Množenje z enočlenikom

Predstavljajmo si verigo. Kako imenujemo njene dele? Oglejmo si, kaj so deli izrazov in kako z njimi računamo.
img30_3
 
Kaj so členi?
Členi so deli izraza, ki so med seboj ločeni z minusi in s plusi.
IZRAZ
ŠTEVILO ČLENOV IME
33 + 5345 + 34
3TRIČLENIK
436 + 335 – 89 – 6

a + 99 + 778 – 13
a + b – c + d + 3
4534


  

 

Ali lahko prvi izraz zgornje naloge 33 + 5354 + 34 poenostavimo v enočlenik?

Lahko.

Izračunamo: 33 + 5354 + 34 = 5421

Torej smo dani tričlenik spremenili v enočlenik 5421.

Ali lahko tudi tretji izraz zgornje naloge a + 99 + 778 13 poenostavimo?

Lahko.

Izračunamo: a + 99 + 778 – 13 = a + 864

Torej smo dani štiričlenik spremenili v dvočlenik a + 864.

Členi so lahko sestavljeni iz več števil in črk, med katerimi nastopajo znaki za množenje in deljenje.

Torej delujeta znaka krat in deljeno kot neka vez, povezujeta števila in črke v člene, plus in minus pa jih ločujeta, izraz razsekata na več členov.

 
Pozorno opazuj naslednjo animacijo. Poskušaj razložiti, kaj prikazuje.
img23_3
Animacija prikazuje, kako določamo število členov v izrazu:
  • krat in deljeno povezujeta števila in črke okoli sebe, povezujeta jih v en člen;
  • plus in minus ločita števila in črke, delata meje med členi v izrazu.
V izrazu na animaciji en plus in trije minusi razdelijo izraz na pet členov.
 
IZRAZŠTEVILO ČLENOV IME
2 · a + 5
2DVOČLENIK
a · b + 3c + 5d + 9

a2 + 17 + 3a

m + n3 + 0,19 · a · b + 33
ab2c – 13 – 99 · b : c + 16 : 5 + 2

  

 
Ko v izrazih nastopajo oklepaji, si namesto njih predstavljamo škatlo, da lažje ugotovimo, koliko členov ima dani izraz. Kar je v škatli, nas ne zanima. Znaki v oklepajih ne vplivajo na število členov v izrazih.
img19_5
 
IZRAZŠTEVILO ČLENOV IME
(a + 3) · 2 + 4
2DVOČLENIK
2 · (m + 9) · 3
(2 + 3)(a + 4) – 1

(3 + 5) + 5 + 3 – 9
a3 · (–5) · 3 – 6 : 3

  

Členi so torej deli izrazov, ki so med seboj ločeni z minusi in plusi. Sestavljeni so lahko iz več števil, črk in oklepajev, med katerimi so znaki za množenje in deljenje. Znaki v oklepajih ne vplivajo na število členov.
 
Naloga

Koliko členov imajo naslednji izrazi?

a) 2·x·y+x+y+8x·y:2+4:x

b) 18–a2–4a·b:3+16·x+16·y

c) (3–x)·2:x:y·2

d) 2+(2+x)·y+4–3x·y

e) (1–x)·(1–y)·(1–z)+x+y+xyz

 
Množenje s številom

Naslednjo nalogo rešimo na dva načina.

V sosednjem šeststanovanjskem bloku je v vsakem stanovanju en akvarij. V vsakem akvariju je 5 zlatih ribic, 2 čistilca in 4 polži. Koliko živali je v vseh akvarijih v bloku?
img22_3

1. način


Imamo 6 akvarijev. V vsakem je 5 zlatih ribic, čistilca in polži

6 · (5 + 2 + 4) = .

To je enako kot 6 akvarijev, v katerem je 11 živali

= 6 · 11 = 66,

kar je skupno 66 živali.

  

 
2. način
img28_3

Imamo 6 akvarijev. V vsakem je 5 zlatih ribic, čistilca in polži

6 · (5 + 2 + 4) = .

To je enako kot šestkrat po 5 zlatih ribic, šestkrat po čistilca in po polži

= 6 · 5 + 6 · 2 + 6 · 4 = .

Torej imamo 30 zlatih ribic, čistilcev in polžev

= 30 + 12 + 24 = 66,

skupno torej 66 živali.

  

 

Nalogo smo rešili na dva načina in dobili enak rezultat. Torej velja

6 · (5 + 2 + 4) = 6 · 5 + 6 · 2 + 6 · 4.

S številom lahko množimo oklepaj tako, da z njim pomnožimo vsako število v oklepaju posebej.

Naloga

Izračunaj na dva načina.

a) 3·(66+34)

b) 5·(133–31–2)

 
Množenje z enočlenikom

Podobno kot s številom množimo z enočlenikom.

Rešimo naslednjo nalogo.

V bloku z x stanovanji imajo v vsakem stanovanju akvarij, v katerem je 5 zlatih ribic, 2 sesalca in 4 polži. Koliko živali je v celotnem bloku?

1. način

Imamo x akvarijev. V vsakem je 5 zlatih ribic, 2 sesalca in 4 polži

x · (5 + 2 + 4) = .

To je enako kot x akvarijev, v katerem je 11 živali

= x · 11 = 11x,

kar je skupno 11x živali.

 

2. način

Imamo x akvarijev. V vsakem je 5 zlatih ribic, 2 sesalca in 4 polži

x · (5 + 2 + 4) = .

To je enako kot x-krat po 5 zlatih ribic, x-krat po 2 sesalca in x-krat po 4 polži

= x · 5 + x · 2 + x · 4 = .

Torej imamo 5x zlatih ribic, 2x sesalcev in 4x polžev

= 5x + 2x + 4x = ,

skupno torej živali.

  

 

Rešimo še naslednjo nalogo.

V bloku z x stanovanji imajo v vsakem stanovanju akvarij, v katerem je 5 zlatih ribic, a sesalcev in b polžev. Koliko živali je v celotnem bloku?

Imamo x akvarijev. V vsakem je 5 zlatih ribic, a sesalcev in b polžev

x · (5 + a + b) = .

V tej nalogi pa ne moremo najprej izračunati, kar je v oklepaju, kot smo pri prejšnjih nalogah v načinu 1, zato uporabimo način 2.

Imamo x-krat po 5 zlatih ribic, x-krat po a sesalcev in x-krat po b polžev

= x · 5 + x · a + x · b = .

Poenostavimo

= 5x + xa + .

V vseh akvarijih je skupno 5x + xa + xb živali.

  

 
Z enočlenikom množimo torej tako, da z njim pomnožimo vsak člen oklepaja.
img16_5
 
Naloga
Izračunaj.

a · (b + c + 3) = ab + +

3 · (x + y) = +

a · (a + b) = a2 +

ab · (a + b) = aba + = a2b + 2

  

 
Naloga

Izračunaj

a) 3a · (2a+7)

b) 8b2 · (a + b + b2)

c) (2 + a + b) · 12b

d) (a2 + ab + b2 ) · ab

e) a2(a3 + a)

 
Izpostavljanje skupnega faktorja

S katerim številom smo pomnožili x+2y, da smo dobili 7x+14y?

7x+14y= ·(x+2y)

Ko množimo oklepaj z enočlenikom, pomnožimo vsak člen oklepaja z danim enočlenikom.

Obratni postopek, ko torej iz več členov izvzamemo neko število, faktor, ki ga imajo vsi členi, imenujemo izpostavljanje skupnega faktorja.

V našem primeru rečemo, da smo iz izraza 7x+14y izpostavili 7.

To smo zapisali kot 7x+14y=7·(x+2y)

  

 
Naloga
Izpostavi skupni faktor.

15x+30y= ·(x+2y)

xy-14x= ·( - )

ab+ac+3a= ·( + + )

m3+m2=m2·( +1)

m8+m5=m5·(m3+ )

  

 
Preveri svoje znanje
Koliko členov je v izrazu 2·x+3:2·5?

5
3
2

Kateri izmed naslednjih izrazov je tričlenik?

a3+(3·a2+a)
x+y–3z
a+2+3b+4c·b

Izraz 16·(33+4–12) lahko izračunamo tako, da najprej izračunamo, kar je v oklepaju, in nato dobljeno pomnožimo s 16. Dobimo 400. Lahko pa tudi vsa števila v oklepaju pomnožimo s 16 in dobljena števila nato seštejemo oziroma odštejemo. Spet dobimo 400. V tem primeru smo na oba načina dobili enak rezultat. Katera od naslednjih trditev je pravilna?
Ko s številom množimo oklepaj, v katerem je vsota ali razlika števil, lahko vedno računamo na 2 načina, a ni nujno, da dobimo enaka rezultata.
Ko s številom množimo oklepaj, v katerem je vsota ali razlika števil, lahko le včasih računamo na 2 načina.
Ko s številom množimo oklepaj, v katerem je vsota ali razlika števil, lahko vedno računamo na 2 načina in vedno dobimo enaka rezultata.

Ko poenostavimo izraz 4a·(a+3b+12), dobimo


8a+12b+12a,
4a2+12ab+48a,
4a2+3ab+12a.

Če izpostavimo skupni faktor v izrazu 6a2+3ab+ab3, dobimo

a·(6a+3b+b3),
a·(5a+3b+b3).

 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008