Količine so lahko med seboj povezane. S spremembo ene količine se spremeni tudi druga količina. Te spremembe so lahko različne.
V nadaljevanju poglejmo matematične značilnosti najpreprostejše odvisnosti.
1. Količne so odvisne
Opazuj sliko s tržnice. Kaj pomeni zapis na tablici?
Izračunaj, koliko plačamo, če kupimo 1 kg, 2 kg, 3 kg, 5 kg in 0,5 kg sadja.
Zapis pomeni, da vsak kilogram sadja stane 2 evra. Kar seveda pomeni, da za 2 kilograma plačamo 4 evre, za 3 kilograme 6 evrov, za 5 kilogramov 10 evrov in za 0,5 kilograma 1 evro.
Plačilo je ODVISNO od količine kupljenega sadja.
2. Reševanje s sklepanjem
Za 4 kilograme sadja smo plačali 4,8 evra. Koliko bi plačali za 5 kilogramov tega sadja?
Sklepanje lahko zapišemo tudi v preglednici.
Količina (kg)
Vrednost (evri)
4
4,8
1 *
1,2
5 **
6
* Najprej sklepamo iz množine na enoto (iz vrednosti za 4 kg izračunamo vrednost za 1 kg).
** Nato sklepamo iz enote na množino (iz vrednosti za 1 kg izračunamo vrednost za 5 kg).
Primer
Luka za 12 dag salame z žemljo plača 1,40 €. Koliko plača Mitja za 9 dag enake salame z žemljo, če stane žemlja 20 centov? Rešuj s sklepanjem.
Najprej od 1,40 € odštejemo znesek za žemljo. Salama v Lukovem sendviču stane 1,20 €. Nato sklepamo, koliko stane 1 dag te salame. Delimo 1,20 € z 12, 120 centov:12 = 10 centov. Tako stane 1 dag salame 10 centov.
Mitja ima v sendviču 9 dag salame, to pomeni 9·10 centov = 90 centov. Ker žemlja stane 20 centov, plača Mitja 1,10 €.
Reševanje lahko zapišemo tudi v preglednici. Seveda računamo brez zneska za žemljo.
Količina (dag)
Vrednost (centi)
12
120
1 (12:12)
10 (120:12)
9 (1·9)
90 (10·9)
3. Količini sta premo sorazmerni
V nadaljevanju si bomo ogledali še en način reševanja tovrstnih nalog.
Opazujemo enakomerno gibanje, zato je hitrost vedno enaka. V preglednici v vsaki vrstici izračunaj količnik med potjo in časom, potrebnim za opravljanje te poti.
Čas (s)
Pot (m)
Pot (m)/Čas (s)
30
15
JXUwMDY4JXUwMDFjJXUwMDE5
10
5
JXUwMDY4JXUwMDFjJXUwMDE5
6
3
JXUwMDY4JXUwMDFjJXUwMDE5
2
JXUwMDY5
JXUwMDY4JXUwMDFjJXUwMDE5
Količnik med količinama (pot – odvisna, čas – neodvisna) je za vsak urejeni par količin enak. Količnik 0,5 pove, da v 1 sekundi opravimo 0,5 metra poti.
V preglednici lahko opazujemo sklepanje:
če se dvakrat zmanjša prva količina, se dvakrat zmanjša tudi pripadajoča druga količina,
če se trikrat zmanjša prva količina, se trikrat zmanjša tudi ustrezna pripadajoča druga količina.
Primer
Gospod Koren želi kupiti nekaj metrov žice. Ogleduje si cenik in računa vrednosti v tretjem stolpcu. Računa količnik med vrednostjo v evrih in ustrezno dolžino v metrih. Izračunaj jih še ti.
Dolžina
žice (m)
Vrednost (€)
Vrednost (€)/Dolžina (m)
1
2
JXUwMDZh
2
4
JXUwMDZh
3
6
JXUwMDZh
4
8
JXUwMDZh
5
10
JXUwMDZh
10
20
JXUwMDZh
Količnik med vrednostjo za izbrano dolžino žice in dolžino žice je vedno 2 (kar pomeni, da 1 meter stane 2 €).
Za katerikoli urejeni par količin lahko izračunamo vrednost plačila za 1 meter žice.
Sklepam:
če kupim 1 meter žice, plačam 2 €,
če kupim 2 metra žice (2-krat po en meter), plačam 4 € (2-krat več),
če kupim 3 metre žice (3-krat po en meter), plačam 6 € (3-krat več kot 2 €),
če kupim 4 metre žice (4-krat po en meter), plačam 8 € (4-krat več kot 2 €),
če kupim x metrov žice (x-krat po en meter), plačam x·2 € (x-krat več kot 2 €).
Če se ena količina dvakrat, trikrat ... poveča (ali zmanjša) in se druga, od nje odvisna količina dvakrat, trikrat ... poveča (ali zmanjša), sta količini PREMO SORAZMERNI.
Za predstavljene primere poglej izračunan količnik med odvisno in neodvisno količino. Ustrezne podatke preveri v zgornjih primerih.
Neodvisna količina je količina kupljenega sadja, odvisna količina je plačilo za kupljeno sadje.
Izračunam količnik 4,8 : 4 = 1,2.
Izračunam količnik 1,2 : 1 = 1,2.
Izračunam količnik 6 : 5 = 1,2.
Izračunani količnik je vedno enak, k = 1,2. Število 1,2 pomeni, da za 1 kilogram kupljenega sadja plačamo 1,20 evra.
Odvisna količina je pot v metrih, neodvisna je čas v sekundah.
k = 0,5 (pomeni: v 1 sekundi opravimo 0,5 metra poti)
Odvisna količina je vrednost v €, neodvisna je dolžina žice.
k = 2 (pomeni: za 1 meter žice plačamo 2 €)
Opazimo, da je količnik ODVISNE in NEODVISNE količine vedno enak.
Izračunani količnik k = odvisna(y)/neodvisna(x) imenujemo KOEFICIENT PREMEGA SORAZMERJA.
Polnilnica pijač
V polnilnici pijač vsako uro napolnijo 4000 steklenic. Kateri količini nastopita v nalogi?
To sta čas (neodvisna količina) in število steklenic (odvisna količina).Več časa namreč polnijo, več steklenic napolnijo.
Lahko bi razmišljali tudi drugače: več steklenic so napolnili, več časa so za to potrebovali.
Oba pristopa k reševanju sta ustrezna.
Dopolni preglednico s pravilnimi vrednostmi. Zapisuj številke.
Čas (ure)
JXUwMDY5
2
JXUwMDZi
4,5
12
Število steklenic
4000
JXUwMDYwJXUwMDA4JXUwMDAwJXUwMDAw
12000
JXUwMDY5JXUwMDA5JXUwMDA4JXUwMDAwJXUwMDAw
JXUwMDZjJXUwMDBjJXUwMDA4JXUwMDAwJXUwMDAw
Izračunaj koeficient premega sorazmerja, k =
JXUwMDZjJXUwMDA0JXUwMDAwJXUwMDAw
.
Pri izpolnjevanju smo vedno pozorni na to, da je količnik med številom steklenic in ustreznim časom vedno 4000 (kar je tudi k).
Reši nalogi
Za 15 dag salame plačamo 150 centov.
a) Koliko bi plačali za 1 dekagram salame?
Sklepamo: količini (salama – neodvisna, plačilo – odvisna) sta premo sorazmerni (več kupimo, več plačamo). Ker poznamo plačilo za 15 dag, bomo 150 centov delili s 15 in dobili plačilo za 1 dag.
k = 150 : 15 = 10 (pomeni, da za 1 dag salame plačamo 10 centov)
b) Koliko plačamo za 8 dekagramov salame?
Poznamo ceno za 1 dekagram, to je 10 centov. Torej plačamo 8-krat več:
8·10 centov = 80 centov.
Krajši in preglednejši je zapis v preglednici.
Količina salame (dag)
Plačilo (evri)
15
150
1
10
8
80
Vsako plačilo lahko izračunamo, če količino salame pomnožimo s količnikom k=10.
4. Neodvisna in odvisna spremenljivka
V naslednjem primeru poglejmo nekoliko bolj matematičen zgled. Količini v preglednici sta premo sorazmerni za zapisane vrednosti. Neodvisno količino smo označili s spremenljivko x, odvisno količino s spremenljivko y. Izpolni preglednici. Najprej ugotovi, kako se količini v vsaki preglednici spreminjata. Če je možno, vpiši celo število. Ulomek vpiši v obliki a/b.
a)
x
1
JXUwMDZh
8
12
JXUwMDZhJXUwMDAy
y
JXUwMDZi
6
JXUwMDZhJXUwMDA2
36
60
b)
x
y
½
JXUwMDZh
JXUwMDY5
4
1½
6
5
JXUwMDZhJXUwMDAy
JXUwMDZjJXUwMDBkJXUwMDE2JXUwMDE3
24½
Pri računanju neznanih vrednosti si pomagaj z znanim količnikom k = y/x. Najprej poišči znani urejeni par količin v preglednici (npr. 12 in 36 v prvi preglednici), nato izračunaj količnik (k = 36 : 12 = 3). Torej mora v vsakem urejenem paru v tej preglednici biti količnik y:x = 3.
Lahko sklepaš tudi drugače: če se ena količina 12-krat zmanjša, se tudi druga količina 12-krat zmanjša. Torej je 12:12=1 in 36:12=3.
V drugi preglednici je znani par količin (1½, 6). Izračunamo količnik y/x, k = 4. To pomeni, da mora biti v vsakem urejenem paru te preglednice količnik y:x = 4.
Poudarimo, da smo tako zapisali samo nekaj premo sorazmernih parov spremenljivk.
Preveri trditve
Naj bosta količini, označeni z x in y, za zapisane primere premo sorazmerni. Preveri trditve.
1. Če je x = 6 in y = 2, je k = 1/3.
Pravilno
Napačno
Namig
Izračunaj k = y / x.
Odlično!
Saj je y/x = 2/6 = 1/3.
To pa ne bo držalo!
Saj je y/x = 2/6 = 1/3.
2. Če je x = 4 in y = 4, potem je k = 0,1.
Pravilno
Napačno
Namig
Izračunaj k = y / x.
To pa ne bo držalo! Količnik y/x = 4/4 = 1.
Odlično! Količnik y/x = 4/4 = 1.
3. k = 2, ko je x = 1 in y = 2.
Pravilno
Napačno
Namig
Izračunaj k = y / x.
Odlično! Saj je y/x = 2/1 = 2.
To pa ne bo držalo! Saj je y/x = 2/1 = 2.
4. Za y = 10 in k = 0,2 je x = 2.
Pravilno
Napačno
Namig
Izračunaj k = y / x.
To pa ne bo držalo! Ker je k = y/x, je torej k = 10/2 = 5.
Odlično! Ker je k = y/x, je torej k = 10/2 = 5.
5. Prikaz odvisnih količin z grafom
Odvisnost dveh količin lahko prikažemo tudi z grafom. Z miško premikaj modro označeno točko na vodoravni osi. Tako spreminjaš število x. Hkrati se premika rdeče označena točka na premici. Njeno lego opiše število y. Odčitaj zahtevane vrednosti z grafa in jih vpiši v preglednico. Opazuj količnik odvisne in neodvisne količine. Kaj opaziš?
x
JXUwMDY5
2
4
6
JXUwMDZm
y
1/2
JXUwMDY5
JXUwMDZh
JXUwMDZi
3 ½
Količini sta premo sorazmerni. Količnik odvisne in neodvisne količine je namreč vedno enak. To lahko preveriš tako, da izračunaš količnik y/x za vsak urejen par, to je koeficient premega sorazmerja. Vedno dobiš vrednost k = 1/2. Sicer je pa k zapisan na koordinatni mreži.
Lahko sklepaš tudi tako: če prvo količino (x) povečaš dvakrat, trikrat ..., se mora tudi druga količina (y) povečati dvakrat, trikrat ...