Obratno sorazmerje

Količine so lahko med seboj povezane. Včasih povečanje ene količine povzroči zmanjšanje druge količine. Tako na primer več dobitnikov glavnega dobitka na loteriji pomeni manjšo izplačano premijo vsakemu dobitniku. Poglejmo natančneje to matematično povezanost ali odvisnost.

Polnjenje soda

Gospa Hren mora z vodo napolniti 100-litrski sod. Na voljo ima vedra z različnimi prostorninami:

vedro za 0,5 litra,

vedro za 1 liter,

vedro za 2 litra,

vedro za 4 litre,

vedro za 5 litrov,

vedro za 10 litrov.

Kolikokrat mora nesti posamezno polno vedro, da napolni sod?

Premisli in izpolni preglednico.

vedro (litri) 0,5 1 2 4 5 10
število veder
  

Z vsakim vedrom lahko napolni 100-litrski sod. Če izbere vedro za 10 litrov, je logično, da bo potrebovala 10 polnih veder, saj je 10·10 litrov = 100 litrov.

Če izbere vedro za 5 litrov, bo potrebovala 20 polnih veder, saj je 20·5 litrov = 100 litrov.

Sklepamo: Čim več drži eno vedro, tem manj teh polnih veder potrebujemo.

Vemo, da mora gospa Hren napolniti sod, ki drži 100 litrov. Tako je zmnožek nosilnosti enega vedra in število potrebnih veder za napolnitev soda vedno 100.

Če uporabimo vedro za 0,5 litra, je zmnožek 0,5·200 = 100.

Če uporabimo vedro za 2 litra, je zmnožek 2·50 = 100.

Dopolni še preostale zmnožke.

·100 = 100

= 100

10· = 100

  

 
Avtobusni izlet

Na izlet z avtobusom se odpravlja 40 prijavljenih. Agencija jih obvesti, da bodo za najem 50-sedežnega avtobusa plačali 500 evrov.

a) Koliko plača za prevoz vsak udeleženec izleta?

b) Koliko bi plačal vsak udeleženec, če bi bil avtobus zaseden do zadnjega mesta?

 
Delimo bonbone
Luka deli bonbone. Ima jih 12. Opazuj delitev na enake dele. Od česa je odvisno, koliko bonbonov dobi posameznik?
img17_3

Pri delitvi med dva dobi vsak 6 bonbonov.

Pri delitvi med tri dobi vsak 4 bonbone.

Pri delitvi med štiri dobi vsak 3 bonbone.

Pri delitvi med šest dobi vsak 2 bonbona.

Očitno je, da več kot je tistih, ki jim bonbone razdeli, manj dobi vsak. Če jih razdeli med 12, dobi vsak enega. Če bi vse bonbone zadržal zase, bi jih imel 12.

Z večanjem ene količine (število udeležencev pri delitvi) se manjša druga količina (število bonbonov za enega).

Zmnožek števila bonbonov, ki jih dobi ena oseba, in število oseb v delitvi je vedno 12.

V vseh prikazanih primerih opazimo, da če smo eno količino povečevali, se je druga zato zmanjševala.

 
Tudi pri obratno sorazmernih količinah ločimo neodvisno (x) in odvisno (y) spremenljivko. Če se ena količina 2-krat, 3-krat ... poveča (ali zmanjša) in se druga, od nje odvisna količina hkrati 2-krat, 3-krat ... zmanjša (ali poveča), sta količini v obratnem sorazmerju.

Produkt ustreznih vrednosti neodvisne in odvisne količine je vedno enak (konstanten):

x·y = c, kjer je c neko število.

 
1. primer
Zaloga krme za 5 živali zadostuje za 12 dni.

a) Za koliko dni bi razpoložljiva krma zadostovala za 10 živali?

Odgovor: za dni.

  

b) Koliko živali bi enako količino krme pojedlo v 20 dneh?

Odgovor: živali.

  

2. primer

Pri pisanju besedila z urejevalnikom besedil napišemo 6 strani. Na vsaki strani je 20 vrstic.

Koliko strani bi napolnili, če bi bilo na vsaki strani 30 vrstic?

 
3. primer
Ploščina pravokotnika je 20 cm2. Dopolni preglednico možnih celoštevilskih dolžin in širin pravokotnika.
dolžina (cm) 1 2 10 20
širina (cm)
54
  

Poglejmo še enkrat, kateri obratno sorazmerni količini smo opazovali v zadnjih treh primerih.

V 4. primeru sta obratno sorazmerni količini število živali in število dni krmljenja teh živali. Skupna količina krme za vse živali je vedno enaka. Več živali skupno količino krme poje v krajšem času. Manjše število živali pomeni daljši čas krmljenja. Zmnožek med številom živali in številom dni krmljenja je 60, kar je število dnevnih obrokov za eno kravo.

V 5. primeru sta obratno sorazmerni količini število vrstic na eni strani in število vseh strani. Več vrstic na eni strani pomeni manj popisanih strani. Zmnožek obratno sorazmernih količin je 120, kar je število vseh vrstic našega celotnega besedila.

V 6. primeru sta obratno sorazmerni količini dolžina in širina pravokotnika. S povečanjem dolžine pravokotnika se zmanjša širina pravokotnika. Zmnožek dolžine in širine pravokotnika je 20, kar je ploščina pravokotnika, ki je za vsak pravokotnik enaka.

 
Izpolni preglednici

V naslednjih dveh primerih sta v vsaki preglednici dve odvisni količini. Za zapisana števila sta obratno sorazmerni.

Dopolni vsako preglednico. Pomagaj si z zmnožki v tretji vrstici.

a)
x 4 2,5 12,5
y8 216
x·y
  

b)
x1 2 12 24
y 12 8 4
  

 
Zapiši koordinate
Narisan je graf odvisnosti. Odčitaj koordinate narisanih točk in jih vpiši v preglednico. Išči celoštevilske možnosti. Pomagaj si s premikanjem modro označene točke in zapisanimi koordinatami rdeče označene točke, ki se premika po krivulji.

x 2 3 12 24
y 6 4 3

  

Izračunaj zmnožke posameznih parov količin.
 
Glavni dobitek

Dobitek na loteriji si je razdelilo pet dobitnikov. Vsak je dobil 2000 evrov.

Koliko bi dobil vsak, če bi bila dobitnika samo dva?

1. Vsak bi dobil 800 evrov.
Pravilno Napačno

2. Vsak bi dobil 1000 evrov.
Pravilno Napačno

3. Vsak bi dobil 5000 evrov.
Pravilno Napačno

 
Žaganje deske

Desko smo razžagali na tri enako dolge kose. Vsak je dolg 60 cm.

Koliko kosov dobimo, če enako dolgo desko razžagamo na

a) 20 cm dolge kose,

b) 45 cm dolge kose?

img24_3

Deska ima pred žaganjem dolžino 180 centimetrov.

Z žaganjem na 20 cm dolge kose dobimo 9 kosov.

Z žaganjem na 45 cm dolge kose dobimo 4 kose.

V obratnem sorazmerju sta dolžina kosa in število kosov. Zmnožek je vedno 180, ker je deska dolga 180 cm.

V 9. primeru sta torej obratno sorazmerni količini število dobitnikov loterije in dobitek enega dobitnika. Produkt obratno sorazmernih količin je 10 000, kar je tisti denar, ki si ga dobitniki lahko razdelijo ne glede na to, koliko jih je.

V 10. primeru sta obratno sorazmerni količini dolžina kosa deske in število teh kosov. Zmnožek obratno sorazmernih količin je 180, kar je celotna dolžina deske, ki jo lahko razžagamo.

 
Pravokotnik

V nadaljevanju prikažimo obratno sorazmerni količini tudi s sliko. Že v 3. primeru smo opazovali odvisnost med dolžino in širino pravokotnika, ki ima stalno ploščino.

Na naslednji sliki je pravokotnik s ploščino 12 kvadratnih enot (e2). Z vlečenjem točke na oglišču pravokotnika (označena je rdeče) lahko pravokotnik preoblikujemo v nove pravokotnike. Z vlečenjem točke spreminjamo dolžino in širino pravokotnika. Oblikuj nekaj pravokotnikov, odčitaj jim dolžino in širino in jim izračunaj ploščino.

Ne glede na izbiro dolžine in širine pravokotnika je ploščina pravokotnika vedno 12 e2. Zapisali smo nekaj primerov posameznih pravokotnikov.

Pravokotnik z dolžino 12 enot in širino 1 enoto ima ploščino 12 kvadratnih enot.

Pravokotnik z dolžino 6 enot in širino 2 enoti ima ploščino 12 kvadratnih enot.

Pravokotnik z dolžino 4 enote in širino 3 enote ima ploščino 12 kvadratnih enot.

Pravokotnik z dolžino 3 enote in širino 4 enote ima ploščino 12 kvadratnih enot.

Pravokotnik z dolžino 2 enoti in širino 6 enot ima ploščino 12 kvadratnih enot.

Na sliki smo spreminjali širino pravokotnika (z vlečenjem točke). Hkrati se je spreminjala dolžina pravokotnika. Produkt obratno sorazmernih količin je vedno enak 12, kar je ploščina trikotnika.

 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008