Ploščina kroga

Naučili se bomo, kako izračunamo ploščino kroga, in to znanje uporabili v različnih nalogah.

Krog je omejen s krivo črto (krožnico), zato ga ne moremo povsem pokriti s kvadrati kot preproste večkotnike.

img2_5
Na zgornji sliki je krog, ki smo mu želeli določiti ploščino tako, da smo ga prekrili s kvadrati. Del kvadratov je povsem v notranjosti, težave pa nam povzročajo tisti, ki jih krožnica seka. Koliko ti prispevajo k ploščini? Preštej, koliko kvadratov je v notranjosti in koliko na meji.
32 kvadratov je v notranjosti in še 28 na meji.
Če meri vsak 1 cm2, je ploščina kroga torej med 32 cm2 in 60 cm2.
 
img4_5
Na tej sliki smo vsakega od kvadratov razpolovili, torej ima vsak ploščino samo ¼ prvotnega. Preštej sedaj vse kvadrate v notranjosti in na meji.
Tokrat je 164 kvadratov v notranjosti in 60 na meji. Ker ima vsak kvadratek ploščino 0,25 cm2, je ploščina kroga med 41 cm2 in 56 cm2.

Postopek bi lahko nadaljevali, a je dolgotrajen. Torej poiščimo raje tak postopek, ki nas bo pripeljal do ploščine po hitrejši poti.

 

Izpeljavo bomo opravili v dveh fazah. Oglej si najprej spodnjo sliko. Krog smo razdelili na četrtine, eno od njih pa smo še razpolovili. Če potegneš rdečo točko v desno, lahko posamezne dele postaviš v drugačno lego. Poskusi!
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
Krog smo tako preoblikovali v drugačen lik, ki pa ima enako ploščino, saj je sestavljen iz istih delov. Ampak tudi ta lik je malo čuden in mu ploščine ne moremo izračunati. Poglejmo naslednji korak.
 

Začetna situacija na naslednji sliki je enaka kot končna situacija pri prejšnji. Poskusimo narediti naslednje. Namesto na 4 dele razdelimo krog zaporedoma na 6, 8, 10, ... delov in opazujmo, kaj se dogaja s spodnjim likom. Poskusi!
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Spodnji lik ima vedno enako ploščino kot krog, saj je sestavljen iz istih delov, njegova oblika pa se spreminja in vedno bolj spominja na pravokotnik, saj sta spodnja in zgornja stranica pri n=16 že skoraj ravni. Če bi krog razdelili na še več delov, bi sploh ne opazili več njune ukrivljenosti.


Poskusi ugotoviti, čemu sta enaki stranici tega »pravokotnika«.

Izračunaj, koliko meri osnovnica.

Kolikšna je ploščina našega pravokotnika?

 

Ploščino kroga lahko izračunamo z obrazcem 

 

S klikom na zgornji gumb lahko tudi prisluhneš, kako se obrazec prebere.
Vaja
Izračunaj, koliko je ploščina kroga, če je njegov polmer enak 4,6 cm.
 
Razmisli, izračunaj in dopolni

Včasih pustimo v rezultatu π in ne pomnožimo s približkom.
Tako ima na primer krog s polmerom 1 cm ploščino π cm2.

Kolikšno ploščino imajo krogi s polmerom 2 cm, 3 cm, 4 cm? Rezultate zapiši v spodnjo tabelo.

 

Polmer (r)
Ploščina (p)
2 cm
π cm2
3 cm
π cm2
4 cm
π cm2

Dopolni še spodnji dve povedi – v prvo zapiši odgovora z besedo, v drugo pa s številko.

Če se polmer dvakrat poveča, se ploščina poveča, če se polmer poveča trikrat, se ploščina poveča .

Kolikokrat se poveča ploščina, če se polmer poveča 7-krat? Ploščina se poveča -krat.


  

 
Izračunaj
Valjasto škatlo s premerom 30 cm želimo pokriti z okroglim pokrovom. Kolikšna bo ploščina pokrova?
       
30π cm2
225π cm2
900π cm2
Bo šlo tudi obratno?
Če poznamo ploščino nekega kroga, lahko izračunamo njegov polmer. Poglejmo si to na primeru.

Ploščina nekega kroga meri 81π cm2. Kolikšen je njegov polmer?

Ker je p=πr2, velja 81π=πr2, sledi r2=81 in r=9 cm.

 

Za zasteklitev okroglega okna na sliki so potrebovali približno 113 dm2 stekla. Kolikšen je premer okna?

img21_5

r2=113:π=35,97

r=6 dm

2r=12 dm

 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008