Realna števila
Nekatera števila lahko zapišemo z ulomkom s celimi števili, nekaterih pa ne.
Ali držijo naslednje trditve?
1. Ulomka
in
predstavljata isto število.
in
predstavljata isto število.Pravilno
Napačno
2. Ali je
isto kot
?
isto kot
? Pravilno
Napačno
3. Števila, ki jih lahko zapišemo kot ulomke s celimi števili, imenujemo racionalna števila.
Pravilno
Napačno
Odgovor na vprašanje je pritrdilen.
Vzemi kvadrat s stranico 1 in izračunaj dolžino njegove diagonale.
Vzemi kvadrat s stranico 1 in izračunaj dolžino njegove diagonale.
Preden si pogledamo, zakaj
ne moremo zapisati z ulomkom, ga narišimo na številski premici.
ne moremo zapisati z ulomkom, ga narišimo na številski premici.
Razmisli, zakaj števila
ne moremo zapisati z ulomkom.
ne moremo zapisati z ulomkom. Če bi
izračunal s kalkulatorjem, bi videl, da se decimalke za vejico ne ponavljajo periodično. Zato ga z decimalnim številom zapišemo samo kot približek.
izračunal s kalkulatorjem, bi videl, da se decimalke za vejico ne ponavljajo periodično. Zato ga z decimalnim številom zapišemo samo kot približek.Zapiši nekaj približkov za
.
.
Števila, ki jih ne moremo zapisati z ulomkom, imenujemo iracionalna števila.
Med iracionalna števila spadajo tudi: 

Ali držijo naslednje trditve?
1. Število
je iracionalno število.
je iracionalno število.Pravilno
Napačno
2. Število
je iracionalno število.
je iracionalno število.Pravilno
Napačno
3. Iracionalna števila imajo končno mnogo decimalk.
Pravilno
Napačno
4. Število
lahko zapišemo z ulomkom.
lahko zapišemo z ulomkom.Pravilno
Napačno
Ponovimo
Števila, ki jih lahko zapišemo kot ulomke s celimi števili, imenujemo racionalna števila. Spoznali smo, da npr.
ni mogoče zapisati z ulomkom. Takim številom rečemo iracionalna števila.
Vsa števila skupaj imenujemo realna števila. Množico realnih števil bomo označili z
Števila, ki jih lahko zapišemo kot ulomke s celimi števili, imenujemo racionalna števila. Spoznali smo, da npr.
ni mogoče zapisati z ulomkom. Takim številom rečemo iracionalna števila.Vsa števila skupaj imenujemo realna števila. Množico realnih števil bomo označili z

Ko govorimo o ulomku s celimi števili, si predstavljamo ulomke, kot so:
,
,
in podobno. Verjetno bi tudi številu
rekli ulomek, vendar to ni ulomek s celimi števili.
,
,
in podobno. Verjetno bi tudi številu
rekli ulomek, vendar to ni ulomek s celimi števili.
S kalkulatorjem izračunaj naslednje korene.



Verjetno si opazil, da je decimalk še več in da se ne ponavljajo.
Iracionalna števila imajo neskončno število decimalnih mest, ki se ne ponavljajo periodično. Če jih zapišemo z decimalnim številom, si pomagamo s približki.
Iracionalna števila imajo neskončno število decimalnih mest, ki se ne ponavljajo periodično. Če jih zapišemo z decimalnim številom, si pomagamo s približki.
Spomni se, katere množice števil že poznaš:
- naravna števila: 1, 2, 3, 4 ...
- cela števila: 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4 ...
- racionalna števila oz. ulomki:
,
,
.
Sedaj, ko poznaš še realna števila, lahko vse množice predstavimo z diagrami.
Na spodnji slike so predstavljene množice ter njihova medsebojna lega. Z
so označena naravna števila,
je oznaka za cela števila, racionalna števila označimo s
in realna števila z
.
- naravna števila: 1, 2, 3, 4 ...
- cela števila: 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4 ...
- racionalna števila oz. ulomki:
,
,
.Sedaj, ko poznaš še realna števila, lahko vse množice predstavimo z diagrami.
Na spodnji slike so predstavljene množice ter njihova medsebojna lega. Z
so označena naravna števila,
je oznaka za cela števila, racionalna števila označimo s
in realna števila z
.
Števila lahko upodobimo tudi na premici.
Premikaj točko po premici in opazuj, katero število predstavlja. Na zeleni daljici lahko spremeniš povečavo, kar pomeni, da se korak poveča. Čim večja je povečava, tem več decimalk se prikaže, saj je slika precej natančnejša.
Premikaj točko po premici in opazuj, katero število predstavlja. Na zeleni daljici lahko spremeniš povečavo, kar pomeni, da se korak poveča. Čim večja je povečava, tem več decimalk se prikaže, saj je slika precej natančnejša.
Vsaka točka na premici predstavlja število. Ničla je tam, kjer smo začeli, ena pa pove, kako dolg je naš 'korak'. Ta korak imenujemo enota.
Takšno premico imenujemo realna os.
Takšno premico imenujemo realna os.
Spomni se, kaj je unija dveh množic. Poišči unijo množice
in 
in 
Množico realnih števil lahko zapišemo kot unijo treh množic, ki nimajo skupnih elementov:
.
- množica pozitivnih realnih števil:

- množica negativnih realnih števil:
Realna števila lahko seštevamo, odštevamo, množimo in delimo. Če realno število množimo z 0, dobimo 0, kar veš že od prej.
Podobno kot pri vseh številih tudi tu ne moremo, ne znamo in ne smemo deliti z 0, saj je rezultat nedoločen.
Podobno kot pri vseh številih tudi tu ne moremo, ne znamo in ne smemo deliti z 0, saj je rezultat nedoločen.
Na spodnji animaciji sta na realni osi predstavljeni dve iracionalni števili:
in
. Opaziš lahko, da je njuna vsota res realno število. Podobno velja za nasprotno število
, ki je seveda
ter
.
in
. Opaziš lahko, da je njuna vsota res realno število. Podobno velja za nasprotno število
, ki je seveda
ter
.
Ulomke in korene že znaš narisati na realni osi. Kako pa bi narisal
?
Veš, da je število
povezano z obsegom kroga. Nariši krog s premerom 1 dm in razmisli, kako dolgo vrvico potrebuješ, da jo položiš okrog celotnega kroga.
Na spodnjem apletu lahko opazuješ, kaj se dogaja, ko premikaš zeleno točko levo-desno.
? Veš, da je število
povezano z obsegom kroga. Nariši krog s premerom 1 dm in razmisli, kako dolgo vrvico potrebuješ, da jo položiš okrog celotnega kroga.Na spodnjem apletu lahko opazuješ, kaj se dogaja, ko premikaš zeleno točko levo-desno.
Število
ni racionalno število, ima neskončno decimalk, zato velikokrat pri računanju uporabljamo približke: 3,14 ali
.
ni racionalno število, ima neskončno decimalk, zato velikokrat pri računanju uporabljamo približke: 3,14 ali
.
.
ulomek, bi ga lahko zapisali z okrajšanim ulomkom
. Števili n in m sta tuji, saj je ulomek že okrajšan. Zapišimo
in kvadrirajmo. Dobimo
oziroma
. Tudi ta ulomek mora biti že okrajšan, ker n in m nimata skupnega delitelja. Če dobro pogledamo zadnjo enakost, vidimo, da imata števili
in
skupnega delitelja, ki je enak 2. Torej bi lahko zadnji ulomek še okrajšali. To pa ne gre, zato
ni ulomek. 

poznamo samo približke.
poznamo samo približke.
dm.