Dokaz in uporaba Pitagorovega izreka

Vemo že, da Pitagorov izrek velja v vsakem pravokotnem trikotniku. Uporabimo pa ga lahko tudi v vsakem drugem liku, če le v njem vidimo kakšen pravokoten trikotnik z znanima dolžinama katerih koli dveh stranic.
Dokazi Pitagorovega izreka
Prepričajmo se, da zdaj že znan Pitagorov izrek velja v vsakem pravokotnem trikotniku in ne samo v nekaterih konkretnih primerih.
 
Prvi dokaz
img32_5
Dva enako velika kvadrata smo razdelili na pet oziroma šest likov. Prvi kvadrat je razdeljen na štiri rumene trikotnike in manjši rdeči kvadrat. Drugi kvadrat je prav tako razdeljen na štiri rumene trikotnike in še dva manjša kvadratka (modrega in zelenega).
Ali so vsi trikotniki na zgornjih slikah med seboj enako veliki?   
ne
da
 
Ker so v obeh kvadratih štirje trikotniki, to hkrati pomeni, da mora biti enak tudi preostanek obeh kvadratov. Iz tega sklepamo, da je rdeči kvadrat enako velik kot modri in zeleni kvadrat skupaj. Ker je ploščina rdečega kvadrata enaka c2, ploščina modrega kvadratka a2 in zelenega kvadratka b2, velja: c2 = a2 + b2. To pa je ravno Pitagorov izrek.
Drugi dokaz
img37_5

Izračunajmo ploščino rumenega kvadrata, katerega stranica meri a + b enot. Ploščina je enaka (a + b)2 oziroma (a + b)(a + b), kar je enako a2 + 2ab + b2.

Po drugi strani pa lahko ploščino tega kvadrata izračunamo tudi kot vsoto ploščin vijoličnega kvadrata s stranico c in štirih pravokotnih trikotnikov s katetama a in b. Torej je ploščina kvadrata enaka c2 + 4·ab/2 oziroma c2 + 2ab.

Ploščini, dobljeni na prvi ali drugi način, sta enaki (saj gre za isti kvadrat). Torej velja:

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab oziroma a2 + b2 = c2. Torej smo dobili Pitagorov izrek.

 
Preveri svoje znanje!
Dana sta trikotnika ABC in DEF. Označi Pitagorov izrek za dana trikotnika.
img2_5
Trikotnik ABC:
  
a2 = b2 – c2
c2 = a2 + b2
b2 = c2 + a2
Trikotnik DEF:
  
d2 = e2 + f2
d2 = e2 f2
e2 = f2 + d2
 
Električni drog
Majav električni drog je pritrjen z jeklenimi žicami. Kako dolga je žica, če je drog pritrjen na višini 8 m, na tla pa je žica pripeta 15 m od droga?  
       
23 m
12,7 m
17 m
Deroča reka
Kako široka je reka, če je Janez nasprotni breg dosegel 35 m nižje ob reki, kot je začel plavati? Razdalja, ki jo je preplaval, znaša 37 m.
       
72 m
12 m
51 m
 
Prisloni lestev
Koliko metrov od stene hiše moramo prisloniti 6 m dolgo lestev, da bo dosegla višino 5 m?
       
2,3 m
3,3 m
4,3 m
 
Uporaba Pitagorovega izreka v kvadratu
Kvadratu s stranico a izračunaj dolžino diagonale.
img8_5

Uporabimo Pitagorov izrek:

d2 = a2 + a2 (podobna enočlenika seštejemo),

d2 = 2a2 (izraz korenimo),

.


Dolžino diagonale kvadrata dobimo torej tako, da dolžino njegove stranice pomnožimo s korenom števila 2.

 
Uporabi žepno računalo!
Izračunaj dolžino diagonale kvadrata s stranico, ki meri 40 cm.
       
160,0 cm
80,28 cm
56,57 cm
 
Uporaba Pitagorovega izreka v pravokotniku
Pravokotniku s stranicama a in b izračunaj dolžino diagonale.
img13_5

Uporabimo Pitagorov izrek:

Dolžino diagonale pravokotnika dobimo tako, da izračunamo koren vsote kvadratov dolžine in širine pravokotnika.
 
Uporabi žepno računalo!
Izračunaj dolžino diagonale pravokotnika, če njegova dolžina znaša 30 cm in širina 20 cm.
       
650 cm
22,4 cm
36,1 cm
 
Uporaba Pitagorovega izreka v enakostraničnem trikotniku
Izračunaj višino enakostraničnega trikotnika s stranico a.
img19_5
Uporabimo Pitagorov izrek:
.
Višino enakostraničnega trikotnika dobimo tako, da dolžino njegove stranice pomnožimo z vrednostjo .
 
Uporabi žepno računalo
Izračunaj višino enakostraničnega trikotnika, če njegova stranica meri 20 cm.
       
cm
cm
10 cm
 
Preveri svoje znanje
Danemu deltoidu izračunaj dolžino diagonale e.
img39_5
Diagonala e meri:
       
5 cm
15 cm
30 cm
 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008