Še nekaj primerov:










 
Kaj pa racionalizacija kakšnega zapletenejšega primera? Oglej si spodnjo animacijo.
img69_5
Kadar imamo v imenovalcu vsoto korenov, potem ulomek racionaliziramo tako, da ga množimo z razliko korenov. Če pa je v imenovalcu razlika korenov, je treba števec in imenovalec pomnožiti z vsoto korenov.
Reši sam
1. Racionaliziraj: .   
 
2. Racionaliziraj: .   
3. Racionaliziraj: .   
4. Racionaliziraj: .   
 
5. Racionaliziraj: .   
6. Izračunaj: .   

7. Izračunaj: .   
 
Reši še dodatne naloge.