Vemo, kako rešujemo enačbe in neenačbe s premislekom, z diagramom ali zapisom v preglednici. Ali lahko na enak način rešujemo tudi enačbe in neenačbe, ki vsebujejo vsa racionalna števila? Poglejmo.
Enačba je zapis enakosti dveh izrazov, ki vsebuje neznanko. Neznanko zapišemo s črko, najpogosteje z x.
Enačaj loči levo (L) in desno (D) stran enačbe.
Neko število x je REŠITEV enačbe, če po izračunu vrednosti leve in desne strani enačbe ugotovimo, da sta obe strani enaki.
Število (ali več števil) zapišemo v množico rešitev. Množica rešitev je odvisna od osnovne množice. V njej so zapisana števila, ki jih smemo uporabljati pri iskanju rešitve enačbe. Če osnovna množica ni posebej zapisana, rešujemo enačbo v množici realnih števil.
1. Reševanje enačbe x + a = b
V nadaljevanju se bomo spomnili, kako uspešno rešujemo enačbe. Reševali jih bomo s premislekom in z diagrami.
a) Enačba x + 13 = 24
Na pamet ugotovimo, da je iskano število x = 11. Ustrezna računska operacija je odštevanje.
x = 24 – 13
R = {11}
b) Enačba x + 13 = –24
Premisli potek reševanja ob sliki.
Tudi to enačbo rešimo z operacijo ODŠTEVANJA. Od vsote (število -24) odštejemo znani člen (število 13).
c) Poglejmo še reševanje naslednje enačbe, ki ima za člene tudi ulomke.
Tudi to enačbo rešujemo z odštevanjem. Od vsote (desna stran enačbe) ODŠTEJEMO znani člen enačbe.
Ne glede na števila v enačbi rešimo enačbo x + a = b z ODŠTEVANJEM. Tako je
x = b – a.
2. Reševanje enačbe x - a = b
Poglejmo naslednje enačbe. Neznanka je zmanjševanec v enačbi.
a) Enačbo x – 9 = 10 rešimo na pamet ali s SEŠTEVANJEM.
x = 10 + 9
x = 19
R = {19}
b) Enačba x – 9 = –10
Tudi to enačbo rešimo s SEŠTEVANJEM. Seštejemo razliko (–10) in odštevanec (9).
c) Poglejmo še reševanje enačbe z ulomki. Premisli pot reševanja.
Tudi to enačbo rešimo z operacijo seštevanja. K razliki, zapisani v enačbi, prištejemo odštevanec.
Enačbo x – a = b rešimo tako, da razliki (število b) prištejemo odštevanec (število a).
x = b + a
3. Reševanje enačbe a - x = b
Še vedno rešujemo enačbe, v katerih je operacija odštevanja. Neznanka je na mestu odštevanca. Kako jo rešimo?
a) Enačbo 17 – x = 9 rešimo na pamet (x = 8) ali z operacijo ODŠTEVANJA.
x = 17 – 9
x = 8
R ={8}
b) Enačba 9 – x = –10 ima neznanko na mestu odštevanca. Diagram za to enačbo je nekoliko zahtevnejši. Rišemo ga v dveh korakih.
Iz prvega diagrama zapišemo nekoliko drugačno enačbo, enačbo s seštevanjem.
V drugem koraku rešimo to enačbo, saj jo že znamo.
Seveda je takšno reševanje zamudno. Posebej je prikazan zapis, ki nam reševanje skrajša. Ga vidiš?
Reševanje že poznamo. Od zmanjševanca (število 9) ODŠTEJEMO odštevanec enačbe (število –10).
Če je neznanka v enačbi odštevanec, a – x = b, rešimo enačbo z ODŠTEVANJEM.
x = a – b.
4. Rešitev enačbe je odvisna od osnovne množice
Reši naslednje enačbe, če je osnovna množica množica vseh celih števil, U = Z.
a) x – 7 = –13
V enačbi je neznanka na mestu zmanjševanca. Torej enačbo rešimo s SEŠTEVANJEM.
x = –13 + 7
x = –6
R = {–6}, ker je število –6 v osnovni množici.
b) –6 = –7 + x
V enačbi je neznanka na mestu seštevanca. Vemo, da tako enačbo rešimo z ODŠTEVANJEM.
x = –6 – (–7)
x = 1
R = {1}
c) 43 – x = –52
Neznanka je na mestu odštevanca. Tako enačbo rešimo z ODŠTEVANJEM.
x = 43 – (–52)
x = 95
R = {95}, saj je število 95 celo število.
d) –2,4 + x = 1,8
Neznanka v enačbi je na mestu seštevanca. Zato enačbo rešimo z ODŠTEVANJEM.
x = 1,8 – (–2,4)
x = 4,2
R = { }, saj število 4,2 NI celo število, kot zahteva osnovna množica.
5. Primer
Opazuj reševanje naslednje enačbe.
6. Primer
V množici negativnih celih števil reši enačbo
–6 + (–4 – x) = –11.
V enačbi najprej odpravimo oklepaje.
–6 – 4 – x = –11
Izračunamo –6 – 4.
–10 – x = –11
Ker je neznanka odštevanec, rešimo enačbo z odštevanjem.
x = –10 – (–11)
x = 1
R = { }, ker je osnovna množica množica negativnih celih števil.
7. Reševanje enačbe a x = b
V naslednjih enačbah je neznanka faktor pri množenju. Poglejmo reševanje enačb.
a) Enačbo 8·x = 472 rešimo z operacijo DELJENJA.
x = 472 : 8
x = 59
R = {59}
b) Z diagramom smo prikazali reševanje nekoliko zahtevnejše enačbe. S katero računsko operacijo jo rešimo?
–6·x = –132
Diagram lepo prikazuje, da enačbo rešimo z DELJENJEM, ki je obratna operacija množenja.
c) Enačba v tem primeru vsebuje ulomke. Opazuj potek reševanja.
Tudi to enačbo smo rešili z operacijo deljenja.
Če je neznanka v enačbi eden izmed faktorjev, x·a = b, rešimo enačbo z računsko operacijo deljenja
x = b : a
ali z zapisom v ulomku, x = b/a.
8. Reševanje enačbe x : a = b
V enačbi je lahko neznanka tudi na mestu deljenca. Kako rešimo takšno enačbo?
a) Enačbo x : 7 = 15 rešimo z računsko operacijo MNOŽENJA.
Ko ugotovimo, da je neznanka deljenec v enačbi, vemo, da jo rešimo z operacijo MNOŽENJA. Množimo delitelj s količnikom enačbe.
c) Tudi enačbe z ulomki rešujemo po enaki poti. Oglej si potek reševanja z diagramom.
Če je v enačbi neznanka na mestu deljenca, x : a = b, rešimo enačbo z operacijo MNOŽENJA.
x = a·b
9. Reševanje enačbe a : x = b
Neznanka v enačbi je lahko na mestu delitelja. Poglejmo, kako rešimo tako enačbo.
a) Enačbo 56 : x = 8 rešimo z operacijo DELJENJA.
x = 56 : 8
x = 7
R = {7}
b) Tudi enačba –404 : x = 101 ima neznanko na mestu delitelja. Risanje diagrama je nekoliko zahtevnejše. S prvim diagramom zapišemo prvotno enačbo nekoliko drugače, s produktom. Takšno enačbo že znamo rešiti.
Reševanje enačbe brez diagrama prikaže uokvirjen zapis. S katero računsko operacijo jo rešimo?
Očitno tudi to enačbo rešimo z DELJENJEM. Deljenec (število –404) delimo s količnikom (število 101).
Če je neznanka enačbe na mestu delitelja, a : x = b, rešimo enačbo z računsko operacijo DELJENJA.
x = a : b
10. Primer
Reši naslednje enačbe v množici pozitivnih celih števil.
a) –4 · x = –624
Ker je neznanka na mestu faktorja, rešimo enačbo z deljenjem.
x = –624 : –4 = 156
R = {156}, saj je število 156 pozitivno celo število.
b) 24 : x = –5
Ker je neznanka na mestu delitelja, rešimo enačbo z deljenjem.
x = 24 : (–5) = –4,8
R = { }, saj število –4,8 ni pozitivno celo število.
c) –20 = x : (–0,3)
Neznanka je na mestu deljenca, zato enačbo rešimo z množenjem.
x = –20·(–0,3) = 6
R = {6}, saj je število 6 pozitivno celo število.
11. Primer
V naslednji enačbi najprej odpravi oklepaje, izračunaj, kar znaš, in reševanje enačbe bo enostavno.
2·(x – 3) – 2 = –4
2·x – 6 – 2 = –4 (odpravili smo oklepaj)
2·x – 8 = –4 (izračunamo – 6 – 2 = –8)
Neznanka je v zmanjševancu enačbe (2·x).
2·x = –4 + 8 = 4
2·x = 4
x = 4 : 2 = 2
R = {2}
Neenačbe
Z miško premikaj točko, označeno z rdečim križcem. Katera cela števila ležijo med številoma –7,6 in 7,5?
Iskana števila so –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Matematično opišemo lastnost teh števil z NEENAČBO –7,6 < x < 7,5 in rešitve zapišemo v množico rešitev.
a) Zapisati moramo števila, ki so večja od števila –4,8. Takih števil je neskončno mnogo . V množico rešitev zapišemo le negativna cela števila zaradi osnovne množice.
b) Samo število –1 je negativno celo število, ki je večje od –2.