Pravilni večkotniki

Nekateri večkotniki se odlikujejo po dveh lastnostih. Imajo enako dolge stranice in enako velike kote. V tem gradivu se bomo podrobneje spoznali z njimi in se jih naučili narisati.
Kaj je pravilni večkotnik?
img2_5

Na sliki so narisani pravilni trikotnik, štirikotnik, petkotnik in šestkotnik.

 

Večkotnik je pravilen, če ima vse stranice in vse kote skladne.

Dopolni
Pravilnemu trikotniku pravimo ponavadi trikotnik, pravilnemu štirikotniku pa .
  

 

Trikotnik je edini med pravilnimi večkotniki, pri katerem je zadosti, da ima skladne stranice in je že pravilen, vsi ostali morajo imeti tudi skladne kote.

Na aktivni sliki lahko to preveriš, če poskušaš premakniti "rdeče oglišče" na vsakem od likov. Pri štirikotniku in šestkotniku bo to šlo, pri trikotniku pa ne.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Zakaj je trikotnik "izjema"?

Za odgovor se spomni, kaj ste o trikotnikih povedali v sedmem razredu, ali pa...
 
Konstrukcije pravilnih večkotnikov

Vsem pravilnim večkotnikom lahko očrtamo krožnico, saj v njihovi notranjosti obstaja točka - središče, ki je enako oddaljena od vseh oglišč. Če iz te točke narišemo daljice do vseh oglišč, so te enako dolge in razdelijo lik na (med sabo skladne) enakokrake trikotnike. Oglej si to lastnost na spodnji sliki. Če povlečeš drsnik nad vsakim večkotnikom proti desni, bo ta razpadel na enakokrake trikotnike.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Dopolni
Trikotniki, na katere razpade pravilni šestkotnik, niso samo enakokraki, ampak so .
  

Pravilne večkotnike najlaže narišemo tako, da
  • narišemo očrtani krog,
  • izračunamo kot ob vrhu vsakega enakokrakega trikotnika,
  • rišemo te kote iz središča očrtanega kroga.
Ob zgornji aktivni sliki še enkrat premisli, kako bi izračunal kot ob vrhu enakokrakih trikotnikov.
Izračunaj te kote za pravilni petkotnik, šestkotnik, osemkotnik in desetkotnik.
petkotnik °
šestkotnik °
osemkotnik °
desetkotnik °
  

 
Konstrukcija 1
Oglej si potek konstrukcije pravilnega osemkotnika na spodnji animaciji. Sprožiš jo lahko s klikom na gumb zaženi. Če je animacija prehitra, lahko povečaš čas med posameznimi slikicami ali pa jo upravljaš s puščicami.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Sedaj pa še sam ponovi isto konstrukcijo v svoj zvezek. Začni s krogom s polmerom 6 cm. Kote riši s pomočjo šestila.

V svoj zvezek nariši še pravilni sedemkotnik. Središčni kot 51,4° nariši čimbolj natančno s kotomerom.

 

V pravilnih večkotnikih lahko izračunaš tudi velikost vsakega notranjega kota. Se še spomniš, kolikšna je vsota vseh notranjih kotov v poljubnem večkotniku?

  

Ker so si vsi notranji koti v pravilnih večkotnikih skladni, moraš samo ta rezultat deliti s številom vseh kotov (n).

Izračunaj velikost notranjega kota v pravilnem petkotniku, šestkotniku, sedemkotniku, osemkotniku, devetkotniku.
 
Konstrukcija 2

Na ta način izračunana velikost notranjega kota nam pomaga pri še enem načinu risanja pravilnih večkotnikov.

  • najprej narišemo stranico,
  • v njenem krajišču kot in na prostem kraku naslednjo stranico,
  • nadaljujemo, dokler ne pridemo okrog in okrog.
Narišimo na tak način pravilni devetkotnik s stranico 4 cm. Tudi to animacijo lahko upravljaš na enak način kot prejšnjo.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Ponovi sedaj konstrukcijo še v svoj zvezek.
 
Reši tudi dodatne naloge.
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008