Premo sorazmerje

Količine so lahko med seboj povezane. S spremembo ene količine se spremeni tudi druga količina. Te spremembe so lahko različne.

V nadaljevanju poglejmo matematične značilnosti najpreprostejše odvisnosti.

1. Količne so odvisne
Opazuj sliko s tržnice. Kaj pomeni zapis na tablici?
img32_3
Izračunaj, koliko plačamo, če kupimo 1 kg, 2 kg, 3 kg, 5 kg in 0,5 kg sadja.

Zapis pomeni, da vsak kilogram sadja stane 2 evra. Kar seveda pomeni, da za 2 kilograma plačamo 4 evre, za 3 kilograme 6 evrov, za 5 kilogramov 10 evrov in za 0,5 kilograma 1 evro.

Plačilo je ODVISNO od količine kupljenega sadja.  

 
2. Reševanje s sklepanjem
Za 4 kilograme sadja smo plačali 4,8 evra. Koliko bi plačali za 5 kilogramov tega sadja?
img37_3

Sklepanje lahko zapišemo tudi v preglednici.


Količina (kg) Vrednost (evri)
4
4,8
1 *
1,2
5 **
6

* Najprej sklepamo iz množine na enoto (iz vrednosti za 4 kg izračunamo vrednost za 1 kg).

** Nato sklepamo iz enote na množino (iz vrednosti za 1 kg izračunamo vrednost za 5 kg).

 
Primer
Luka za 12 dag salame z žemljo plača 1,40 €. Koliko plača Mitja za 9 dag enake salame z žemljo, če stane žemlja 20 centov? Rešuj s sklepanjem.
3. Količini sta premo sorazmerni

V nadaljevanju si bomo ogledali še en način reševanja tovrstnih nalog.

Opazujemo enakomerno gibanje, zato je hitrost vedno enaka. V preglednici v vsaki vrstici izračunaj količnik med potjo in časom, potrebnim za opravljanje te poti.

Čas (s)
Pot (m) Pot (m)/Čas (s)
3015
10 5
6 3
2
  

 
Primer

Gospod Koren želi kupiti nekaj metrov žice. Ogleduje si cenik in računa vrednosti v tretjem stolpcu. Računa količnik med vrednostjo v evrih in ustrezno dolžino v metrih. Izračunaj jih še ti.

Dolžina

žice (m)

Vrednost (€)

Vrednost (€)/Dolžina (m)

1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
10 20

 

  

Sklepam:

če kupim 1 meter žice, plačam 2 €,

če kupim 2 metra žice (2-krat po en meter), plačam 4 € (2-krat več),

če kupim 3 metre žice (3-krat po en meter), plačam 6 € (3-krat več kot 2 €),

če kupim 4 metre žice (4-krat po en meter), plačam 8 € (4-krat več kot 2 €),

če kupim x metrov žice (x-krat po en meter), plačam x·2 € (x-krat več kot 2 €).

 
Če se ena količina dvakrat, trikrat ... poveča (ali zmanjša) in se druga, od nje odvisna količina dvakrat, trikrat ... poveča (ali zmanjša), sta količini PREMO SORAZMERNI.
Za predstavljene primere poglej izračunan količnik med odvisno in neodvisno količino. Ustrezne podatke preveri v zgornjih primerih.

Odvisna količina je pot v metrih, neodvisna je čas v sekundah.

k = 0,5 (pomeni: v 1 sekundi opravimo 0,5 metra poti)

Odvisna količina je vrednost v €, neodvisna je dolžina žice.

k = 2 (pomeni: za 1 meter žice plačamo 2 €)

Opazimo, da je količnik ODVISNE in NEODVISNE količine vedno enak.

Izračunani količnik k = odvisna(y)/neodvisna(x) imenujemo KOEFICIENT PREMEGA SORAZMERJA.

 
Polnilnica pijač
V polnilnici pijač vsako uro napolnijo 4000 steklenic. Kateri količini nastopita v nalogi?
Dopolni preglednico s pravilnimi vrednostmi. Zapisuj številke.
Čas (ure)

2 4,5 12
Število steklenic
4000 12000

 

Izračunaj koeficient premega sorazmerja, k = .

 

  

 
Reši nalogi

Za 15 dag salame plačamo 150 centov.

a) Koliko bi plačali za 1 dekagram salame?

b) Koliko plačamo za 8 dekagramov salame?

Krajši in preglednejši je zapis v preglednici.

Količina salame (dag) Plačilo (evri)
15 150
110
880

Vsako plačilo lahko izračunamo, če količino salame pomnožimo s količnikom k=10.

 
4. Neodvisna in odvisna spremenljivka

V naslednjem primeru poglejmo nekoliko bolj matematičen zgled. Količini v preglednici sta premo sorazmerni za zapisane vrednosti. Neodvisno količino smo označili s spremenljivko x, odvisno količino s spremenljivko y. Izpolni preglednici. Najprej ugotovi, kako se količini v vsaki preglednici spreminjata. Če je možno, vpiši celo število. Ulomek vpiši v obliki a/b.

a)

x 1 8 12
y 6 36 60

b)

x y
½
4
6
5
24½
  

 
Preveri trditve
Naj bosta količini, označeni z x in y, za zapisane primere premo sorazmerni. Preveri trditve.
1. Če je x = 6 in y = 2, je k = 1/3.
Pravilno Napačno     

2. Če je x = 4 in y = 4, potem je k = 0,1.
Pravilno Napačno     

3. k = 2, ko je x = 1 in y = 2.
Pravilno Napačno     

4. Za y = 10 in k = 0,2 je x = 2.
Pravilno Napačno     

 
5. Prikaz odvisnih količin z grafom

Odvisnost dveh količin lahko prikažemo tudi z grafom. Z miško premikaj modro označeno točko na vodoravni osi. Tako spreminjaš število x. Hkrati se premika rdeče označena točka na premici. Njeno lego opiše število y. Odčitaj zahtevane vrednosti z grafa in jih vpiši v preglednico. Opazuj količnik odvisne in neodvisne količine. Kaj opaziš?

x     
y1/2     3 ½ 
  

Količini sta premo sorazmerni. Količnik odvisne in neodvisne količine je namreč vedno enak. To lahko preveriš tako, da izračunaš količnik y/x za vsak urejen par, to je koeficient premega sorazmerja. Vedno dobiš vrednost k = 1/2. Sicer je pa k zapisan na koordinatni mreži.

Lahko sklepaš tudi tako: če prvo količino (x) povečaš dvakrat, trikrat ..., se mora tudi druga količina (y) povečati dvakrat, trikrat ...

 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008