V vsakdanjih potepanjih pogosto izbiramo bližnjice. Zavedamo se namreč, da je npr. pot do nasprotnega oglišča nogometnega igrišča najkrajša po diagonali. Ne razmišljamo pa o tem, kolikšen del poti smo s tem pravzaprav prihranili.
Janko in Metka želita čim prej na drugi konec bazena. Obema je jasno, da je najkrajša pot na drugi konec bazena naravnost po diagonali. Ker se ne želita zmočiti, bosta šla pač okrog bazena. Kljub vsemu ju neznansko zanima, za koliko je pot po diagonali bazena krajša.
Pri reševanju takšnih in podobnih nalog uporabljamo matematično zakonitost, ki jo imenujemo Pitagorov izrek. Še preden spoznamo omenjeno zakonitost, ponovimo lastnosti pravokotnega trikotnika.
Nad vsako stranico pravokotnega trikotnika z dolžinami stranic 3, 4 in 5 enot narišemo kvadrat. Tako torej dobimo kvadrata s stranicami, ki merijo 3 in 4 enote, ter največji kvadrat, katerega stranica meri 5 enot.
Preštej modre in zelene kvadratke ter izračunaj njihovo vsoto. Dobljeno vsoto primerjaj s številom rumenih kvadratkov. Kaj ugotoviš?
Iz pravkar ugotovljenega lahko sklepamo, da je vsota ploščin manjših dveh kvadratov (nastalih nad obema katetama) enaka ploščini kvadrata nad najdaljšo stranico (hipotenuzo).
Ugotovitev velja za vsak pravokotni trikotnik. Imenujemo jo Pitagorov izrek.
V primeru, da sta kateti pravokotnega trikotnika označeni z a in b ter hipotenuza s c, je ploščina kvadrata s stranico a enaka a2, ploščina kvadrata s stranico b je b2 in ploščina kvadrata s stranico c je c2.
Pitagorov izrek: ploščina kvadrata, nastalega nad hipotenuzo pravokotnega trikotnika, je enaka vsoti ploščin kvadratov, nastalih nad njegovima katetama: c2=a2+b2.
Pitagorov izrek lahko povemo tudi drugače:
V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov obeh katet: c2=a2+b2.
Pazi! Za oznake stranic trikotnika lahko uporabljamo tudi druge simbole, kot so a, b in c, pa tudi hipotenuza ni vedno označena s c. Zato bodi zelo pozoren pri zapisovanju Pitagorovega izreka.
Zgled
Izračunaj dolžino hipotenuze pravokotnega trikotnika, če merita kateti a=12 cm in b=5 cm.
Uporabimo Pitagorov izrek:
c2=a2+b2 (vstavimo vrednosti obeh katet)
c2=122+52 (izračunamo kvadrata obeh katet)
c2=144+25
c2=169 (izraz korenimo)
c=13 cm (ker računamo dolžino stranice, upoštevamo le pozitivno rešitev)
Izračunali smo, da meri hipotenuza danega trikotnika 13 cm.
Pomagajmo Janku in Metki
Ker že poznamo Pitagorov izrek, lahko pomagamo Janku in Metki pri reševanju problema, ki smo si ga zastavili na začetku. Bazen, ki ga prikazuje prva slika, je 50 m dolg in 25 m širok. Tako da Janko in Metka do željenega mesta opravita 50 m + 25 m = 75 m dolgo pot.
Sedaj pa izračunajmo, kolikšno pot bi opravila, če bi preplavala bazen po diagonali. Diagonala c, širina b in dolžina a bazena namreč tvorijo pravokotni trikotnik.
Uporabimo Pitagorov izrek:
c2=a2+b2 (vstavimo vrednosti obeh katet)
c2=502+252 (izračunamo kvadrata obeh katet)
c2=2500+625
c2=3125 (izraz korenimo)
c=55,9 m (ker računamo dolžino stranice, upoštevamo le pozitivno rešitev)
Pot po diagonali bazena znaša le 55,9 m. Kar je za 75 m – 55,9 m = 19,1 m bližje kot okrog bazena.
Torej imata Janko in Metka po diagonali bazena res krajšo pot.
Obrat Pitagorovega izreka
Če za trikotnik velja, da je vsota kvadratov obeh krajših stranic enaka kvadratu najdaljše stranice: a2+b2 = c2, potem je trikotnik pravokoten.
Zgled
Preverimo, ali je trikotnik s stranicami, ki merijo a=6 cm, b=8 cm in c=10 cm, pravokoten.
Izračunajmo vsoto kvadratov obeh krajših stranic:
a2+b2= 62+82=36+64=100
Izračunajmo še kvadrat najdaljše stranice:
c2=102=100
Ker je vsota kvadratov obeh krajših stranic enaka kvadratu najdaljše stranice: 62+82=102, je dani trikotnik pravokoten.
Pitagorejske trojice
Pitagorejska trojica (a, b, c) imenujemo tri naravna števila, za katera velja, da je vsota kvadratov manjših dveh števil enaka kvadratu največjega števila: a2+b2=c2.
Najbolj znana pitagorejska trojica, ki so jo poznali že Egipčani, je (3, 4, 5). Velja: 32+42=52 (9+16=25). Trikotnik, v katerem so stranice v razmerju 3:4:5, je znan tudi kot egipčanski trikotnik.
Nekaj pitagorejskih trojic:
a | b | c |
3 | 4 | 5 |
5 | 12 | 13 |
8 | 15 | 17 |
7 | 24 | 25 |
20 | 21 | 29 |
Veljavnost navedenih pitagorejskih trojic preveri z računanjem.
Preveri svoje znanje
1. naloga Pitagorov izrek velja v:
Narobe
Narobe
Narobe
Pravilno
2. naloga Izračunaj dolžino neznane stranice pravokotnega trikotnika.
Prvi trikotnik
Narobe
Narobe
Pravilno
Drugi trikotnik
Narobe
Narobe
Pravilno
3. naloga Označi izraz za Pitagorov izrek v danem pravokotnem trikotniku.
Trikotnik
NMO:
Narobe
Narobe
Pravilno
Trikotnik
UZV:
Narobe
Pravilno
Narobe
4. naloga Označi izraz za Pitagorov izrek v vseh treh pravokotnih trikotnikih.
Trikotnik
PTS:
Narobe
Narobe
Pravilno
Trikotnik
TRS:
Narobe
Narobe
Pravilno
Trikotnik
PRS:
Pravilno
Narobe
Narobe
5. naloga Ali je trikotnik s stranicami, ki merijo 11 cm, 60 cm in 61 cm pravokoten?
Pravilno
Narobe
Narobe
6. naloga Uporabi računalo in dopolni tabelo pitagorejskih trojic.