Urejene pare, ki imajo za koordinate naravna števila, znamo upodobiti v koordinatni mreži.
Poglejmo, kako upodobimo točke, ki imajo za koordinate realna števila. V nadaljevanju bomo privzeli, da v vsaki nalogi obravnavamo vsa realna števila.
Številska premica
Vemo, da sta koordinatni osi koordinatne mreže številski premici. Na številski premici lahko prikažemo s točko poljubno realno število.
Z miško primi točko T in jo premikaj po številski premici. Ob točki T je zapisana koordinata.
Koordinata kaže lego točke na številski premici na dve decimalni mesti natančno. Tako zapišemo
število, ki ga točka na določenem mestu prikazuje.
Vsaka točka na številski premici ima koordinato, ki opiše lego točke.
Pozitivna koordinata pove, da leži točka na številski premici desno od nič.
Negativna koordinata pove, da leži točka na številski premici levo od nič.
Zapis: T(x)
Realna števila na številski premici
Na številski premici lahko označimo tudi vsa realna števila, ki jih zapišemo z nekim matematičnim pogojem.
Ker ne moremo označiti vsake točke posebej, označimo (obarvamo) ustrezni del številske premice.
a) Pogoj: x≤2
Z zapisanim pogojem zahtevamo vsa realna števila, ki so manjša ali enaka številu 2 (zaradi znaka ≤). Torej število 2 pripada zahtevanim številom, tako kot vsa števila na delu številske premice, ki je označen z rdečo barvo.
Na številskem traku smo pripadnost števila 2 k izbrani množici označili z oglatim oklepajem.
b) Pogoj: x>–3
Z zapisanim pogojem zahtevamo označitev vseh realnih števil, večjih (zaradi >) od –3. Število –3 v tem primeru ne pripada označenim številom (oznaka dela številske premice z rdečo barvo).
Na sliki to označimo s točko (•), včasih tudi z okroglim uklepajem, npr.: (.
c) Pogoj: –4≤x<5
Z zapisanim pogojem zahtevamo označitev vseh realnih števil, ki so večja ali enaka številu –4 (zaradi ≤) in manjša od števila 5 (zaradi <).
Seveda zato pri označevanju uporabimo oglati oklepaj (–4 pripada zahtevanim številom) in točko (število 5 ne pripada zahtevanim številom).
1. primer
Kateri izmed navedenih zapisov ustreza narisani sliki?
Namig
Premisli, kateri znak urejenosti je zapisan v pogoju (≤, ≥, <, >) in ugotovi, kako so označene mejne točke (z oglatim oklepajem ali točko).
x>–3
–3≤x<4
–3<x≤4
x>4
Narobe. Obarvan je omejen del številske premice!
Narobe! Število –3 ne pripada označenim številom, število 4 pa pripada označenim številom.
Pravilna odločitev!
Ne bo držalo!
Koordinatni sistem
Realna števila so lahko koordinate točk. Koordinatno mrežo zato razširimo čez koordinatno izhodišče (0, 0). Oblikujemo koordinatni sistem.
Vodoravno os (os x), imenujemo abscisna os. Pravokotnico na abscisno os imenujemo ordinatna os (os y).
Vsaka točka v koordinatnem sistemu ima DVE KOORDINATI. Na sliki sta označeni z x in y.
Koordinata x pove oddaljenost točke od ordinatne osi; imenuje se tudi ABSCISA.
Koordinata y pove oddaljenost točke od abscisne osi; imenuje se tudi ORDINATA.
Opazuj sliko. Prikazujejo se točke z zapisanimi koordinatami. Usmeri pozornost na razlike med koordinatami točk. Poskušaj pojasniti razlike glede na lego točk v različnih kvadrantih.
Koordinatni osi razdelita ravnino v štiri KVADRANTE.
Vse točke v prvem kvadrantu (I.) imajo OBE KOORDINATI POZITIVNI.
Vse točke v drugem kvadrantu (II.) imajo PRVO KOORDINATO NEGATIVNO, DRUGO PA POZITIVNO.
Vse točke v tretjem kvadrantu (III.) imajo OBE KOORDINATI NEGATIVNI.
Vse točke v četrtem kvadrantu ( IV. ) imajo PRVO KOORDINATO POZITIVNO, DRUGO PA NEGATIVNO.
Kaj lahko poveš o koordinatah točk, ki ležijo na koordinatnih oseh?
Vsaka točka na abscisni osi (os x) ima DRUGO KOORDINATO (ordinato) število 0, torej
(x, 0).
Vsaka točka na ordinatni osi (os y) ima PRVO KOORDINATO (absciso) število 0, torej
(0, y).
2. primer
Preveri pravilnost trditev.
1. Točka B(–3, –2) zagotovo leži v III. kvadrantu.
Pravilno
Napačno
Namig
V vseh primerih si pomagaj si z opisom koordinat točk v kvadrantih.
Odlično! Obe koordinati sta negativni.
To pa ne bo držalo! Obe koordinati sta negativni.
2. Točka A(2, 7) leži v II. kvadrantu.
Pravilno
Napačno
To pa ne bo držalo! Točke v II. kvadrantu imajo drugo koordinato negativno.
Odlično! Točke v II. kvadrantu imajo drugo koordinato negativno.
3. Točka C(7, 0) leži na abscisni osi.
Pravilno
Napačno
Odlično! Vsaka točka na abscisni osi ima za drugo koordinato število 0.
To pa ne bo držalo! Vsaka točka na abscisni osi ima za drugo koordinato število 0.
4. Točka D(7, –11) zagotovo ne leži v III. kvadrantu.
Pravilno
Napačno
Odlično! Vsaka točka v III. kvadrantu ima obe koordinati negativni.
To pa ne bo držalo! Vsaka točka v III. kvadrantu ima obe koordinati negativni.
5. Točka T(x, y) z x > 0, y < 0 leži v četrtem kvadrantu.
Pravilno
Napačno
Odlično! Vsaka točka v IV. kvadrantu ima prvo koordinato pozitivno (x > 0) in drugo koordinato negativno (y < 0).
To pa ne bo držalo! Vsaka točka v IV. kvadrantu ima prvo koordinato pozitivno (x > 0) in drugo koordinato negativno (y < 0).
3. primer
V koordinatni sistem nariši točke: A(–4, –3), B(0, –6), C(5, –1), D(2, 3), E(–1, 4).
V zapisanem zaporedju jih z daljicami poveži v lik. Daljico narišeš z izbiro ukaznega gumba za risanje daljic (za vsako daljico klikni na obe krajišči).
4. primer
V koordinatnem sistemu lahko označimo tudi del ravnine oziroma vse točke, za katere velja predpisan pogoj.
Pogoj: x > –1 in y < 2
Predpis zahteva označitev vseh tistih točk (x, y), ki imajo PRVO KOORDINATO VEČJO OD –1 IN DRUGO KOORDINATO MANJŠO OD 2.
Z zeleno barvo pobarvamo tisti del ravnine, kjer so točke, ki imajo prvo (x) koordinato večjo od –1. Na osi x označimo točko (–1, 0) in sicer s piko, saj vrednost –1 ne ustreza pogoju. Skozi točko narišemo pravokotnico na os x. Pobarvamo del ravnine desno od narisane pravokotnice.
Z vijolično barvo pobarvamo tisti del ravnine, kjer so točke, ki imajo drugo (y) koordinato manjšo od 2. Na osi y označimo točko (0, 2), in sicer s piko, saj vrednost 2 ne ustreza zapisanemu pogoju. Skozi točko narišemo pravokotnico na os y. Pobarvamo del ravnine pod narisano pravokotnico.
Presek obarvanih delov (rdeče obarvan) je del ravnine, v kateri ima poljubna točka prvo koordinato večjo od –1 IN HKRATI drugo koordinato manjšo od 2.
5. primer
Kateri pogoj opisuje označeno množico točk v ravnini?
Pozorno si oglej označene meje in ne pozabi pomena oznak na koordinatnih oseh (oglati oklepaj ali točka).
Namig
Oglati oklepaj pomeni, da število pripada zahtevanim vrednostim (≤ ali ≥).
Točka pomeni, da število ne pripada zahtevanim vrednostim (< ali >).
–2 < x < 4 in y < –3
x > 4 in –3 < y < 3
–2 ≤ x ≤ 4 in y > –3
–2 ≤ x ≤ 4 in y ≥ –3
Ne bo držalo. Označene točke imajo y koordinato večjo od –3!
Ne drži. Iskane točke imajo prvo (x) koordinato med –2 in 4.
Pravilno!
Ne drži. Število –3 ne spada med iskane vrednosti, saj je pri y = –3 oznaka •.
6. primer
Izberi, s katerim zapisom zapišemo označeno množico točk.
–4 < x < 3 in –2 ≤ y ≤ 3
–4 < x ≤ 3 in –2 < y ≤ 3
–4 < x < 3 in –3 < y <4
Točke z ordinatama –2 in 3 ne spadajo k označenim točkam.
Točke z absciso 3 in točke z ordinato 3 ne spadajo k označenim točkam.
Pravilno
Označene točke na koordinatnih oseh lahko premikaš. Z vlečenjem označenih točk označi naslednje množice točk:
a) 0 < x < 5 in –1 < y < 1,
b) –2 < y < 2 in 2 > x > –2,
c) pravokotnik, v katerem so točke z lastnostjo –1 < x < 4 in –4 < y < 1.
a) Obarvan je pravokotnik z oglišči (0, –1), (5, –1), (5, 1) in (0, 1).Točke, ki ležijo na meji, ne pripadajo iskani množici točk.
b) Obarvan je kvadrat z oglišči (–2, –2), (2, –2), (2, 2) in (–2, 2). Točke, ki ležijo na meji ne pripadajo iskani množici točk.
c) Pravokotnik ima oglišča (–1, –4), (4, –4), (4, 1) in (–1, 1). Tudi v tem primeru k iskani množici točk pripadajo samo točke v notranjosti pravokotnika, ne na meji.