Dolžina krožnega loka

Spoprijeli se bomo z dolžino še ene krive črte. Tokrat bomo ugotovili, od česa je odvisna dolžina krožnega loka in kako jo izračunamo.

Se spomniš, kaj je krožni lok?

 

Na spodnji sliki lahko premikaš eno od krajišč loka in s tem spreminjaš njegovo dolžino. Ker sta narisana tudi oba polmera do krajišč, boš gotovo ugotovil, katera količina se poleg dolžine loka še spreminja.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Spreminja se tudi velikost kota, ki ima vrh v središču kroga.

Kotu, ki ima vrh v središču krožnice, kraka pa potekata skozi dve točki na krožnici, bomo rekli središčni kot.

 

Poiskali bomo povezavo med dolžino loka in velikostjo središčnega kota. Na sliki premikaj točko na drsniku zgoraj. S tem boš razdelil polni kot v središču krožnice na več enako dolgih delov.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
Dopolni
Dopolni spodnje povedi.

Če razdelimo polni kot na tri enako velike dele, meri vsak od nastalih središčnih kotov º, dolžina loka, na katero pri tem razdelimo krožnico, pa je ena obsega kroga.
Če razdelimo polni kot na štiri enako velike dele, meri vsak od nastalih središčnih kotov º, dolžina loka, na katero pri tem razdelimo krožnico, pa je ena obsega kroga.

  

 

Verjetno ne bo težko rešiti naslednjih nalog.

img8_5
Pico velikanko s polmerom 30 cm smo razdelili na 8 enakih delov. Koliko meri središčni kot vsakega kosa? Kako dolg je lok?
Središčni kot je osmina polnega kota, to je 45º, lok pa je ena osmina obsega kroga, torej
188,4 cm : 8 = 23,55 cm.

Kako dolg je lok, ki ga dobimo, če v krogu s polmerom 15 cm narišemo središčni kot 36º?
(Če rešuješ nalogo z računalom, zaokroži rezultat na dve decimalni mesti.)
Lok je dolg cm.
  

 

Malo težji primer. Kolikšna je dolžina loka, če meri središčni kot 135º, polmer kroga pa je 6 cm?
Na spodnji sliki je narisan kot 135º. Poskusi z drsnikom ugotoviti, ali je ta kot lahko večkratnik katerega od »enostavnih« središčnih kotov?

 

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Upam, da si ugotovil, da je (v primeru, ko razdeliš krog na 8 delov,) kot 135º enak trikratniku kota 45º. Dolžina loka je v tem primeru enaka trem osminam obsega kroga.

 

Poskusimo sedaj narediti sklep za poljuben središčni kot. Verjetno si že ugotovil, da sta dolžina loka in velikost središčnega kota v premem razmerju. Če torej polni kot razdelimo na 360 enakih delov, bo imel vsak od lokov dolžino 1/360 obsega kroga, to je .
Za poljuben kot α pa to dolžino pomnožimo z velikostjo kota in dobimo dolžino loka .

Dolžino krožnega loka torej lahko izračunamo z obrazcem

.

Reši še nekaj nalog.
 

Kako dolg je krožni lok, ki v krogu s polmerom 25 cm pripada središčnemu kotu 73º?
       
15,9 cm
31,8 cm
63,7 cm
157 cm

Središčnemu kotu 60º pripada v nekem krogu lok, ki je dolg 3π dm.


Koliko meri obseg celega kroga? Kolikšen je njegov polmer?


 

Kako velik je središčni kot, če je v krogu s polmerom 12 cm lok dolg 4π/3 cm?        
16º
32º
 
Preveri svoje znanje

Naslednje naloge rešuj z računalom.

Izračunaj dolžino krožnega loka, če meri v krogu s polmerom 13 cm središčni kot 86º.


6,21 cm
9,76 cm
19,51 cm
39,03 cm

Izračunaj, kako dolg je lok, ki pripada kotu 155º v krogu s premerom 47 dm.

31,79 dm
63,57 dm
127,15 dm
163,57 dm

Kako velik je središčni kot v krogu s polmerom 17 cm, če je dolžina ustreznaga loka 60,23 cm?
51º
73º
102º
203º

Izračunaj polmer kroga, če v njem pripada središčnemu kotu 304º lok z dolžino 152,28 cm.
7,18 cm
14,35 cm
28,7 cm
57,4 cm

 
Želiš dodatne naloge?
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008