Obseg kroga in število pi

Krog seveda že poznamo. V tem gradivu bomo ponovili nekatere njegove lastnosti, nato pa se bomo še naučili izračunati njegov obseg in zvedeli nekaj o številu pi (π).
Dopolni

Ali se še spomniš, kaj je krog? Dopolni spodnje povedi.

Krog je geometrijski , ki ga omejuje sklenjena črta, imenujemo jo . Za vse točke na krožnici velja, da so oddaljene od neke točke v notranjosti kroga. To točko imenujemo .
  

 
Deli kroga
S krogom je povezanih kar nekaj drugih pojmov. Jih prepoznaš? Pojmi, ki jih iščemo, so prikazani z rdečo barvo. Poveži točko ob vsaki sliki s točko ob ustreznem pojmu.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
 
Polmer in premer

Posvetimo se najprej polmeru in premeru kroga.

Polmer je daljica, ki povezuje središče kroga z njegovim obodom (s krožnico), pogosto pa tako imenujemo kar dolžino te daljice. S tujko ga imenujemo tudi radij, zato je oznaka zanj r.

Premer sodi med tetive, saj povezuje dve točki na krožnici. Od drugih tetiv se odlikuje po tem, da poteka skozi središče kroga.
V kakšni zvezi sta dolžini polmera in premera?
Oznaka za premer je d (iz grščine diameter), pogosto pa zapišemo njegovo dolžino kar 2r.
 
img6_5

Na zgornji sliki sta narisana dva kroga. Obema določi polmer in premer.

Polmer večjega kroga je 4 cm, njegov premer pa 8 cm, manjši krog pa ima polmer 3 cm in premer 6 cm.
 

Določiti premer kroga ni težko, če je narisan v mreži ali če poznamo vsaj njegovo središče. Kako pa določimo premer krogu, ki nima označenega središča? Oglej si spodnji filmček s klikom na ustrezen gumb.



Seveda trik s prepogibanjem deluje samo, če je krog izrezan iz materiala, ki ga lahko prepognemo. Predstavljaj si, da bi tako iskal premer svoje najljubše zgoščenke :(.

V takih primerih lahko premer poiščemo samo približno.

 
Obseg
Sedaj bo že čas, da se posvetimo obsegu kroga. Kako določimo dolžino krožnice? Naredi najprej praktično vajo. V okolici poišči kakšen predmet z obliko kroga (zgoščenko, pokrovko, kolo avtomobilčka mlajšega brata, ...), čim natančneje izmeri njegov premer in nato še obseg. Oglej si na filmčku, kako je to naredil Umko.



In sedaj malo računanja. Obseg kroga, ki si ga izmeril, deli z njegovim premerom. Naj uganem, koliko si dobil?
 

Misliš, da sem slučajno uganil? Poskusi vajo ponoviti z večjim ali manjšim krogom. Spet boš dobil približno enak rezultat.


Na aktivni sliki lahko zakotališ krog po podlagi tako, da premikaš njegovo središče. Ko se krog enkrat zakotali, se premakne za razdaljo, ki je natanko enaka njegovemu obsegu. Preberi podatke na sliki in izračunaj količnik še iz teh podatkov.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)
 

Količnik med obsegom kroga in njegovim premerom je neodvisen od velikosti kroga – je konstanten. To dejstvo so poznali že stari Grki. Ponavadi označujemo ta količnik z grško črko (pi).

Obseg kroga dobimo tako, da pomnožimo njegov premer s številom .
 


Kadar računamo na pamet in smo zadovoljni s približnim rezultatom, lahko pomnožimo premer kar s 3. Če želimo natančnejši rezultat, si pomagamo s približkom 3,14 ali pa z ulomkom 22/7. Ti dve vrednosti si velja zapomniti.

 
Nekaj vaj

Na pamet oceni obseg kroga, če je njegov premer enak 8 dm.

Izračunaj obseg istega kroga s svinčnikom in papirjem. Tokrat vzemi za vrednost 3,14.


Kakšen obseg ima krog, če je njegov polmer dolg 7 cm? Za π vzemi približek 22/7.

 
img27_5

Kadar računamo z žepnim računalom, pa je najenostavneje in najnatančneje uporabiti za π kar vrednost, ki jo ima računalo že vgrajeno.


Izpiše se nam s pritiskom na ustrezno označeno tipko. Poišči to tipko na svojem računalu in prepiši vse decimalke.

Z žepnim računalom izračunaj obseg kroga, ki ima premer 5,3 m.

Kakšen rezultat dobiš, če računaš s približkom 3,14? Za koliko se oba rezultata razlikujeta?

 

Seveda gre tudi obratno: če poznamo obseg kroga, lahko izračunamo njegov premer ali polmer.


Določimo premer in polmer kroga, če je njegov obseg enak 21,98 cm. Računaj »peš« in uporabi π = 3,14.


Prečni presek drevesa ima približno obliko kroga. Izmerili smo mu obseg 2,5 m. Kolikšen je premer drevesa?


 
Še nekaj o ...
img29_5
π je iracionalno število, kar pomeni, da ga ne moremo zapisati v obliki ulomka (oz. kot količnik dveh naravnih števil). Zapišemo ga lahko le kot neskončno decimalno število. Ulomek 22/7, ki ga včasih uporabljamo, je samo približek.
 

Ljudje se že tisočletja ukvarjajo s tem, kako čim natančneje določiti njegovo vrednost.

Vrednost 3 so uporabljali že Sumerci okrog 2000 let p. n. š.

Arhimed je okrog leta 230 p. n. š. prvi izračunal π na 3 decimalna mesta (3,142).

V 16. stoletju je Ludolph van Ceulen izračunal število na »neverjetnih« 35 decimalk, zato π še danes pogosto imenujemo (vsaj v križankah) Ludolfovo število.

Med množico znamenitih iskalcev π-ja ne smemo pozabiti slovenskega rojaka barona Jurija Vege, ki je konec 18. stoletja dosegel »svetovni rekord« in izračunal π na 140 decimalk (ampak samo 126 jih je bilo točnih).

Iskanje čim večjega števila decimalk se nadaljuje tudi v sodobnosti, kjer pa so matematikom priskočili na pomoč zmogljivi računalniki, ki zmorejo izračunati več milijard decimalnih mest. Svetovni rekord iz leta 2002 je 1200 milijard.

img31_5
Upam, da se vam ob tej množici decimalk ne bo odveč naučiti vsaj prvih dveh: 3,14.
 
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008