Ploščina izseka in kolobarja

Med deli kroga, ki jih pogosto srečamo sta tudi krožni izsek in kolobar. Naučili se bomo izračunati njuno ploščino.
Krožni izsek

Umko se ne more odločiti, kateri od obeh delov kroga na sliki je izsek. Pomagaj mu in ga pripelji do pravega. Premikaš ga tako, da ga »zgrabiš« za piko levo od njegove noge.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Krožni izsek je del kroga, ki ga omejujejo dva polmera in lok, ki povezuje njuni krajišči.

 

Izsek na spodnji sliki je gibljiv – premikaš ga lahko z rdečo točko. Pazljivo ga obračaj v obratni smeri urinega kazalca in poskusi ugotoviti, s koliko takimi izseki bi pokril cel krog.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Seveda si ugotovil, da pokrije cel krog ravno 5 izsekov. Odgovori na vprašanji:


Kolikšen je središčni kot, ki pripada temu izseku?

Kolikšna je ploščina izseka, če je polmer kroga 5 cm?


 
Razmisli in dopolni

Krožni izsek iz prejšnje naloge ima središčni kot 72º. Njegova ploščina meri 15,7 cm2.
Če bi bil središčni kot velik 144º, bi bila ploščina cm2.
Če bi bil središčni kot velik 24º, bi imel ploščino cm2 (zaokroži na eno decimalno mesto).

Če se središčni kot štirikrat poveča, se tudi njegova ploščina poveča.

Ploščina krožnega izseka je sorazmerna njegovemu središčnemu kotu.

  

Središčnemu kotu 360º priprada kar cel krog s ploščino πr2. Ploščino izseka s kotom 1º dobimo tako, da ploščino kroga delimo s 360 (), ploščina kroga, ki ima središčni kot α, pa je α-krat večja, torej .

Ploščino izseka s središčnim kotom α dobimo tako, da ploščino celega kroga delimo s 360º in nato pomnožimo s središčnim kotom.

 
Nekaj nalog

Koliko meri ploščina izseka, če imamo krog s polmerom 9 cm in je središčni kot
a) 120º,
b) 80º?

 
Izračunaj ploščino izsekov na spodnji sliki, če je polmer kroga 7 cm.
img9_5
Rezultate zaokroži na eno decimalno mesto in vpiši v prazna okenca. (π = 3,14, decimalno ločilo je vejica)
Središčni
kot
Ploščina
izseka
150º cm2
45º cm2
60º cm2
105º cm2
  

 

Izračunaj ploščino celega kroga in njegov polmer, če meri ploščina izseka, ki ima središčni kot 2/5 polnega kota, 72π/5 dm2.

Kolobar

Kolobar je lik, ki ga dobimo, če v krogu s poljubnim polmerom izrežemo manjši krog z istim središčem.

 

S premikanjem točk A in B lahko spreminjaš polmera obeh krogov. Kako bi izračunal ploščino kolobarja?
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
Ploščino kolobarja dobimo tako, da od ploščine zunanjega kroga odštejemo ploščino notranjega kroga.
 
Dve vaji

Izračunaj ploščino kolobarja, če ima zunanji krog polmer 5,2 dm, notranji pa 1,6 dm. Rezultat lahko sicer preveriš tudi na zgornji aktivni sliki, vendar ne bo povsem natančen zaradi zaokrožanja dolžin polmerov.


Premer manjšega kroga je 4 cm, večji krog pa ima trikrat večji premer. Kolikšna je ploščina kolobarja med njima?