Obratno sorazmerje
Količine so lahko med seboj povezane. Včasih povečanje ene količine povzroči zmanjšanje druge količine. Tako na primer več dobitnikov glavnega dobitka na loteriji pomeni manjšo izplačano premijo vsakemu dobitniku. Poglejmo natančneje to matematično povezanost ali odvisnost.
Gospa Hren mora z vodo napolniti 100-litrski sod. Na voljo ima vedra z različnimi prostorninami:
vedro za 0,5 litra,
vedro za 1 liter,
vedro za 2 litra,
vedro za 4 litre,
vedro za 5 litrov,
vedro za 10 litrov.
Kolikokrat mora nesti posamezno polno vedro, da napolni sod?
Premisli in izpolni preglednico.
| vedro (litri) | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 |
| število veder |
Vemo, da mora gospa Hren napolniti sod, ki drži 100 litrov. Tako je zmnožek nosilnosti enega vedra in število potrebnih veder za napolnitev soda vedno 100.
Če uporabimo vedro za 0,5 litra, je zmnožek 0,5·200 = 100.
Če uporabimo vedro za 2 litra, je zmnožek 2·50 = 100.
Dopolni še preostale zmnožke.
·100 = 100
4· = 100
10·
= 100
Na izlet z avtobusom se odpravlja 40 prijavljenih. Agencija jih obvesti, da bodo za najem 50-sedežnega avtobusa plačali 500 evrov.
a) Koliko plača za prevoz vsak udeleženec izleta?
b) Koliko bi plačal vsak udeleženec, če bi bil avtobus zaseden do zadnjega mesta?
Pri delitvi med dva dobi vsak 6 bonbonov.
Pri delitvi med tri dobi vsak 4 bonbone.
Pri delitvi med štiri dobi vsak 3 bonbone.
Pri delitvi med šest dobi vsak 2 bonbona.
Očitno je, da več kot je tistih, ki jim bonbone razdeli, manj dobi vsak. Če jih razdeli med 12, dobi vsak enega. Če bi vse bonbone zadržal zase, bi jih imel 12.
Z večanjem ene količine (število udeležencev pri delitvi) se manjša druga količina (število bonbonov za enega).
Zmnožek števila bonbonov, ki jih dobi ena oseba, in število oseb v delitvi je vedno 12.
V vseh prikazanih primerih opazimo, da če smo eno količino povečevali, se je druga zato zmanjševala.
Produkt ustreznih vrednosti neodvisne in odvisne količine je vedno enak (konstanten):
x·y = c, kjer je c neko število.
a) Za koliko dni bi razpoložljiva krma zadostovala za 10 živali?
Odgovor: za dni.
b) Koliko živali bi enako količino krme pojedlo v 20 dneh?
Odgovor: živali.
Pri pisanju besedila z urejevalnikom besedil napišemo 6 strani. Na vsaki strani je 20 vrstic.
Koliko strani bi napolnili, če bi bilo na vsaki strani 30 vrstic?
| dolžina (cm) | 1 | 2 | 10 | 20 | ||
| širina (cm) | 5 | 4 |
Poglejmo še enkrat, kateri obratno sorazmerni količini smo opazovali v zadnjih treh primerih.
V 4. primeru sta obratno sorazmerni količini število živali in število dni krmljenja teh živali. Skupna količina krme za vse živali je vedno enaka. Več živali skupno količino krme poje v krajšem času. Manjše število živali pomeni daljši čas krmljenja. Zmnožek med številom živali in številom dni krmljenja je 60, kar je število dnevnih obrokov za eno kravo.
V 5. primeru sta obratno sorazmerni količini število vrstic na eni strani in število vseh strani. Več vrstic na eni strani pomeni manj popisanih strani. Zmnožek obratno sorazmernih količin je 120, kar je število vseh vrstic našega celotnega besedila.
V 6. primeru sta obratno sorazmerni količini dolžina in širina pravokotnika. S povečanjem dolžine pravokotnika se zmanjša širina pravokotnika. Zmnožek dolžine in širine pravokotnika je 20, kar je ploščina pravokotnika, ki je za vsak pravokotnik enaka.
V naslednjih dveh primerih sta v vsaki preglednici dve odvisni količini. Za zapisana števila sta obratno sorazmerni.
Dopolni vsako preglednico. Pomagaj si z zmnožki v tretji vrstici.
| x | 4 | 2,5 | 12,5 | ||
| y | 8 | 2 | 16 | ||
| x·y |
| x | 1 | 2 | 12 | 24 | ||
| y | 12 | 8 | 4 |
| x | 2 | 3 | 12 | 24 | |||
| y | 6 | 4 | 3 |
Dobitek na loteriji si je razdelilo pet dobitnikov. Vsak je dobil 2000 evrov.
Koliko bi dobil vsak, če bi bila dobitnika samo dva?
Desko smo razžagali na tri enako dolge kose. Vsak je dolg 60 cm.
Koliko kosov dobimo, če enako dolgo desko razžagamo na
a) 20 cm dolge kose,
b) 45 cm dolge kose?
V 9. primeru sta torej obratno sorazmerni količini število dobitnikov loterije in dobitek enega dobitnika. Produkt obratno sorazmernih količin je 10 000, kar je tisti denar, ki si ga dobitniki lahko razdelijo ne glede na to, koliko jih je.
V 10. primeru sta obratno sorazmerni količini dolžina kosa deske in število teh kosov. Zmnožek obratno sorazmernih količin je 180, kar je celotna dolžina deske, ki jo lahko razžagamo.
V nadaljevanju prikažimo obratno sorazmerni količini tudi s sliko. Že v 3. primeru smo opazovali odvisnost med dolžino in širino pravokotnika, ki ima stalno ploščino.
Na naslednji sliki je pravokotnik s ploščino 12 kvadratnih enot (e2). Z vlečenjem točke na oglišču pravokotnika (označena je rdeče) lahko pravokotnik preoblikujemo v nove pravokotnike. Z vlečenjem točke spreminjamo dolžino in širino pravokotnika. Oblikuj nekaj pravokotnikov, odčitaj jim dolžino in širino in jim izračunaj ploščino.