Večkotniki

Poleg trikotnikov in štirikotnikov obstajajo tudi liki z večjim številom kotov. Spoznali jih bomo v tem gradivu.
Različni večkotniki

Na spodnji aktivni sliki klikni na orodje trikotnika v zgornji vrstici in nato po abecednem redu na vse točke, ki na sliki nastopajo. Začni v točki A, v njej pa tudi zaključi svojo pot.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
 

Sklenjena lomljena črta, ki si jo dobil, omejuje del ravnine, ki mu pravimo večkotnik. Točke, ki večkotnik določajo, so njegova oglišča. Sosednji oglišči povezuje daljica, ki ji pravimo stranica.

Pomembno je, da lomljenka, ki lik omejuje, nikjer ne seka sama sebe in da se v vsakem oglišču njena smer spremeni.
 

Poskusi točke na sliki povezati še v drugačnem vrstnem redu. Pri tem pazi, da uporabiš vsako točko točno enkrat in da se stranice ne bodo križale.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
 
Iste točke lahko določajo različne večkotnike. Nekaj primerov lahko vidiš na spodnji sliki.
 
Večkotniki so vsi liki, omejeni z daljicami. Zato nekatere že dobro poznaš. Daj likom na spodnji sliki imena.
img8_5
Dopolni
Lik A imenujemo , lik B je , lik C pa je .
  

 

Splošno poimenujemo večkotnike glede na število oglišč (ki je seveda enako številu stranic in kotov). Tako je petkotnik lik, ki ima pet oglišč (stranic in kotov), devet oglišč pa ima devetkotnik. Splošnemu večkotniku, ki ima n oglišč, bomo rekli n-kotnik.

Oglišča večkotnikov označujemo z velikimi črkami A, B, C, D, ... njihove stranice pa z malimi črkami a, b, c, d, e,... (stranice, ki so enako dolge, pogosto označimo z isto črko).

img24_5

Večkotniku, ki ima oglišča označena v nasprotni smeri urinega kazalca, pravimo, da je pozitivno orientiran, če pa si oglišča sledijo v smeri kazalcev na uri, je negativno orientiran. Orientacija je seveda odvisna tudi od tega, kako povemo vrstni red oglišč. Na zgornji sliki je torej petkotnik ABCDE orientiran pozitivno, petkotnik ABCDE na desni sliki pa je orientiran negativno.

 
Preriši (ni treba natančno) spodnje večkotnike v svoj zvezek in označi njihova oglišča po abecednem redu in stranice. Prva dva naj bosta orientirana pozitivno, tretji pa negativno.
img13_5
 
Konveksnost in konkavnost

Opazuj petkotnika ABCDE in FGHIJ na spodnji sliki. Katera je bistvena razlika med njima?

img16_5
Petkotnik ABCDE je vbočen (vdrt), drugi pa je izbočen.
 

Večkotnik imenujemo konveksen (izbočen), če dve njegovi poljubni notranji točki  povezuje daljica, ki leži vsa v njegovi notranjosti.

Večkotnik je konkaven (vbočen), če lahko narišemo kakšno daljico, ki ima krajišči v večkotniku, daljica pa ne leži vsa v njem.

img19_5
Nobena bližnica med dvema točkama konveksnega večkotnika ne sme "zaiti v tuje ozemlje".

Katera od daljic na zgornji sliki služi kot dokaz, da je šestkotnik ABCDEF konkaven?
 
img26_5
Rečemo lahko tudi, da je večkotnik konkaven, če nosilka kakšne njegove stranice (premica skozi krajišča stranice) razdeli večkotnik na dva dela. Na zgornji sliki je to na primer premica, ki poteka po stranici DE (pa še marsikatera druga).
 

Z orodjem za risanje premic (druga ikona v orodni vrstici) nariši nosilke tistih stranic v šestkotniku na sliki, ki razdelijo ta šestkotnik na dva dela.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
To sta premici skozi točki A in B oz. skozi B in C.
 
Reši tudi  dodatne naloge.
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008