Diagonale in koti v večkotnikih
| Diagonala je črta, ki povezuje poljubni dve oglišči večkotnika. | |
| Diagonala je premica, ki povezuje dve nesosedjnji oglišči večkotnika. | |
| Diagonala je daljica, ki povezuje dve nesosednji oglišči večkotnika. | |
| Diagonala je daljica, ki povezuje dve nasprotni oglišči večkotnika. |
Diagonala je vsaka daljica, ki povezuje dve nesosednji oglišči.
Koliko diagonal pa sploh ima posamezen večkotnik?
Pri trikotniku je enostavno. Nima nobene diagonale, saj nobeno oglišče nima nesosednjih. Tudi o štirikotnikih gotovo veš, da imajo po dve diagonali. Nariši petkotnik in poskusi prešteti vse njegove diagonale. Koliko jih je?
Petkotnik ima diagonal.
Najprej malo risanja. Z orodjem za risanje daljic nariši na sliki vse diagonale, ki potekajo iz oglišča A. Koliko jih je?
Koliko diagonal poteka iz oglišča A?
diagonale.
Zakaj ravno toliko?
Ali lahko tudi iz vsakega drugega oglišča narišemo 4 diagonale.
Poskusi to tudi narediti na zgornji sliki. Kaj opaziš?
Kako bi izračunal število vseh diagonal?
Enako lahko razmišljaš pri poljubnem n-kotniku.
Ker je vseh oglišč v n-kotniku n, lahko iz vsakega narišemo (n-3) diagonale. (Ne moremo narisati diagonal iz oglišča samega vase in ne do sosednih dveh oglišč, zato -3 v našem zapisu.) To število pomnožimo z n, da dobimo vse diagonale iz vseh oglišč, potem pa še delimo z dva, saj smo vsako diagonalo šteli dvakrat (iz vsakega oglišča po enkrat.). Število vseh diagonal v n-kotniku bomo označili z dn in si zapomnili
.Izračunaj po obrazcu število diagonal v posameznih večkotnikih in zapiši rezultat v tabelo
| štev. oglišč | štev. diagonal |
| 5 | |
| 6 | |
| 10 | |
| 15 |
S poskušanjem ugotovi, kateri večkotnik ima 20 diagonal.
V vsakem oglišču večkotnika je tudi en notranji kot. Vsak n-kotnik ima n notranjih kotov. Tudi zunanje kote lahko najdemo v vsakem oglišču.
Notranji kot večkotnika ima vrh v oglišču večkotnika, kraka pa potekata po stranicah le-tega.
Tudi zunanji kot ima vrh v oglišču večkotnika, le da en krak poteka po stranici, drugi pa leži na nosilki stranice.
Koliko meri vsota vseh notranjih kotov v trikotniku?
°
Kolikšna je ta vsota v štirikotniku?
°
in v šestkotniku?
°
Izračunajmo vsoto notranjih kotov v poljubnem n-kotniku
Na spodnji aktivni sliki je šestkotnik? Kaj se zgodi z njim, če mu »odrežeš« trikotnik FAE? Kaj se zgodi s koti? Pri razmisleku si lahko pomagaš tako, da primeš točko F in jo premakneš v levo.
Kaj je nastalo iz šestkotnika?
Kolika je vsota notranjih kotov v trikotniku FAE?
V kakšnem odnosu sta vsoti notranjih kotov v šestkotniku ABCDEF in petkotniku ABCDE?
Iz neke točke S v notranjosti n-kotnika narišemo daljice do vseh oglišč. Tako razdelimo n-kotnik na n trikotnikov. Vsota vseh notranjih kotov v vseh trikotnikih je n·180°. Če pogledaš zgornjo sliko, boš videl, da vsi ti koti tvorijo notranje kote našega n-kotnika, poleg tega pa še polni kot v središčni točki S. Torej od prejšnje vsote odšteješ 360° in dobiš vsoto notranjih kotov v n-kotniku.
Lahko sklepaš, da se vsota vseh notranjih kotov poveča za 180°, če povečaš število oglišč za 1, saj tako dodaš liku še en trikotnik.
Organizirajmo to v tabelo:
| lik | štev. oglišč | vsota notranjih kotov |
| trikotnik | 3 | (3-2)·180°=180° |
| štirikotnik | 4 | (4-2)·180°=360° |
| petkotnik | 5 | (5-2)·180°=540° |
| šestkotnik | 6 | (6-2)·180°=720° |
| ... |
Vsoto vseh notranjih kotov v poljubnem n-kotniku izračunamo z obrazcem
(n-2)180°.
Izračunaj vsoto notranjih kotov v osemkotniku in desetkotniku.
Vsota notranjih kotov v osemkotniku je
°, v desetkotniku pa
°.
V katerem n-kotniku je vsota notranjih kotov 1260°?
V
-kotniku. (vpiši s številom)
Na sliki lahko vidiš, da sta notranji in zunanji kot vedno sokota. Njuna vsota torej znaša °. Izračunaj, koliko znaša vsota vseh petih parov notranjih in zunanjih kotov v petkotniku. Vsota je °. Če od tega števila odšteješ samo vsoto notranjih kotov, to je °, ugotoviš, da je vsota zunanjih kotov enaka °.
| n | vsota parov notranjih in zunanjih kotov n·180° | vsota notranjih kotov | ostane za zunanje kote skupaj |
| 3 | ° | ° | ° |
| 4 | ° | ° | ° |
| 6 | ° | ° | ° |
| 7 | ° | ° | ° |
Vsota zunanjih kotov v poljubnem večkotniku meri 360 stopinj.
diagonal.