Delno korenjenje in racionalizacija ulomka

Do sedaj smo računali samo korene popolnih kvadratov. Naučili se bomo delno koreniti in odpraviti koren v imenovalcu ulomka.
Ponovimo pravila za računanje s koreni
Spoznal si že, da je korenjenje obratna računska operacija kvadriranja, da korene lahko računamo samo iz nenegativnih števil in, da je koren vedno nenegativno število. Prav tako že poznaš pravila za računanje s koreni. Osvežimo znanje, saj ga bomo pri delnem korenjenju in pri racionalizaciji ulomka znova potrebovali.
 
Korenjenje produkta

Spomnimo se, kako lahko izračunamo na dva načina. Prvi je računanje po direktni poti, kjer dobimo , ker je . Pri drugem zapišemo korenjenec kot produkt dveh popolnih kvadratov in nato korenimo. Torej: .

Izračunaj še sam spodnji koren na dva načina.

Koren produkta nenegativnih števil je enak produktu korenov.
 
Korenjenje kvocienta

Koren iz lahko izračunamo na dva načina. Prvi je, da najprej delimo in nato korenimo. Torej je , drugi način pa je, da zapišemo količnik kot ulomek in najprej korenimo ter nato delimo.

Poskusi še sam izračunati naslednji koren, tako da število pod korenom zapišeš v obliki ulomka.

Koren količnika nenegativnih števil je količnik korenov: .

Koren ulomka nenegativnih števil je ulomek korenov: .

 
Delno korenjenje

Korenimo . Število 12 ni popolni kvadrat, saj ni takega naravnega števila, katerega kvadrat bi bil enak številu 12. Zapišimo število 12 kot produkt števila 4 in števila 3, nato korenimo vsak faktor posebej. Torej . Seveda ne moremo izračunati, ker 3 ni popoln kvadrat.

Oglej si še animacijo.

img25_5
Tako lahko poenostavimo mnogo korenov. Postopku pravimo delno korenjenje.
Delno korenjenje uporabljamo, kadar želimo koreniti števila, ki niso popolni kvadrati, jih pa lahko zapišemo kot produkt popolnega kvadrata in še enega števila.
 
Oglejmo si še en primer delnega korenjenja ulomka.
img28_5
 
Poigraj se s koreni
Delno koreni, nato pa označi, ali je račun rešen pravilno ali napačno.
1.
Pravilno Napačno     

2.
Pravilno Napačno     

3.
Pravilno Napačno     

4.
Pravilno Napačno     

 
Racionalizacija ulomkov
Želimo deliti 1 s . Korenjenec ni popolni kvadrat, zato ne moremo takoj izračunati. Spomnimo se, da lahko deljenje zapišemo kot ulomek . Vendar pa še vedno nismo zadovoljni, saj imamo v imenovalcu koren. Kako se ga lahko znebimo? Znebimo se ga tako, da števec in imenovalec pomnožimo z istim številom, takšnim, da bomo odpravili koren v imenovalcu. Pa si oglejmo, kako to naredimo.
img30_5
Postopek, kjer v imenovalcu odpravimo koren, imenujemo racionalizacija ulomka.
Kadar imamo v imenovalcu ulomka kvadratni koren nepopolnega kvadrata, lahko ulomek racionaliziramo. To storimo tako, da števec in imenovalec ulomka pomnožimo s kvadratnim korenom, ki je v imenovalcu.
 

Kadar imamo v imenovalcu vsoto kvadratnih korenov nepopolnih kvadratov, racionaliziramo ulomek tako, da števec in imenovalec ulomka pomnožimo z razliko teh istih korenov, ki jih imamo v imenovalcu.

Kadar imamo v imenovalcu razliko kvadratnih korenov nepopolnih kvadratov, racionaliziramo ulomek tako, da števec in imenovalec ulomka pomnožimo z vsoto teh istih korenov, ki jih imamo v imenovalcu.

Poglejmo, kako to naredimo.
img34_5
 
Še malo se poigrajmo
Racionaliziraj imenovalec in označi, ali je račun rešen pravilno ali napačno.
1.
Pravilno Napačno

2.
Pravilno Napačno

3.
Pravilno Napačno

4.
Pravilno Napačno

 
Preveri svoje znanje

Delno koreni.






Racionaliziraj ulomek.





 

Še nekaj problemčkov za utrjevanje. Natisni jih in reši.

 Dodatne naloge