Površina in prostornina kocke in kvadra

V gradivu bomo ugotovili, od česa sta odvisni površina in prostornina teh dveh teles in kako ju izračunamo.
Površina kateregakoli telesa nam pove kolikšna je vsota ploščin vseh mejnih ploskev telesa.

Enote za površino so enake enotam za ploščino, torej je osnovna enota 1 m2, iz nje pa so izpeljane
manjše enote 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2
in večje enote 1 ar, 1 ha, 1 km2.

Pretvornik med enotami je 100; torej 1 m2=100 dm2 itd.

 

Ko želimo določiti površino telesa, je najbolj preprosto, če mejne ploskve razgrnemo v ravnino, da dobimo njegovo mrežo in izračunamo ploščine posameznih sestavnih delov.

Nariši mrežo kocke s stranico 3 cm in izračunaj, koliko merijo vsi sestavni deli.  

Površino kocke lahko vedno izračunamo tako, da ploščino enega kvadrata (a2) pomnožimo s 6.


 
Vaja
Kocka ima rob dolg 3,4 dm. Izračunaj njeno površino. Rezultat zapiši najprej v dm2, nato pa ga pretvori še v cm2.

Neka kocka ima površino 294 m2. Kako dolg je njen rob? Kolikšna je vsota dolžin vseh njenih robov?
 
Površina kvadra
Nariši mrežo kvadra z osnovnima robovoma 5 cm in 2 cm ter stranskim robom 3 cm. Izračunaj ploščino vsakega od pravokotnikov in na koncu še površino pravokotnika.

Površino kvadra izračunamo tako, da seštejemo ploščine vseh šestih pravokotnikov, ki ga omejujejo. Ker sta po dve in dve ploskvi enaki, dobimo obrazec


 
Vaja
Izračunaj površino kvadra, ki ima robove a=12 cm, b =17 cm, c=25 cm.

Dva robova kvadra merita a=13 dm, c=9 dm, njegova površina pa je 5m2 42dm2. Koliko meri tretji rob?
 
Prostornina kocke

Prostornina telesa nam pove, koliko prostora zavzame posamezno telo. Za enoto vzamemo prostornino kocke, ki ima rob 1 m in rečemo, da je njena prostornina 1 kubični meter (1 m3).

Dopolni
Kakšni so pretvorniki med kubičnimi enotami? Dopolni prazna mesta s pravimi števili.

1 m3= dm3

1 dm3 = cm3

1 cm3= mm3

 

Za prostornine pa uporabljamo še eno enoto in sicer je

1 dm3=1

  

 

Kolikšna je prostornina kocke, ki ima rob 3 cm? Na spodnji aktivni sliki lahko prešteješ, koliko kockic z robom 1 cm tvori dano kocko. Kockice lahko pobereš iz velike kocke tako, da jih »primeš« v modri točki levo spodaj.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

V kocki z robom 3 cm je 27 kockic z robom 1 cm, torej je njena prostornina 27 cm3.

 

Po vsakem robu lahko postavimo 3 kockice, torej jih potrebujemo za osnovno ploskev (32 ), cela kocka pa je sestavljena iz treh takih »plasti«. Torej je prostornina (33 ). Enako lahko razmišljamo, če je dolžina osnovnega roba poljubno število a.

Prostornino kocke izračunamo tako, da kubiramo dolžino roba.



 
Izračunaj in dopolni
Izračunaj prostornino kocke, ki ima rob dolg 7 cm.V= dm3.
  

Koliko mora meriti rob kocke, da bo njena prostornina enaka 125 dm3?

a= dm

  

 
Prostornina kvadra

Prostornino kvadra določimo podobno kot prostornino kocke.

img24_5
Robovi kvadra merijo 4 cm, 3 cm in 6 cm. Kolikšen je njegov volumen?
Na sliki poglej, iz koliko enotskih kockic je sestavljen kvader?

Na osnovno ploskev lahko postaviš 4×3=12 kockic, nato pa v višino skupaj 6 takih plasti. Kvader je torej sestavljen iz 72 enotskih kockic, njegova prostornina je 72 cm3.

 

Prostornino kvadra izračunamo tako, da med seboj pomnožimo dolžine vseh treh robov.


Vaje
Reši spodnje naloge in zapiši rezultate v prazna polja.

Izračunaj prostornino kvadra, ki ima robove a=4,5 cm, b=8 cm, c=5,5 cm.
V= cm3.

Koliko meri osnovni rob a kvadra, če merita robova b=24 cm, c=35 cm, prostornina kvadra pa je 33,6 dm3?
Najprej pretvori prostornino v cm3
33,6 dm3= cm3,
nato vstavi v obrazec za prostornino podatke in izračunaj neznano količino
a= cm.

  

 

V tabeli so dani podatki za kvader. Izračunaj neznane količine in dopolni prazna polja
abc
P
V
6 cm
3,5 cm7 cm cm2
cm3
8,5 m
7,5 m
m
m2
382,5 m3
mm
3,5 mm
8 mm
194 mm2
mm3
4 dm
dm
4,5 dm
129,5 dm2
dm3