Pitagorov izrek v koordinatnem sistemu

V prejšnjih gradivih si spoznal Pitagorov izrek. Tukaj pa boš videl, da ga lahko uporabimo tudi v koordinatnem sistemu.

Spomni se
Kako se glasi Pitagorov izrek v pravokotnem trikotniku?
img19_5
 
V pravokotnem trikotniku naj bosta kot ponavadi a in b kateti, c pa hipotenuza. Kako se glasi v tem primeru Pitagorov izrek?
  
 
Razdalje med točkami

Si se že vprašal, kako bi lahko izračunal razdaljo med dvema točkama v koordinatnem sistemu?
Poglejmo to in poiščimo, kakšno zvezo sploh ima to vprašanje s Pitagorovim izrekom.

Na spodnji sliki so narisane tri točke. Preberi in zapiši njihove koordinate.

img2_5
A(2,1), B(7,1), C(7,4)

Gotovo znaš tudi enostavno določiti razdaljo med točkama A in B ter med B in C.

Kaj pa razdalja |AC|? Preriši zgornjo sliko v svoj zvezek in nariši trikotnik ABC. Kakšen je ta trikotnik?

 

Kaj predstavljata razdalji, ki si ju izračunal v tem pravokotnem trikotniku in kaj je razdalja med točkama A in C?

img8_5

Razdaljo med točkama lahko torej izračunamo s Pitagorovim izrekom.




 

Ponavadi sta podani samo dve točki. Tretjo točko, ki nam pomaga določiti pravokotni trikotnik, si moramo določiti sami tako, da skozi eno od danih točk potegnemo vzporednico osi x, skozi drugo pa vzporednico osi y.

img22_5
Dolžini obeh katet izračunamo tako, da odštejemo istoležni koordinati obeh podanih točk, torej x2-x1 in y2-y1. Pri tem pazimo da
  • vedno od večje koordinate odštejemo manjšo (tako bomo dobili za dolžino katete pozitivno število),
  • pravilno odštejemo negativna števila (od 2 odštejemo -3 tako: 2-(-3)=2+3=5).
 
Preizkusi se
To odštevanje lahko vadiš ob spodnji aktivni sliki. Podani so pari točk. Za vsak par pravilno določi dolžini obeh katet. Če si pravilno zapisal in izračunal dolžini katet preveri tako, da postaviš točki na prava mesta v koordinatnem sistemu in preveriš zapis dolžin k1 in k2.
  •  A(2, 3), B(5, 7)
  • C(1, 5), D(5, 3)
  • E(-2, 4), F(3, 1)
  • G(4, -4), H(-1, -3)
  • K(-3, -4), L(-8, -6)
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Sedaj pa lahko določiš še razdaljo med vsakim parom točk. Uporabi Pitagorov izrek.


 

V obrazcu oznaki A in B vsakič nadomesti s pravimi oznakami točk.

Rešimo skupaj zgled: izračunaj razdaljo med točkama A(2, 1) in B(-2, 3).

Najprej izračunaj dolžini obeh katet
k1 =2-(-2)=4, k2=3-1=2,

razdaljo izračunaj z obrazcem
|AB|2=42+22=16+4=20

rezultat koreni ( v tem primeru delno)

 
Sedaj pa sam
Izračunaj razdaljo med pari točk, ki so podani spodaj. Razdalji |CD| in |EF| delno koreni, zadnji dve pa izračunaj z računalom na eno decimalko natančno. Rezultate napiši na prazna mesta spodaj.
A(2, 3),
B(5, 7) |AB|=
C(1, 5), D(5, 3) |CD|=
E(-2, 4), F(1, 1) |EF|=
G(4, -4), H(-1, -3) |GH|=
K(-3, -4), L(-8, -6) |KL|=
  

 
Preveri svoje znanje
Izračunaj razdaljo med točkama
  • A(2,4), B(2,-5)

1
4
6
9

  • C(-8,-2), D(4,3)

5
12
13
17

  • E(1, 12), F(7,4)

2
6
10
12

  • G(5,6), H(7,2) (delno koreni)

2√5
4√2
5√2
3√5

  • K(-8,-5), L(-1,-6) (delno koreni)

2√5
5√2
7√1
9√2

  • M(3,3), N(8,4) (zaokroži na eno decimalko)

4,2
5,1
6,5
7,4

 
Utrdi svoje znanje. Tu so dodatne naloge.
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008