Diagonale in diagonalni preseki kvadra in kocke
Ogledali si bomo diagonale v teh dveh telesih, izračunali njihovo dolžino, na koncu pa bomo še kvader "prežagali" po diagonali.
Kvadri so omejeni s pravokotniki in vsakemu pravokotniku lahko narišemo dve diagonali.
Kaj je pravilno?
Koliko je vseh diagonal, ki jih lahko narišemo na ploskvah kvadra?
Koliko je ploskev? Koliko diagonal je na vsaki ploskvi?
Narobe
Narobe
Narobe
Pravilno
Diagonale, ki ležijo na ploskvah kvadra, imenujemo ploskovne diagonale.
Na spodnji sliki so zaradi preglednosti narisane samo 3 diagonale. Ker ležijo na različno velikih ploskvah, so različno dolge. Njihove dolžine označimo z d1, d2 in d3.
Diagonale na enako velikih ploskvah so seveda enako dolge, torej ima vsak kvader tri četverice enako dolgih ploskovnih diagonal.
Zapiši še Pitagorova izreka za ostali dve ploskovni diagonali.
Ploskovne diagonale kvadra lahko vedno izračunamo s pomočjo Pitagorovega izreka.


Vaja
Izračunaj dolžino vseh treh telesnih diagonal kvadra z robovi a=5 dm, b=3 dm, c=4 dm. Rezultate zapiši v spodnja prazna polja - zaokroži jih na eno decimalno mesto.
Kaj pa kocka?
Ker so vse ploskve kocke skladni kvadrati, so tudi vse ploskovne diagonale enako dolge.
Telesne diagonale
Oglej si na sliki, kako so povezana posamezna oglišča kvadra.
Dopolni
Kako imenujemo daljice, s katerimi so povezana posamezna oglišča?
Seveda lahko potegnemo daljico tudi med tema dvema točkama.
Telesna diagonala kvadra je daljica, ki povezuje dve nasprotni oglišči v kvadru.
Vsak kvader ima štiri telesne diagonale, ki so enako dolge, njihovo dolžino ponavadi označimo s črko d.
Kako izračunamo dolžino telesne diagonale?
Poglej spodnjo aktivno sliko. Posebej pozorno si oglej označeni modri trikotnik (CEA). Ali ima kakšno posebno lastnost? Kaj so njegove stranice? Kvader lahko obračaš s premikanjem drsnikov α in β.
Dolžino telesne diagonale lahko izračunamo po Pitagorovem izreku
d2=d12+c2
v katero lahko namesto d1 vstavimo a2+b2 (glej ploskovne diagonale) in dobimo
d2=a2+b2+c2
Diagonalni preseki
Diagonalni presek kvadra dobiš tako, da telo presekaš z ravnino, ki poteka skozi dva nesosedna vzporedna robova.
Oglej si nastanek diagonalnega preseka na aktivni sliki. Drsnik (točko na zgornji daljici) počasi premikaj v desno.
Diagonalni presek kvadra je pravokotnik, ki ima za eno stranico diagonalo, za drugo pa tisti rob kvadra, ki je pravokoten na to diagonalo.
Vse diagonalne preseke si lahko ogledaš v spodnji galeriji.
Vaja
Izračunaj ploščino vseh diagonalnih presekov kvadra z robovi a=5 dm, b=3 dm, c=4 dm.
Vsi diagonalni preseki kocke so enaki. Koliko meri njihova ploščina, če je rob kocke dolg 14 cm?
Diagonalni presek kocke izračunamo z obrazcem
Vaja
Kocka ima rob dolg 39 cm. Izračunaj dolžino njene ploskovne diagonale, telesne diagonale in ploščino diagonalnega preseka. Rezultate zaokroži na dve decimalni mesti in vpiši v prazna polja.
Če si ploščino diagonalnega preseka računal s pomočjo za dobljene diagonale (zaokrožen rezultat), si dobil malo manj, to je 2150,85 cm2.