Diagonale in koti v večkotnikih

Osnovne pojme pri večkotnikih že poznamo. Tu se bomo naučili, kako lahko izračunamo število njihovih diagonal in kolikšna je vsota vseh notranjih in zunanjih kotov v teh likih.
Diagonale
Kaj je diagonala?
  
Diagonala je črta, ki povezuje poljubni dve oglišči večkotnika.
Diagonala je premica, ki povezuje dve nesosedjnji oglišči večkotnika.
Diagonala je daljica, ki povezuje dve nesosednji oglišči večkotnika.
Diagonala je daljica, ki povezuje dve nasprotni oglišči večkotnika.

Diagonala je vsaka daljica, ki povezuje dve nesosednji oglišči.

Iz praktičnih razlogov se bomo tako pri diagonalah, kot kasneje pri kotih omejili le na izbočene (konveksne) večkotnike.
 
img3_5
Na sliki je narisan sedemkotnik in nekaj njegovih diagonal.

Koliko diagonal pa sploh ima posamezen večkotnik?

Pri trikotniku je enostavno. Nima nobene diagonale, saj nobeno oglišče nima nesosednjih. Tudi o štirikotnikih gotovo veš, da imajo po dve diagonali. Nariši petkotnik in poskusi prešteti vse njegove diagonale. Koliko jih je?

Petkotnik ima diagonal.

  

 
Pri večkotnikih z večjim številom oglišč pa bi bilo tako določanje števila diagonal prezamudno in nepregledno, saj njihovo število zelo hitro narašča. Poskusili ga bomo izračunati.

Najprej malo risanja. Z orodjem za risanje daljic nariši na sliki vse diagonale, ki potekajo iz oglišča A. Koliko jih je?

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Koliko diagonal poteka iz oglišča A?      diagonale.

  


Zakaj ravno toliko?

Ali lahko tudi iz vsakega drugega oglišča narišemo 4 diagonale.


Poskusi to tudi narediti na zgornji sliki. Kaj opaziš?


Kako bi izračunal število vseh diagonal?


 

Enako lahko razmišljaš pri poljubnem n-kotniku.

Ker je vseh oglišč v n-kotniku n, lahko iz vsakega narišemo (n-3) diagonale. (Ne moremo narisati diagonal iz oglišča samega vase in ne do sosednih dveh oglišč, zato -3 v našem zapisu.) To število pomnožimo z n, da dobimo vse diagonale iz vseh oglišč, potem pa še delimo z dva, saj smo vsako diagonalo šteli dvakrat (iz vsakega oglišča po enkrat.). Število vseh diagonal v n-kotniku bomo označili z dn in si zapomnili

Število diagonal v n-kotniku je enako
.
 
Izračunaj in dopolni

Izračunaj po obrazcu število diagonal v posameznih večkotnikih in zapiši rezultat v tabelo

štev. oglišč štev. diagonal
5
6
10
15
  


S poskušanjem ugotovi, kateri večkotnik ima 20 diagonal.

 
Notranji in zunanji koti

V vsakem oglišču večkotnika je tudi en notranji kot. Vsak n-kotnik ima n notranjih kotov. Tudi zunanje kote lahko najdemo v vsakem oglišču.

img13_5

Notranji kot večkotnika ima vrh v oglišču večkotnika, kraka pa potekata po stranicah le-tega.

Tudi zunanji kot ima vrh v oglišču večkotnika, le da en krak poteka po stranici, drugi pa leži na nosilki stranice.

 
img28_5
V vsakem oglišču lahko narišeš dva zunanja kota, saj je mogoče podaljšati eno ali drugo stranico. Razmisli ob zgornji sliki, zakaj sta oba zunanja kota v oglišču enaka.
Oba možna zunanja kota sta sovršna kota, ker ležijo njuni kraki na istih premicah, torej sta enaka.
 
Se spomniš
Dopolni!

Koliko meri vsota vseh notranjih kotov v trikotniku? °
Kolikšna je ta vsota v štirikotniku? °
in v šestkotniku? °

  

 

Izračunajmo vsoto notranjih kotov v poljubnem n-kotniku

Na spodnji aktivni sliki je šestkotnik? Kaj se zgodi z njim, če mu »odrežeš« trikotnik FAE? Kaj se zgodi s koti? Pri razmisleku si lahko pomagaš tako, da primeš točko F in jo premakneš v levo.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


Kaj je nastalo iz šestkotnika?

Kolika je vsota notranjih kotov v trikotniku FAE?

V kakšnem odnosu sta vsoti notranjih kotov v šestkotniku ABCDEF in petkotniku ABCDE?

 
img31_5
Do istega rezultata lahko pridemo tudi drugače.
Iz neke točke S v notranjosti n-kotnika narišemo daljice do vseh oglišč. Tako razdelimo n-kotnik na n trikotnikov. Vsota vseh notranjih kotov v vseh trikotnikih je n·180°. Če pogledaš zgornjo sliko, boš videl, da vsi ti koti tvorijo notranje kote našega n-kotnika, poleg tega pa še polni kot v središčni točki S. Torej od prejšnje vsote odšteješ 360° in dobiš vsoto notranjih kotov v n-kotniku.
n·180°-360°=(n-2)·180°
 

Lahko sklepaš, da se vsota vseh notranjih kotov poveča za 180°, če povečaš število oglišč za 1, saj tako dodaš liku še en trikotnik.

Organizirajmo to v tabelo:

lik štev. oglišč
vsota notranjih kotov
trikotnik3 (3-2)·180°=180°
štirikotnik4 (4-2)·180°=360°
petkotnik5 (5-2)·180°=540°
šestkotnik
6
(6-2)·180°=720°
...
   

Vsoto vseh notranjih kotov v poljubnem n-kotniku izračunamo z obrazcem

(n-2)180°.

 
Vaja

Izračunaj vsoto notranjih kotov v osemkotniku in desetkotniku.
Vsota notranjih kotov v osemkotniku je °, v desetkotniku pa °.

V katerem n-kotniku je vsota notranjih kotov 1260°?
V -kotniku. (vpiši s številom)

  

 
Pari notranjih in zunanjih kotov
img24_5
Dopolni

Na sliki lahko vidiš, da sta notranji in zunanji kot vedno sokota. Njuna vsota torej znaša °. Izračunaj, koliko znaša vsota vseh petih parov notranjih in zunanjih kotov v petkotniku. Vsota je °. Če od tega števila odšteješ samo vsoto notranjih kotov, to je °, ugotoviš, da je vsota zunanjih kotov enaka °.

  

 
Poskusi na enak način dopolniti tabelo za različne n-kotnike.
n vsota parov notranjih
in zunanjih kotov
n·180°
vsota
notranjih
kotov
ostane za
zunanje kote
skupaj
3 ° ° °
4
° ° °
6
° ° °
7 ° ° °
  

n- kotnik ima n oglišč. V vsakem nastopa par notranji-zunanji kot.
Imamo torej n×180°,
odštejemo vsoto vseh notranjih kotov ((n-2)×180°) in po krajšem računu dobimo 360°.

Vsota zunanjih kotov v poljubnem večkotniku meri 360 stopinj.

 
Naj ti pomagajo tudi te dodatne naloge.
© E-um 2008
© E-um 2008
© E-um 2008