Realna števila

Nekatera števila lahko zapišemo z ulomkom s celimi števili, nekaterih pa ne.
Ponovi
Ali držijo naslednje trditve?
1. Ulomka in predstavljata isto število.
Pravilno Napačno

2. Ali je isto kot ?
Pravilno Napačno

3. Števila, ki jih lahko zapišemo kot ulomke s celimi števili, imenujemo racionalna števila.
Pravilno Napačno

 
Ali obstajajo števila, ki niso ulomki?
Odgovor na vprašanje je pritrdilen.

Vzemi kvadrat s stranico 1 in izračunaj dolžino njegove diagonale.
Stranica kvadrata je dolga 1 enoto. Uporabiš Pitagorov izrek: c2 = 12 + 12 = 2 in dobiš .
 
Preden si pogledamo, zakaj ne moremo zapisati z ulomkom, ga narišimo na številski premici.
img7_3
 
Za radovedne
Razmisli, zakaj števila ne moremo zapisati z ulomkom.
Če bi izračunal s kalkulatorjem, bi videl, da se decimalke za vejico ne ponavljajo periodično. Zato ga z decimalnim številom zapišemo samo kot približek.

Zapiši nekaj približkov za .

1,4
1,41
1,414
1,4142

 
Iracionalna števila
Števila, ki jih ne moremo zapisati z ulomkom, imenujemo iracionalna števila.
Med iracionalna števila spadajo tudi:
 
Razmisli
Ali držijo naslednje trditve?
1. Število je iracionalno število.
Pravilno Napačno

2. Število je iracionalno število.
Pravilno Napačno

3. Iracionalna števila imajo končno mnogo decimalk.
Pravilno Napačno

4. Število lahko zapišemo z ulomkom.
Pravilno Napačno

 
Ponovimo
Števila, ki jih lahko zapišemo kot ulomke s celimi števili, imenujemo racionalna števila. Spoznali smo, da npr. ni mogoče zapisati z ulomkom. Takim številom rečemo iracionalna števila.

Vsa števila skupaj imenujemo realna števila. Množico realnih števil bomo označili z
Ko govorimo o ulomku s celimi števili, si predstavljamo ulomke, kot so: , , in podobno. Verjetno bi tudi številu rekli ulomek, vendar to ni ulomek s celimi števili.
 
Izračunaj
S kalkulatorjem izračunaj naslednje korene.



Verjetno si opazil, da je decimalk še več in da se ne ponavljajo.

Iracionalna števila
imajo neskončno število decimalnih mest, ki se ne ponavljajo periodično. Če jih zapišemo z decimalnim številom, si pomagamo s približki.
 
Spomni se, katere množice števil že poznaš:
- naravna števila: 1, 2, 3, 4 ...
- cela števila: 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4 ...
- racionalna števila oz. ulomki: , , .
Sedaj, ko poznaš še realna števila, lahko vse množice predstavimo z diagrami.

Na spodnji slike so predstavljene množice ter njihova medsebojna lega. Z so označena naravna števila, je oznaka za cela števila, racionalna števila označimo s in realna števila z .
img14_3
 
Preizkusi se
1. Katera je najmanjša množica, kamor lahko uvrstiš število?

2. Katera je najmanjša množica, kamor lahko uvrstiš število ?

3. Katera je najmanjša množica, kamor lahko uvrstiš število 3,5?

4. Katera je najmanjša množica, kamor lahko uvrstiš število ?

5. Katera je najmanjša množica, kamor lahko uvrstiš število 5+7*2?

 
Realna os
Števila lahko upodobimo tudi na premici.

Premikaj točko po premici in opazuj, katero število predstavlja. Na zeleni daljici lahko spremeniš povečavo, kar pomeni, da se korak poveča. Čim večja je povečava, tem več decimalk se prikaže, saj je slika precej natančnejša.
Vsaka točka na premici predstavlja število. Ničla je tam, kjer smo začeli, ena pa pove, kako dolg je naš 'korak'. Ta korak imenujemo enota.

Takšno premico imenujemo realna os.
 
Ponovi
Spomni se, kaj je unija dveh množic. Poišči unijo množice in

Množico realnih števil lahko zapišemo kot unijo treh množic, ki nimajo skupnih elementov:.

  • množica pozitivnih realnih števil:
  • množica negativnih realnih števil:
img39_5
 
Realna števila lahko seštevamo, odštevamo, množimo in delimo. Če realno število množimo z 0, dobimo 0, kar veš že od prej.
Podobno kot pri vseh številih tudi tu ne moremo, ne znamo in ne smemo deliti z 0, saj je rezultat nedoločen.
Na spodnji animaciji sta na realni osi predstavljeni dve iracionalni števili: in . Opaziš lahko, da je njuna vsota res realno število. Podobno velja za nasprotno število , ki je seveda ter .
img28_3
 
Kako bi narisali pi?
Ulomke in korene že znaš narisati na realni osi. Kako pa bi narisal ?
Veš, da je število povezano z obsegom kroga. Nariši krog s premerom 1 dm in razmisli, kako dolgo vrvico potrebuješ, da jo položiš okrog celotnega kroga.

Na spodnjem apletu lahko opazuješ, kaj se dogaja, ko premikaš zeleno točko levo-desno.
Vrvica je dolga toliko, kolikor meri obseg kroga. Polmer kroga je 0,5 dm, torej meri obseg dm.
Število ni racionalno število, ima neskončno decimalk, zato velikokrat pri računanju uporabljamo približke: 3,14 ali .
 
Preveri svoje znanje
1. Katera je najmanjša množica, kamor lahko uvrstiš število ?


2. Katera je najmanjša množica, kamor lahko uvrstiš število ?


3. Katera je najmanjša množica, kamor lahko uvrstiš število ?

4. Katera je najmanjša množica, kamor lahko uvrstiš število ?

5. Število je racionalno število.
Pravilno
Napačno

 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008